《整式的乘除》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·奉化期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②；③x2-y2=mn；④中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图知：m=x+y，n=x-y，故①正确；
∴mn=(x+y)(x-y)=x2-y2，故③正确；
∵小长方形的面积=（大正方形的面积-小正方形面积）
∴xy=(m2-n2)，故②正确；
x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2×(m2-n2)=，故④错误.
故答案为：A.
【分析】由拼图知m=x+y，n=x-y，小长方形的面积=（大正方形的面积-小正方形面积），据此逐项验证即可.
2．（2024七下·余姚期中）将两张边长分别为和（>）的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形ABCD内，（图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当AD-AB=42时，以下用含，的代数式表示的值正确的是（ ）
A．- B．- C．- D．-
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵S1=(AB-a)·a+(CD-b) (AD-a)=(AB-a)·a+(AB-b)(AD-a)，
S2=AB(AD-a)+(a-b)· (AB-a)
∴S2-S1=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)· a-(AB-b)(AD-a)=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB- a)(a-b-a)=b·AD-ab-b·AB+ab=b(AD-AB)，
∵AD-AB=42，
∴S2-S1=42b，
∴S1-S2=-42b.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的面积计算方法及图形分别表示出S1与S2，再根据整式的混合运算的运算顺序化简即可求出S1-S2的值.
3．（2024七下·镇海区期中）如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得：
的长为，宽为，
∴；
的长为，宽为，
∴；
的长为，宽为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴长方形的面积为，
故答案为：．
【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可将，，的长、宽及面积用含a、b的代数式表示出来，根据可求得的值，即长方形的面积．
4．（2024七下·杭州期中）在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的周长，
图2中阴影部分的周长，
周长差．
故若要知道周长差，只要测量图中线段的长．
故答案为：A．
【分析】根据平移和周长的定义，利用整式的加减求出周长差=2AB即可解题．
5．（2024七下·宁波期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x．
由题意得，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴大长方形的周长．
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x，利用图形关系可得m和n的方程组，利用整体代入求出x值解题即可．
6．（2024七下·吴兴期中） 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为2和16，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：，
整理得，
由图②得：，
整理得，
∴
，
∴图②所示的大正方形的面积为，
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图①面积为2列式整理求出，根据图②面积为16列式整理求出，然后表示出 图②所示的大正方形的面积，代入计算即可．
7．（2024七下·金东期中） 有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=35，
即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，
即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，
所以ab=8，
即长方形的面积为8，
故答案为：B．
【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
8．（2024七下·宁海期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（ ）
A．ma B．mb C．m D．a+b
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由可得：S2-S1=9，
由图①得：S矩形ABCD=S1+a2+b（AD-a），
由图②得：S矩形ABCD=S2+a2+b（AB-a），
∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），
∴S2-S1=b（AD-AB），
∴mb=12．
故答案为：B.
【分析】根据已知求出S2-S1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，然后得出等式，整理后可得mb=12．
9．（2024七下·义乌期中） 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（ ）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：①∵，
，
∴，①不符合题意；
②∵，，
∴，
∴，
∴故②符合题意；
③∵，
∴当时，，，则，符合题意；
当时，，，则，不合题意，
当时，，，则，符合题意．
综上所述：满足条件x的值有2个，③不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，；
当时，；
∴的值为，④不符合题意；
⑤设两个自然数的平方差，
∵与同奇或同偶，
∴这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个，
∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意；
综上所述：正确的只有1个；
故答案为：A
【分析】①根据平方差公式结合题意即可求解；②先根据同底数幂的除法进行计算，进而运用幂的乘方进行计算，从而等量代换即可求解；③根据题意分类讨论，分别判断这三种情况符不符合题意即可求解；④根据完全平方公式进行计算即可求解；⑤设两个自然数的平方差为，进而结合题意即可得到与同奇或同偶，从而得到这个数为奇数或4的倍数，再结合题意即可得到可以表示成某两个自然数的平方差的个数，从而即可得到不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
10．（2024七下·温州期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（ ）
A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和
C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设①的长为，宽为，周长和为；③的宽为，长为，周长和为；其中、为已知的常数，
，
，
②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，
，
，
A.设①与②的周长之和为（为已知的常数），则有，
整理得：，，
解得，，
大长方形面积为是常数，
大长方形面积能求出，故不符合题意；
B.设②与③的面积之和为（为已知的常数），
则有，
，
大长方形面积为是常数，
大长方形面积能求出，故不符合题意；
C.设④与②的周长之差为（为已知的常数），
，
，
解得：，
大长方形面积为是常数，
大长方形面积能求出，故不符合题意；
D.设④与③的面积之差为（为已知的常数），
，
，
无法求出，
大长方形面积为无法求出，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】设①的长为，宽为，周长和为；③的长为，宽为，周长和为；其中、为已知的常数，由已知条件可求，，各选项进行逐一判断，即可求解．
二、填空题
11．（2024七下·浙江期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
【答案】（1）24
（2）
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，然后可得答案；
（2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，可得的系数为0，进行求解即可．
12．（2024七下·鄞州期中） 如图，有两个正方形A ，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A与B的面积之和为 ．
，
【答案】4.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，
由图甲得：，
由图乙得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，根据图中阴影部分的面积列式整理得到，，然后利用完全平方公式计算即可．
13．（2024七下·温州期中）如图，把边长为6的正方形ABCD对折并剪成2个大小相同的长方形.两个长方形如图1摆放，四边形AHNG为正方形，两个长方形重叠部分面积记为；两个长方形如图2摆放，四边形HFKN为正方形，两个长方形重叠部分面积记为.若，求图2中 .
【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由折叠知：CN=GK=3，
∵，
∴图1中GN=图2中NK，
设正方形边长为x
∵S1=GN·CN=3x，S2=CN（GK-KN）=3（3-x），
∴S1-S2=3x-3（3-x）=，
∴x=，
∴图2中GN=3-=，HN=x=，
∴ 图2中·=1.
故答案为：1.
【分析】由，可设两正方形边长为x，可得S1=GN·CN=3x，S2=CN（GK-KN）=3（3-x），由S1-S2=可求x知，从而求出图2中GN、HN的长，再根据长方形面积计算方法进行计算即可.
14．（2024七下·杭州期中）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和■张长方形纸板．若做了竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完．小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比2000略大些，是2001，2002，2003，2004，2005中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件， 按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个
【答案】2005；197
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：x+2y=1000，
∴x=1000-2y.
∴4x+3y=4(1000-2y)+3y=4000-5y，
∵4000-5y一定是5的倍数，
∴这个数字是2005；
当被墨水污染的数字是2005时，依题意得：
解得：
∴399-202=197.
答： 最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 197个.
【分析】由题意可以知道：做一个竖式纸盒需要长方形纸板4个，正方形纸板1个；做一个横式纸盒需要长方形纸板3个，正方形纸板2个。所以做了竖式纸盒x个，横式纸盒y个，需要长方形纸板（4x+3y）个，正方形纸板（x+2y）个。再由已知： 将库存的纸板用完 。库存有 1000张正方形纸板和■张长方形纸板 。所以可列方程组得：由x+2y=1000，可得：x=1000-2y.所以4x+3y=4(1000-2y)+3y=4000-5y，因为4000-5y一定是5的倍数，所以这个数字是2005.
当被墨水污染的数字是2005时，列出方程组，解出方程组即可求出做成的竖式纸盒，横式纸盒的数量，再求做成的横式纸盒比竖式纸盒多的数量即可.
15．（2024七下·绍兴期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若a=3b，则x+y的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，
∴
∵
∴
∴
∵正方形的边长为L，它必须是整数。同时也为整数，
∴也为整数，
∵最接近300的倍数为289，
∴设则
令∴x+y的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，设则
令进而即可求解.
16．（2024七下·温州期中） 大长方形中按如图所示的方式摆放五个完全相同的小长方形，若一个小长方形的面积为，阴影部分的面积为20，则大长方形的周长为 ．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设小长方形的宽为，长为，如图，
∴大的长方形的长为，宽为，
∵阴影部分的面积为20，
∴，
∴，
即
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴大长方形的周长为；
故答案为：
【分析】设小长方形的宽为，长为，可表示出小长方形的面积，大长方形的长与宽，以及阴影部分的面积，从而可得关于x和y的方程，即，，整理得和，根据x>y>0，可开方得到x+y与x-y的值，从而可求得y值，代入即可得到大长方形的周长.
17．（2024七下·温州期中）如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ．
【答案】1
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．
∴，
设，
∵图1四边形为正方形，
∴，
∵，
∴图2中，则，
∵图2四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，解得，
则图2中，
故答案为：1．
【分析】根据题意可得，设，则，进一步得图2中，，继而得，列出，解得x，则图2中代入求解即可．
三、解答题
18．（2024七下·慈溪期中）① ②
（1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1： ．方法2：
（2）利用等量关系解决下面的问题：
，求和的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）得：，则：
①，即，
，
，
，
，
；
②，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：∵图②中大正方形的边长为（m+n），
∴图②中大正方形的面积为：(m+n)2，
∵图①中长方形的为2m、宽为2n，
∴图①中长方形的面积为：，
又∵S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积，
；
方法2：∵图②中小正方形的边长为（m-n），
∴S阴影＝小正方形的面积＝(m-n)2.
【分析】（1）方法1：根据S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积得出答案；
方法2：根据S阴影＝小正方形的面积得出答案；
（2）由（1）得，则：①，把a-b，ab的值代入即可求出(a+b)2的值，再利用完全平方公式求a2+b2的值；
②将平方，利用完全平方公式求的值，再将进行平方，利用完全平方公式求的值.
19．（2024七下·绍兴期中）如图，将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB，AD的长度分别为m，n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）若，，，，求的值；
（2）从下列4个条件中：①，②，③，④，选择其中2个，求的值．
【答案】（1）解：如图1，
∵，，，，
∴.
（2）解：选择②，④，
如图2，
∴.
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据图形得到：进而把，，，， 代入计算即可求解；
（2）根据平移的性质得到：进而得到.
20．（2024七下·鄞州期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1） 如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，
从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：
①已知，，求的值；
②如图3，由正方形边长为a，正方形边长为b，点在同一直线上，连接，
若，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：①由（1）结论变形知：
；
②
∵且，∵，∴，∴．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）用两种方法表示图2中正方形的面积，然后可得等式；
（2）①根据（1）中等式变形，然后代入计算即可；②先表示出阴影部分的面积，再利用完全平方公式的变形求出a+b，然后代入计算即可．
1 / 1《整式的乘除》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·奉化期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长（x＞y）．则①x﹣y＝n；②；③x2-y2=mn；④中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．（2024七下·余姚期中）将两张边长分别为和（>）的正方形纸片按图①、图②所示的方式放置在长方形ABCD内，（图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①、图②中阴影部分的面积为分别为、，当AD-AB=42时，以下用含，的代数式表示的值正确的是（ ）
A．- B．- C．- D．-
3．（2024七下·镇海区期中）如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·杭州期中）在矩形内，将一张边长为和两张边长为的正方形纸片按图1，图2两种方式放留，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若要知道图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·宁波期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
6．（2024七下·吴兴期中） 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为2和16，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
7．（2024七下·金东期中） 有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（2024七下·宁海期中）矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，设AD﹣AB＝m，则下列值是常数的是（ ）
A．ma B．mb C．m D．a+b
9．（2024七下·义乌期中） 聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（ ）
①若M＝20222，N＝2021×2023，则N＝M+1；
②若x＝22m﹣2，y＝3﹣4m，则用含x的代数式表示y为y＝﹣4x+3；
③若（1﹣2x）x+2＝1，则满足条件x的值有3个；
④若a2+b2＝3，a﹣b＝1，则（2﹣a）（2﹣b）的值为
⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024七下·温州期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（ ）
A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和
C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差
二、填空题
11．（2024七下·浙江期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
12．（2024七下·鄞州期中） 如图，有两个正方形A ，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A与B的面积之和为 ．
，
13．（2024七下·温州期中）如图，把边长为6的正方形ABCD对折并剪成2个大小相同的长方形.两个长方形如图1摆放，四边形AHNG为正方形，两个长方形重叠部分面积记为；两个长方形如图2摆放，四边形HFKN为正方形，两个长方形重叠部分面积记为.若，求图2中 .
14．（2024七下·杭州期中）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和■张长方形纸板．若做了竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完．小聪在做作业时，发现题中长方形纸板数字被墨水污染了，只记得这个数字比2000略大些，是2001，2002，2003，2004，2005中某个数字，则这个数字是 ，按照上述条件， 按照上述条件，最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 个
15．（2024七下·绍兴期中）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，现用x张A型卡片，100张B型卡片，y张C型卡片拼成一个正方形（无缝隙，不重叠），若a=3b，则x+y的最小值为 ．
16．（2024七下·温州期中） 大长方形中按如图所示的方式摆放五个完全相同的小长方形，若一个小长方形的面积为，阴影部分的面积为20，则大长方形的周长为 ．
17．（2024七下·温州期中）如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ．
三、解答题
18．（2024七下·慈溪期中）① ②
（1）图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1： ．方法2：
（2）利用等量关系解决下面的问题：
，求和的值；
②已知，求的值．
19．（2024七下·绍兴期中）如图，将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB，AD的长度分别为m，n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）若，，，，求的值；
（2）从下列4个条件中：①，②，③，④，选择其中2个，求的值．
20．（2024七下·鄞州期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1） 如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，
从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：
①已知，，求的值；
②如图3，由正方形边长为a，正方形边长为b，点在同一直线上，连接，
若，求图3中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图知：m=x+y，n=x-y，故①正确；
∴mn=(x+y)(x-y)=x2-y2，故③正确；
∵小长方形的面积=（大正方形的面积-小正方形面积）
∴xy=(m2-n2)，故②正确；
x2+y2=(x+y)2-2xy=m2-2×(m2-n2)=，故④错误.
故答案为：A.
【分析】由拼图知m=x+y，n=x-y，小长方形的面积=（大正方形的面积-小正方形面积），据此逐项验证即可.
2．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵S1=(AB-a)·a+(CD-b) (AD-a)=(AB-a)·a+(AB-b)(AD-a)，
S2=AB(AD-a)+(a-b)· (AB-a)
∴S2-S1=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)· a-(AB-b)(AD-a)=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB- a)(a-b-a)=b·AD-ab-b·AB+ab=b(AD-AB)，
∵AD-AB=42，
∴S2-S1=42b，
∴S1-S2=-42b.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的面积计算方法及图形分别表示出S1与S2，再根据整式的混合运算的运算顺序化简即可求出S1-S2的值.
3．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得：
的长为，宽为，
∴；
的长为，宽为，
∴；
的长为，宽为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴长方形的面积为，
故答案为：．
【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可将，，的长、宽及面积用含a、b的代数式表示出来，根据可求得的值，即长方形的面积．
4．【答案】A
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的周长，
图2中阴影部分的周长，
周长差．
故若要知道周长差，只要测量图中线段的长．
故答案为：A．
【分析】根据平移和周长的定义，利用整式的加减求出周长差=2AB即可解题．
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x．
由题意得，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴大长方形的周长．
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x，利用图形关系可得m和n的方程组，利用整体代入求出x值解题即可．
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：，
整理得，
由图②得：，
整理得，
∴
，
∴图②所示的大正方形的面积为，
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图①面积为2列式整理求出，根据图②面积为16列式整理求出，然后表示出 图②所示的大正方形的面积，代入计算即可．
7．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可得，（a+b）2-4ab=35，
即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，
即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，
所以ab=8，
即长方形的面积为8，
故答案为：B．
【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
8．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由可得：S2-S1=9，
由图①得：S矩形ABCD=S1+a2+b（AD-a），
由图②得：S矩形ABCD=S2+a2+b（AB-a），
∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），
∴S2-S1=b（AD-AB），
∴mb=12．
故答案为：B.
【分析】根据已知求出S2-S1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，然后得出等式，整理后可得mb=12．
9．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：①∵，
，
∴，①不符合题意；
②∵，，
∴，
∴，
∴故②符合题意；
③∵，
∴当时，，，则，符合题意；
当时，，，则，不合题意，
当时，，，则，符合题意．
综上所述：满足条件x的值有2个，③不符合题意；
④∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，；
当时，；
∴的值为，④不符合题意；
⑤设两个自然数的平方差，
∵与同奇或同偶，
∴这个数是奇数或是4的倍数，
在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个，
∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意；
综上所述：正确的只有1个；
故答案为：A
【分析】①根据平方差公式结合题意即可求解；②先根据同底数幂的除法进行计算，进而运用幂的乘方进行计算，从而等量代换即可求解；③根据题意分类讨论，分别判断这三种情况符不符合题意即可求解；④根据完全平方公式进行计算即可求解；⑤设两个自然数的平方差为，进而结合题意即可得到与同奇或同偶，从而得到这个数为奇数或4的倍数，再结合题意即可得到可以表示成某两个自然数的平方差的个数，从而即可得到不能表示成某两个自然数的平方差的个数．
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设①的长为，宽为，周长和为；③的宽为，长为，周长和为；其中、为已知的常数，
，
，
②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，
，
，
A.设①与②的周长之和为（为已知的常数），则有，
整理得：，，
解得，，
大长方形面积为是常数，
大长方形面积能求出，故不符合题意；
B.设②与③的面积之和为（为已知的常数），
则有，
，
大长方形面积为是常数，
大长方形面积能求出，故不符合题意；
C.设④与②的周长之差为（为已知的常数），
，
，
解得：，
大长方形面积为是常数，
大长方形面积能求出，故不符合题意；
D.设④与③的面积之差为（为已知的常数），
，
，
无法求出，
大长方形面积为无法求出，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】设①的长为，宽为，周长和为；③的长为，宽为，周长和为；其中、为已知的常数，由已知条件可求，，各选项进行逐一判断，即可求解．
11．【答案】（1）24
（2）
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，然后可得答案；
（2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，可得的系数为0，进行求解即可．
12．【答案】4.5
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，
由图甲得：，
由图乙得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设A、B正方形的边长分别为a、b，则面积分别为，根据图中阴影部分的面积列式整理得到，，然后利用完全平方公式计算即可．
13．【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由折叠知：CN=GK=3，
∵，
∴图1中GN=图2中NK，
设正方形边长为x
∵S1=GN·CN=3x，S2=CN（GK-KN）=3（3-x），
∴S1-S2=3x-3（3-x）=，
∴x=，
∴图2中GN=3-=，HN=x=，
∴ 图2中·=1.
故答案为：1.
【分析】由，可设两正方形边长为x，可得S1=GN·CN=3x，S2=CN（GK-KN）=3（3-x），由S1-S2=可求x知，从而求出图2中GN、HN的长，再根据长方形面积计算方法进行计算即可.
14．【答案】2005；197
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：x+2y=1000，
∴x=1000-2y.
∴4x+3y=4(1000-2y)+3y=4000-5y，
∵4000-5y一定是5的倍数，
∴这个数字是2005；
当被墨水污染的数字是2005时，依题意得：
解得：
∴399-202=197.
答： 最后做成的横式纸盒比竖式纸盒多 197个.
【分析】由题意可以知道：做一个竖式纸盒需要长方形纸板4个，正方形纸板1个；做一个横式纸盒需要长方形纸板3个，正方形纸板2个。所以做了竖式纸盒x个，横式纸盒y个，需要长方形纸板（4x+3y）个，正方形纸板（x+2y）个。再由已知： 将库存的纸板用完 。库存有 1000张正方形纸板和■张长方形纸板 。所以可列方程组得：由x+2y=1000，可得：x=1000-2y.所以4x+3y=4(1000-2y)+3y=4000-5y，因为4000-5y一定是5的倍数，所以这个数字是2005.
当被墨水污染的数字是2005时，列出方程组，解出方程组即可求出做成的竖式纸盒，横式纸盒的数量，再求做成的横式纸盒比竖式纸盒多的数量即可.
15．【答案】3
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，
∴
∵
∴
∴
∵正方形的边长为L，它必须是整数。同时也为整数，
∴也为整数，
∵最接近300的倍数为289，
∴设则
令∴x+y的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】设拼成的正方形的边长为L，则面积为L2，则可得到即根据正方形的特征则可知：也为整数，设则
令进而即可求解.
16．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设小长方形的宽为，长为，如图，
∴大的长方形的长为，宽为，
∵阴影部分的面积为20，
∴，
∴，
即
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴大长方形的周长为；
故答案为：
【分析】设小长方形的宽为，长为，可表示出小长方形的面积，大长方形的长与宽，以及阴影部分的面积，从而可得关于x和y的方程，即，，整理得和，根据x>y>0，可开方得到x+y与x-y的值，从而可求得y值，代入即可得到大长方形的周长.
17．【答案】1
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．
∴，
设，
∵图1四边形为正方形，
∴，
∵，
∴图2中，则，
∵图2四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，解得，
则图2中，
故答案为：1．
【分析】根据题意可得，设，则，进一步得图2中，，继而得，列出，解得x，则图2中代入求解即可．
18．【答案】（1）；
（2）解：由（1）得：，则：
①，即，
，
，
，
，
；
②，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：∵图②中大正方形的边长为（m+n），
∴图②中大正方形的面积为：(m+n)2，
∵图①中长方形的为2m、宽为2n，
∴图①中长方形的面积为：，
又∵S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积，
；
方法2：∵图②中小正方形的边长为（m-n），
∴S阴影＝小正方形的面积＝(m-n)2.
【分析】（1）方法1：根据S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积得出答案；
方法2：根据S阴影＝小正方形的面积得出答案；
（2）由（1）得，则：①，把a-b，ab的值代入即可求出(a+b)2的值，再利用完全平方公式求a2+b2的值；
②将平方，利用完全平方公式求的值，再将进行平方，利用完全平方公式求的值.
19．【答案】（1）解：如图1，
∵，，，，
∴.
（2）解：选择②，④，
如图2，
∴.
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据图形得到：进而把，，，， 代入计算即可求解；
（2）根据平移的性质得到：进而得到.
20．【答案】（1）
（2）解：①由（1）结论变形知：
；
②
∵且，∵，∴，∴．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）用两种方法表示图2中正方形的面积，然后可得等式；
（2）①根据（1）中等式变形，然后代入计算即可；②先表示出阴影部分的面积，再利用完全平方公式的变形求出a+b，然后代入计算即可．
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