《整式的乘除》精选压轴题（2）—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·开化期中）图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
2．（2024·七下婺城期中） 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
3．（2024七下·滨江期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
4．（2024七下·西湖期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
5．（2024七下·余姚期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，若图1中阴影部分周长与图2中阴影部分的周长之差已知，则能求出哪条线段的长（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
6．（2020七下·杭州期末）我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n.设5m＝3，5n＝15，5p＝75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2024七下·镇海区期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024七下·浙江期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
9．（2024七下·瑞安期中）如图，在长方形ABCD中，有正方形FGBE，正方形DMNH和正方形HKEC．S1，S2分别表示正方形FGBE，正方形DMNH的面积，若AB-BC=1，S1+S2=8，则阴影部分的面积是 ．
10．（2024七下·滨江期中）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置AB＝a，CD＝b，记图①中的阴影部分面积为．图②中的阴影部分面积为，甲正方形的面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
11．（2024七下·西湖期中）如图，在面积为56的长方形中放入边长分别为6和4的正方形和正方形，若三块阴影部分的面积之和为16，则长方形的周长为 ．
12．（2024七下·历城月考）如图，有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形与的面积之和为 ．
13．（2024·七下婺城期中）如图，长方形中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形DEFG及正方形HIJK．
（1）若阴影部分与为正方形，且的面积为4，则 ．
（2）若3个阴影部分的面积满足，则长方形ABCD的面积为 ．
三、解答题
14．（2024七下·永康期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
（3）如图3，由正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接，，若，，求图3中阴影部分的面积．
15．（2022八上·任泽月考）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
（1）【直接应用】若，，求的值．
（2）【类比应用】若，求．
（3）【知识迁移】将两块相同的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，，若，，求一块直角三角板的面积．
16．（2024七下·余杭期中）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足，求的值；
（2）类比探究：若x满足．求的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
17．（2024七下·慈溪期中）（1）下图中的是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的所示的正方形．请用两种不同的方法求图中的阴影部分的面积．
方法：______．方法：______．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
，，求和的值；
已知，求的值．
18．（2024七下·滨江期中）完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
19．（2024七下·新昌期中）阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，， 因为=， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：
∴
∵
∴
∴阴影部分面积是：
故答案为：B.
【分析】用含a和b的式子表示长方形的长和宽，进而求出a和b的值；最后用大长方形的面积减去4个小长方形的面积，进而即可求解.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：① a*b=(a-b)2=(b-a)2=b*a，故①符合题意；
②(a*b)2=(a2-2ab+b2)2≠(a2-b2)2，故②不符合题意；
③a*(b-c)=(a-b+c)2，(b-c)*a=(b-c-a)2=(a-b+c)2，故③符合题意；
④a*(b+c)=(a-b-c)2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc，
a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，
故④不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据新运算计算，根据完全平方差公式计算各式，即可求得.
3．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2
∴ （a+b）2是一个“完全数”
∴ （a+b）2＜180
∵ 132=169，142=196，
∴ 132＜180＜142
∴ 任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个
故答案为：B.
【分析】本题考查新定义及完全平方，理解定义是关键。设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2，则（a+b）2是一个“完全数”根据 132＜180＜142可得小于180且不重复的“完全数”的个数有13个.
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：①由图得，故①正确；
②由图得
，
，
，
故②正确；
③由图得
，
，
，
；
故③正确；
④由得，
，
，
，
，
；
故④正确；
故答案为：D．
【分析】根据边长关系判断①；根据判断 ② ；根据平方差公式判断③ ；根据完全平方公式的变形判断④解题．
5．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
图1中阴影部分周长为
，
图2中阴影部分为
∴图1中阴影部分周长与图2中阴影部分周长为
，
故答案为：C．
【分析】表示出图1与图2中阴影部分周长，求差计算解题．
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵5m＝3，
∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，
∴n＝1+m，
∵5p＝75＝52×3＝52+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
7．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
两个大小相同的小正方形及，
，
，
即，
四边形的面积等于，
同理可得，
，
四边形的面积等于，
，
，
即，
，
，
四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及，
，，
，
即，
正方形的面积为4，
长方形的面积已知，
已知，
故答案为：D．
【分析】延长交于点，即可得到，则有四边形的面积为，四边形的面积为，然后根据已知得到的面积为4，解答即可．
8．【答案】24；
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出的值即可；
（2）设，可表示出，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，由此可得到关于a，b的方程，解方程表示出a.
9．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方向DMNH的边长为a，正方形FGBE的边长为b，正方形HKEC的边长为c.
∵AB-BC=1，而AB=a+c，BC=b+c，
∴（a+c）-（b+c）=1，即a-b=1.
∵ S1+S2=8，
∴a2+b2=8.
∴（a-b）2+2ab=8，代入a-b=1得.
∴阴影部分面积.
故答案为：.
【分析】先设未知量a、b、c，阴影部分面积为ab，而根据条件，可先后推算出a-b、以及a2+b2的值，那么结合完全平方公式的变形，就能求出ab值.
10．【答案】（1）0
（2）4
【知识点】整式的加减运算；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）由图形摆放可知，正方形甲的边长为a， =a2，正方形乙的边长为a-b， 图①中的阴影部分面积为 =2a(a-b)， 图②中的阴影部分面积为 =a2-(a-b)2，
∵
∴ 2a(a-b)+a2-(a-b)2=a2
整理得：a2-2b2=0
∴
故答案为：0.
（2）∵
∴ 2a(a-b)=a2-(a-b)2，
整理得：2a2+b2=4ab
∴
【分析】本题考查整式的应用及分式的化简，应用整体代入的思想求值是解题关键。根据图形，列出 =a2， =2a(a-b)， =a2-(a-b)2，（1）根据，化简得a2-2b2=0，得；(2)由得2a2+b2=4ab，则.
11．【答案】30
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：如图
设AD=BC=x，AB=CD=y，
由题意可得AG=GF=FE=AE=6，NK=NM=MC=KC=4
∴GD=x-6，DM=y-4，NH=6-(y-4)=10-y，HF=6+4-x=10-x，EH=x-4，HK=y-6
∵三块阴影部分的面积之和为16，
∴
整理，得：
∵长方形的面积为56
∴，，
∴，即长方形的周长为30
故答案为：30．
【分析】设AD=BC=x，AB=CD=y，表示三块阴影部分的面积，列方程求出x+y解题即可．
12．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设A、B正方形的面积分别为，则边长分别为a、b，
由图甲得：，
由图乙得：，
即：，
∴．
故答案为：．
【分析】设A、B正方形的面积分别为，然后表示图甲和乙的面积，然后根据完全平方公式的变形解题即可．
13．【答案】（1）16
（2）130
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵ S2=4，S2为正方形，
∴ S2的边长为2，
∵ FG=6，
∴ S3的边长为4，
∴ S3的面积为16；
（2）设长方形的长AD=a，宽AB=b，
则S3的面积为(a-8)(a-6)，S1面积为2（b-8），S2的面积为(12-b)(14-a)，
即2(a-8)(a-6)+2(b-8)-(12-b)(14-a)=42，
化简可得，ab=130.
故答案为：（1）16；（2）130.
【分析】（1）根据正方形的面积公式可得S2的边长，根据S3的边长求得其面积；
（2）设长方形的长AD=a，宽AB=b，分别用a和b表示出三个阴影面积，代入关系式计算即可求得ab的值，即为所求.
14．【答案】（1）
（2）解：由（1）结论变形知：
；
（3）解：
∵且，
∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：图2中正方形的面积可以表示为：．
还可以表示为：．
.∴．
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积即可；
（2）根据（1）的结论代入计算即可；
（3）根据图形中各个部分面积之间的关系得出，代入数值计算解题．
15．【答案】（1）解：，
又，，
，
；
（2）解：设，则．
，即，
；
（3）解：依题意得，，，
点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，
，，
设，，
，
又，
，解得，
．
答：一块直角三角板的面积为24．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
16．【答案】解：（1）设a=3-x，b=x-2，
∴ab=-10，a+b=1，
∴（3-x）2+（x-2）2，
=a2+b2
=（a+b）2-2ab
=12-2×（-10）
=21；
（2）设a=2022-x，b=2021-x，
∴a-b=1，a2+b2=2020，
∴=ab＝ [(a b)2 (a2+b2)]= ×(12 2020)=1009.5；
（3）∵EF=DG=x-20，ED=FG=x-10，
∵四边形MEDQ与NGDH为正方形，四边形QDHP为长方形，
∴MF=EF+EM=EF+ED=（x-20）+（x-10），FN=FG+GN=FG+GD，
∴FN=（x-10）+（x-20），
∴MF=NF，
∴四边形MFNP为正方形，
设a=x-20，b=x-10，
∴a-b=-10，
∵SEFGD=200，
∴ab=200，
∴SMFNP＝(a+b)2=（a-b）2+4ab=（-10）2+4×200=900
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）令a=3-x，b=x-2，然后利用完全平方和公式的变形解题；（2）令a=2021-x，b=2020-x，然后根据完全平方差公式的变形解题即可；
（3）设a=x-20，b=x-10，即可得到ab=200，a-b=-10，然后利用完全平方差公式的变形解题即可．
17．【答案】（）；；
（）①∵，，
∴；
∵；
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积，
∵小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴；，
故答案为：；；
【分析】(1)方法1，根据“S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为S阴影=小长方形的面积即可得出答案；
(2)①由 (1)中所得的等量关系得 将 代入即可得 的值；再根据 得 据此可得 的值；
②将 平方得 再将 平方即可得出 的值.
18．【答案】（1）解： ∵
∴ 42-2mn=25
∴ mn=
（2）解：∵
∴ (a-2b)2+4×（-5）=11
∴ (a-2b)2=31
∴ a-2b=
（3）解：如图
设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6
∵ 正方形ABHG，正方形DEFC，正方形AMND，正方形BPQC，
∴ S正ABHG= S正DEFC=b2， S正AMND= S正BPQC=a2
∴ S阴影=S正ABHG+ S正DEFC+S正AMND+ S正BPQC=2（b2+a2）
∵ 阴影部分的周长为38
∴ 8a+4b=38 即4a+2b=19
∴ （4a+2b）2=192
∴ （4a-2b）2=（4a+2b）2-32ab=192-32×6=169
∴ （4a-2b）2=169
∵ BC＞2AB
∴ a＞2b
∴ 4a＞2b即4a-2b＞0
∴ 4a-2b=13
联立解得a=4，b=
则S阴影=2（b2+a2）=2（16+）=
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用求值，灵活变形，解二元一次方程组是解题关键。（1）用完全平方公式变形，得 即可；（2）先求，可得 a-2b的值；（3）设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6，表示S阴影=2（b2+a2）；根据阴影周长得4a+2b=19；利用完全平方公式变形后得4a-2b=13，联立可得a，b值，可得S阴影.
19．【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】任务一：由题目给出的新信息，进行混合运算得出结果；
任务二：直接去计算并判断结果是否为平衡因式.
任务三：由题意 ，分别验证(x+2)、（x-2）、（x+p）为第一个完全平方式，直接计算进行验证即可.
1 / 1《整式的乘除》精选压轴题（2）—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·开化期中）图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由图可知：
∴
∵
∴
∴阴影部分面积是：
故答案为：B.
【分析】用含a和b的式子表示长方形的长和宽，进而求出a和b的值；最后用大长方形的面积减去4个小长方形的面积，进而即可求解.
2．（2024·七下婺城期中） 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：① a*b=(a-b)2=(b-a)2=b*a，故①符合题意；
②(a*b)2=(a2-2ab+b2)2≠(a2-b2)2，故②不符合题意；
③a*(b-c)=(a-b+c)2，(b-c)*a=(b-c-a)2=(a-b+c)2，故③符合题意；
④a*(b+c)=(a-b-c)2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc，
a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，
故④不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据新运算计算，根据完全平方差公式计算各式，即可求得.
3．（2024七下·滨江期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2
∴ （a+b）2是一个“完全数”
∴ （a+b）2＜180
∵ 132=169，142=196，
∴ 132＜180＜142
∴ 任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个
故答案为：B.
【分析】本题考查新定义及完全平方，理解定义是关键。设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2，则（a+b）2是一个“完全数”根据 132＜180＜142可得小于180且不重复的“完全数”的个数有13个.
4．（2024七下·西湖期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③④ B．②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：①由图得，故①正确；
②由图得
，
，
，
故②正确；
③由图得
，
，
，
；
故③正确；
④由得，
，
，
，
，
；
故④正确；
故答案为：D．
【分析】根据边长关系判断①；根据判断 ② ；根据平方差公式判断③ ；根据完全平方公式的变形判断④解题．
5．（2024七下·余姚期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，若图1中阴影部分周长与图2中阴影部分的周长之差已知，则能求出哪条线段的长（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意知，，
图1中阴影部分周长为
，
图2中阴影部分为
∴图1中阴影部分周长与图2中阴影部分周长为
，
故答案为：C．
【分析】表示出图1与图2中阴影部分周长，求差计算解题．
6．（2020七下·杭州期末）我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n.设5m＝3，5n＝15，5p＝75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵5m＝3，
∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，
∴n＝1+m，
∵5p＝75＝52×3＝52+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
7．（2024七下·镇海区期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
两个大小相同的小正方形及，
，
，
即，
四边形的面积等于，
同理可得，
，
四边形的面积等于，
，
，
即，
，
，
四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及，
，，
，
即，
正方形的面积为4，
长方形的面积已知，
已知，
故答案为：D．
【分析】延长交于点，即可得到，则有四边形的面积为，四边形的面积为，然后根据已知得到的面积为4，解答即可．
二、填空题
8．（2024七下·浙江期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
【答案】24；
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出的值即可；
（2）设，可表示出，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，由此可得到关于a，b的方程，解方程表示出a.
9．（2024七下·瑞安期中）如图，在长方形ABCD中，有正方形FGBE，正方形DMNH和正方形HKEC．S1，S2分别表示正方形FGBE，正方形DMNH的面积，若AB-BC=1，S1+S2=8，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设正方向DMNH的边长为a，正方形FGBE的边长为b，正方形HKEC的边长为c.
∵AB-BC=1，而AB=a+c，BC=b+c，
∴（a+c）-（b+c）=1，即a-b=1.
∵ S1+S2=8，
∴a2+b2=8.
∴（a-b）2+2ab=8，代入a-b=1得.
∴阴影部分面积.
故答案为：.
【分析】先设未知量a、b、c，阴影部分面积为ab，而根据条件，可先后推算出a-b、以及a2+b2的值，那么结合完全平方公式的变形，就能求出ab值.
10．（2024七下·滨江期中）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置AB＝a，CD＝b，记图①中的阴影部分面积为．图②中的阴影部分面积为，甲正方形的面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
【答案】（1）0
（2）4
【知识点】整式的加减运算；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）由图形摆放可知，正方形甲的边长为a， =a2，正方形乙的边长为a-b， 图①中的阴影部分面积为 =2a(a-b)， 图②中的阴影部分面积为 =a2-(a-b)2，
∵
∴ 2a(a-b)+a2-(a-b)2=a2
整理得：a2-2b2=0
∴
故答案为：0.
（2）∵
∴ 2a(a-b)=a2-(a-b)2，
整理得：2a2+b2=4ab
∴
【分析】本题考查整式的应用及分式的化简，应用整体代入的思想求值是解题关键。根据图形，列出 =a2， =2a(a-b)， =a2-(a-b)2，（1）根据，化简得a2-2b2=0，得；(2)由得2a2+b2=4ab，则.
11．（2024七下·西湖期中）如图，在面积为56的长方形中放入边长分别为6和4的正方形和正方形，若三块阴影部分的面积之和为16，则长方形的周长为 ．
【答案】30
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：如图
设AD=BC=x，AB=CD=y，
由题意可得AG=GF=FE=AE=6，NK=NM=MC=KC=4
∴GD=x-6，DM=y-4，NH=6-(y-4)=10-y，HF=6+4-x=10-x，EH=x-4，HK=y-6
∵三块阴影部分的面积之和为16，
∴
整理，得：
∵长方形的面积为56
∴，，
∴，即长方形的周长为30
故答案为：30．
【分析】设AD=BC=x，AB=CD=y，表示三块阴影部分的面积，列方程求出x+y解题即可．
12．（2024七下·历城月考）如图，有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形与的面积之和为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设A、B正方形的面积分别为，则边长分别为a、b，
由图甲得：，
由图乙得：，
即：，
∴．
故答案为：．
【分析】设A、B正方形的面积分别为，然后表示图甲和乙的面积，然后根据完全平方公式的变形解题即可．
13．（2024·七下婺城期中）如图，长方形中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形DEFG及正方形HIJK．
（1）若阴影部分与为正方形，且的面积为4，则 ．
（2）若3个阴影部分的面积满足，则长方形ABCD的面积为 ．
【答案】（1）16
（2）130
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵ S2=4，S2为正方形，
∴ S2的边长为2，
∵ FG=6，
∴ S3的边长为4，
∴ S3的面积为16；
（2）设长方形的长AD=a，宽AB=b，
则S3的面积为(a-8)(a-6)，S1面积为2（b-8），S2的面积为(12-b)(14-a)，
即2(a-8)(a-6)+2(b-8)-(12-b)(14-a)=42，
化简可得，ab=130.
故答案为：（1）16；（2）130.
【分析】（1）根据正方形的面积公式可得S2的边长，根据S3的边长求得其面积；
（2）设长方形的长AD=a，宽AB=b，分别用a和b表示出三个阴影面积，代入关系式计算即可求得ab的值，即为所求.
三、解答题
14．（2024七下·永康期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
（3）如图3，由正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接，，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：由（1）结论变形知：
；
（3）解：
∵且，
∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：图2中正方形的面积可以表示为：．
还可以表示为：．
.∴．
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积即可；
（2）根据（1）的结论代入计算即可；
（3）根据图形中各个部分面积之间的关系得出，代入数值计算解题．
15．（2022八上·任泽月考）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题．
（1）【直接应用】若，，求的值．
（2）【类比应用】若，求．
（3）【知识迁移】将两块相同的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，，若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】（1）解：，
又，，
，
；
（2）解：设，则．
，即，
；
（3）解：依题意得，，，
点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，
，，
设，，
，
又，
，解得，
．
答：一块直角三角板的面积为24．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
16．（2024七下·余杭期中）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以
请仿照上例解决下面的问题：
（1）问题发现：若x满足，求的值；
（2）类比探究：若x满足．求的值；
（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【答案】解：（1）设a=3-x，b=x-2，
∴ab=-10，a+b=1，
∴（3-x）2+（x-2）2，
=a2+b2
=（a+b）2-2ab
=12-2×（-10）
=21；
（2）设a=2022-x，b=2021-x，
∴a-b=1，a2+b2=2020，
∴=ab＝ [(a b)2 (a2+b2)]= ×(12 2020)=1009.5；
（3）∵EF=DG=x-20，ED=FG=x-10，
∵四边形MEDQ与NGDH为正方形，四边形QDHP为长方形，
∴MF=EF+EM=EF+ED=（x-20）+（x-10），FN=FG+GN=FG+GD，
∴FN=（x-10）+（x-20），
∴MF=NF，
∴四边形MFNP为正方形，
设a=x-20，b=x-10，
∴a-b=-10，
∵SEFGD=200，
∴ab=200，
∴SMFNP＝(a+b)2=（a-b）2+4ab=（-10）2+4×200=900
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）令a=3-x，b=x-2，然后利用完全平方和公式的变形解题；（2）令a=2021-x，b=2020-x，然后根据完全平方差公式的变形解题即可；
（3）设a=x-20，b=x-10，即可得到ab=200，a-b=-10，然后利用完全平方差公式的变形解题即可．
17．（2024七下·慈溪期中）（1）下图中的是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的所示的正方形．请用两种不同的方法求图中的阴影部分的面积．
方法：______．方法：______．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
，，求和的值；
已知，求的值．
【答案】（）；；
（）①∵，，
∴；
∵；
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积，
∵小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴；，
故答案为：；；
【分析】(1)方法1，根据“S阴影=图②中大正方形的面积-图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为S阴影=小长方形的面积即可得出答案；
(2)①由 (1)中所得的等量关系得 将 代入即可得 的值；再根据 得 据此可得 的值；
②将 平方得 再将 平方即可得出 的值.
18．（2024七下·滨江期中）完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题
例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值．
解：．
根据以上信息回答下列问题：
（1）若m＋n＝4，，求mn的值；
（2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值；
（3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解： ∵
∴ 42-2mn=25
∴ mn=
（2）解：∵
∴ (a-2b)2+4×（-5）=11
∴ (a-2b)2=31
∴ a-2b=
（3）解：如图
设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6
∵ 正方形ABHG，正方形DEFC，正方形AMND，正方形BPQC，
∴ S正ABHG= S正DEFC=b2， S正AMND= S正BPQC=a2
∴ S阴影=S正ABHG+ S正DEFC+S正AMND+ S正BPQC=2（b2+a2）
∵ 阴影部分的周长为38
∴ 8a+4b=38 即4a+2b=19
∴ （4a+2b）2=192
∴ （4a-2b）2=（4a+2b）2-32ab=192-32×6=169
∴ （4a-2b）2=169
∵ BC＞2AB
∴ a＞2b
∴ 4a＞2b即4a-2b＞0
∴ 4a-2b=13
联立解得a=4，b=
则S阴影=2（b2+a2）=2（16+）=
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用求值，灵活变形，解二元一次方程组是解题关键。（1）用完全平方公式变形，得 即可；（2）先求，可得 a-2b的值；（3）设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6，表示S阴影=2（b2+a2）；根据阴影周长得4a+2b=19；利用完全平方公式变形后得4a-2b=13，联立可得a，b值，可得S阴影.
19．（2024七下·新昌期中）阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，， 因为=， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】任务一：由题目给出的新信息，进行混合运算得出结果；
任务二：直接去计算并判断结果是否为平衡因式.
任务三：由题意 ，分别验证(x+2)、（x-2）、（x+p）为第一个完全平方式，直接计算进行验证即可.
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