《相交线与平行线》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七下·温州期中）如图，四边形，，，是四边形内部两点，连结，，，，且，，在同一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行公理及推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
2．（2024七下·瑞安期中）如图，把长方形纸条沿EF，GH折叠（点E，H在AD 边上，点F，G在BC边上），A点的对称点为点，D点的对称点为点，若线段落在边E上，∠EH=32°，则∠BFE等于（ ）
A．58° B．61° C．62° D．64°
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：设B'F与EH的交点为K. 根据长方形的性质以及折叠，易知
A'E∥B'F，AD∥BC，∠ED'H=90°，∠BFE=∠EFB'.
∵∠EHD'=32°，
∴在Rt△D'EH中，∠D'EH=90°-32°=58°.
∵A'E∥B'F，AD∥BC，
∴∠D'EH=∠B'KH=∠B'FG=58°.
∴∠BFE=（180°-∠B'FG）÷2=（180°-58°）÷2=61°.
故答案为：B.
【分析】解题的关键是根据长方形的性质以及折叠的性质得A'E∥B'F，AD∥BC，∠ED'H=90°，∠BFE=∠EFB'.由直角三角形的性质求得∠D'EH，由平行线的性质得∠B'FG的度数，再由折叠和平角定义即可计算出∠B'FG.
3．（2024六下·任城期末）如图1，直线与直线分别交于点与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线交于点与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：∵与互补，与互为邻补角，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的大小不会发生变化，其值为．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据同角的邻补角相等得到，即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出解题即可；
（3）先得到，即可求出，然后根据角平分线的定义得到解题即可．
二、填空题
4．（2024七下·福州月考）如图，AB//CD，点G在直线AB上， 点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在G、H所在直线的左侧， 若 ∠GKH=60°，点P为线段KH上一点(不和K、H重合)，连接PG并延长到M， 设∠KHC=n∠KGP，要使得为定值，则n=
【答案】3
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长MP交CD于点O，
设∠KGP=x，则∠KHC=nx，
∵∠GKH=60°，
∴∠GPH=60°+x，
∠OPH=180°-（60°+x）=120°-x，
∵AB∥CD，
∴∠AGM=∠COM=∠OPH+∠KHC=120°-x+ nx=120°+（n-1）x，
∴=
∵n-1=2时， 为定值，即==2，
∴n-1=2，解得：n=3.
故答案为3.
【分析】延长MP交CD于点O，设∠KGP=x，根据平行线的性质得到∠AGM=∠COM120°+（n-1）x，然后根据 为定值求出n的值解题.
5．（2024七下·临海期中） 如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ．
【答案】、和
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点E在直线的下方，
如图所示，当时，
；
如图所示，，
；
如图所示，，
；
故答案为：、和．
【分析】分类讨论：当时，，，根据题意画出图形，根据旋转的性质，平行线的性质分别求解即可．
6．（2024七下·杭州期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝ °，∠EMN﹣∠MNF＝ °．
【答案】260；40
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；角的双角平分线和型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，如图，
∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴的值为40°，
故答案为：260，40.
【分析】过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，由平移于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥OG∥HN∥CD，由平行线性质及等式性质得结合得到然后根据角平分线的定义，可设进而再根据平行线的性质及等式性质即可求解.
7．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型；平行公理
【解析】【解答】过点，，作，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵和分别是，的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：32°.
【分析】过点G， M， H作 ，利用锯齿模型可得 然后利用角平分线的定义推理可得 ，最后利用猪脚模型解题即可．
8．（2024七下·温州期中） 图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ．
【答案】65；53
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：分别作出两个定日镜的法线：
∵反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角
∴
∵
∴
∴
∵光线是平行的
∴
∵反射光线与水平线的夹角是时
∴
∵
∴
则
∵
∴
故答案为：65，53
【分析】根据题意的新定义内容，作出法线，依据垂直的定义，结合已知角，得出，再利用角的运算，得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值，进行计算，即可作答．
三、解答题
9．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ▲ ．
【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）解：①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②过点D作DG∥AE交AB于G，如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据，得到：结合题意和平行线的判定定理即可求证；
（2）①过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质和垂直的定义即可求出∠FDQ的度数，进而即可求解；
②过点D作DG∥AE交AB于G，根据平行线的判定和性质以及角的运算即可求解.
10．（2024七下·余姚期中）如图，已知为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC=180°.
（1）求证：AD∥BC.
（2）连接CF，当FC∥AB，∠CFB=∠DCF时，求∠BCD的度数.
（3）若∠DCF=∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当∠PQD—∠QDC=24°时，求∠DQP的度数.
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠CFB＝∠DCF，
∴设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3α，
∴∠BCF＝2α，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）解：如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF＝∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DFE，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠CDF，
∴∠ABC＝2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠CDF＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∴∠APQ＝120°，
∵∠PQD﹣∠QDC＝24°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣24°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD＝180°，
∵∠CDF＝60°，
∴∠CDQ+∠PQD＝120°，
∴∠PQD-24°+∠PQD=120°
∴∠PQD＝72°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠EDF＝∠DAB，由角平分线的定义得∠EDF＝∠ADC，则∠ADC＝∠DAB，结合已知，利用等量代换可得∠DAB+∠ABC＝180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论；
（2）由已知可设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，由二直线平行，内错角相等，得∠ABF＝∠CFB＝1.5α，由角平分线的定义得∠ABC＝2∠ABF＝3α，由二直线平行，同旁内角互补，得∠ADC+∠BCD＝180°，结合已知，由同角的补角相等得∠BCD＝∠ABC＝3α，由二直线平行，同旁内角互补，得∠ABC+∠BCF＝180°，从而代入可求出α得度数，此题得解；
（3）由内错角相等，两直线平行，得BF∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF＝∠DFE，由二直线平行，同位角相等得∠CBF＝∠DFE，则∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义得∠ABC＝2∠CDF，结合已知可得∠ABC＝∠DCB=120°，∠CDF＝60°，由二直线平行，同旁内角互补得∠DAB＝60°，由平移的性质得BC∥PQ，由二直线平行，同位角相等得∠APQ＝120°，根据二直线平行，同旁内角互补，得∠FDC+∠CDQ+∠PQD＝180°，结合已知可求出∠PQD的度数.
11．（2024七下·瑞安期中）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P.
（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由.
（2）若∠FHG=3∠EPF，求∠EFD的度数.
（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ.若∠QFH=∠FQH，且∠PEQ－∠EQF=50°，求∠EQF的度数.
【答案】（1）解：相等，理由如下：
平分
（2）解：解：
设
（3）解：解：点在射线上，
①当点在点上方时，如图所示，
平分，
即
由题意得
，
②当点在点下方时，过点作平行线交射线于点，交直线于点，延长交射线于点
如图所示，
平分，.
由题意得
∴∠PEF+∠EFT=90°，
∴QT⊥PE，
，
又∵
综上所述或
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行得出，根据平分得出，故证明出；
（2）根据三角形外角和定理得出∠EFD与∠EPF的数量关系，根据平行的性质以及条件得出∠FHG与∠EFD的数量关系，结合条件，设∠EPF=x°，得关于x的方程并求解，从而可计算出∠EFD；
（3）点Q为射线GH上的一点，即可能出现在H上方（G的下方）或H的下方，故需要分两种情况讨论.
当点Q在H上方时，证明，由角平分线定义得，由平行线性质可证得EP//FQ，于是可计算∠EQF度数；当点Q在H下方时，过点作平行线交射线于点，交直线于点，延长交射线于点，证明，由角平分线定义得，由平行线性质得∠PEF+∠EFT=90°，于是有QT⊥PE，根据直角三角形性质可得
，结合题目条件即可计算∠EQF度数；
12．（2024·七下婺城期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
【答案】（1）解：∠AEP＝150°；
（2）解：①当PN平分∠EPF时，求得运动时间t的值为3秒，9秒，15秒.
∠AEM＝3×9°＝27° 或∠AEM＝9×9°＝81° 或∠AEM＝15×9°＝135°
②
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵ PF⊥CD，∠FPE=60°，
∴ ∠PEB=30°，
∴ ∠AEP=150°；
（2）②当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，又∵0≤∠EPN≤60°，
∴ ∠MEP=150°-9t，且，
当150°-9t=10°（12-t），无解；
当，150°-9t=10（t-12），解得，t=；
故t=.
【分析】（1）根据垂线的定义和三角形的内角和定理即可求得；
（2）①根据角平分线的定义，先求出t的值，再计算∠AEM即可；
②根据平行线的性质可得∠MEP=∠EPN，再根据∠EPN的取值范围求得t的取值范围，再分两种情况：当时和当时，根据∠MEP=∠EPN列出关于t的方程，即可求得.
13．（2024七下·吴兴期中）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（ ）
∴ ， （ ）
，
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
【答案】（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；
（2）解：，理由如下，过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
14．（2024七下·杭州期中）如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°．若＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）
(1) 求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）
(2) 求证：AB∥CD
(3) 若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直线AM与直线FM交于点M，直接写出∠AMF的度数
【答案】(1) ∵＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100），∴x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，
∴∠A＝x°=m＋20°，∠C＝y°=m＋80°，z=40°，
(2) 过点F作FG∥AB，过点E作EH∥AB，
∴EH∥FG，
∴∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，
∴∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，
∵∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，
∴AB∥CD，
(3) 50°；70°；30°；10°.
【知识点】平行线的判定；乌鸦嘴模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：(3) 当∠A＝40°时，∠C＝100°，
如图，分为四种情况：
延长FE交AM于N，
∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，
∴∠MAE=20°，
∵∠AEF=80°，
∴∠ANE=80°-20°=60°，
∴∠AMF=60°-10°=50°，
∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，
∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，
∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°
∴∠EAM=60°，
∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，
∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，
延长AE交FM于O，
∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，
∴∠AOF=80°-10°=70°，
∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，
综上所述：∠AMF的度数分别为：50°；70°；30°；10°.
【分析】（1）利用二次根式和绝对值的非负性解题即可；
（2）过点F作FG∥AB，点E作EH∥AB，则有EH∥FG，即可得到∠BAE＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，求出∠EFG＝60°－m，再根据∠CFG＋∠FCD＝180°，得到结论；
（3）分四种情况画图，利用角的和差得到∠MAE=20°，然后求出∠ANE和∠ANF的度数，利用三角形的内角和定理和外角性质解题即可
15．（2024七下·义乌期中）如图1，已知直线MN∥GH，点A在直线MN上，点B在直线GH上．
（1）如图1，点C在直线MN、GH之间，连接AC、BC，若∠NAC＝26°，∠CBH＝40°，则∠ACB的度数为 ；
（2）如图2，点C在直线MN的上方，AE平分∠CAN，BF平分∠GBC，延长EA交BF交于点D，若∠CAE＝20°，∠ACB＝16°，求∠BDE的度数；
（3）如图3，点C在直线MN的上方，∠CAN＝40°，∠CBG＝100°，BF平分∠GBC交MN于点F，将∠CAN绕着点A以每秒2°的速度逆时针方向旋转得∠CAN，旋转时间为t秒；同时将射线BF绕着点B以每秒6°的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线BG首次重合时，∠CAN和射线BF同时停止转动．在旋转过程中，作∠的角平分线AP，作∠的角平分线BQ，请求出当AP∥BQ时t的值．
【答案】（1）66°
（2）解：平分， ，如图所示：
，
，，
，
，
平分，
，
，
；
（3）解：，平分，
，
当在上方时，反向延长交于点T，
，
，
由题意得：，
解得：；
当在下方时，反向延长交于点R，
，
，
由题意得：，
解得：；
综上所述，当时的值为9或45．
【知识点】解一元一次方程；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）作，如图所示：
，
，
，
，
；
【分析】（1）作，先根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，从而代入角进行即可求解；
（2）平分， ，先结合题意得到，进而得到，，从而根据平行线的性质得到，再结合角平分线的定义得到∠GBF的度数，从而进行角的运算即可求解；
（3）先结合题意根据角平分线的定义得到，进而分类讨论：当在上方时，当在下方时，进而结合平行线的性质解一元一次方程即可求解。
16．（2024七下·浦江期中）
（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由.
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线OC的夹角∠MOC)
（3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD， ∠BAF=160°，∠DCF=80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t
【答案】（1）解：如图：
光线a平行于光线b，理由如下：
∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠3-∠1=∠4-∠2，即∠ABC=∠BCD，
∴a//b.
（2）解：因为入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1=∠2
∵入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，
∴MN 与水平线的夹角为：
（3）解：存在，分三种情况讨论
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
要使AB∥CD ，
则，
解得t=-20(舍去)；
如图②，CD旋转到和AB都在EF的右侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即
解得t=40
此时，
，故成立；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即；
解得 t=40 ，
此时 2t＞160
∴此情况不存在．
综上所述，t为40秒时，CD与AB平行
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）反向延长射线a和射线b，由 ∠1=∠2，∠3=∠4可得∠ABC=∠BCD，根据平行线的判定定理即可得到结论.
（2）根据镜面反射的性质得∠1=∠2，根据入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，可得∠1+∠2=180°，于是可得∠1的度数，∠1+15°即为平面镜MN与水平线的夹角.
（3）分三种情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，同样分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解.
17．（2024七下·上城期中）已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线之间且在直线左侧，连接；
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解；①如图所示，过点M作，∵，
∴，
∴，，
∴；
②由（2）①可知，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据等量代换得到，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）①过点M作，则，然后根据同旁内角互补得到，，然后根据角的和差解题即可；
②由①可知，根据角平分线得到，即可得到；然后得到，即可得到结论.
18．（2024七下·奉化期中）如图，已知直线CP∥OQ，点B与点A分别在射线CP和OQ上，且满足AB∥OC，∠BCO=100°．点F在直线BC上且在点B左侧，满足∠FOB=∠FBO=α，∠COF的角平分线与直线CP相交于点E．
（1）如图1，求∠BOE的度数；
（2）如图2，若α=45°，补全图形，并求∠BOE的度数；
（3）若左右平移线段AB，是否存在 的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵CP∥OQ，
∴∠FBO=∠BOA，
∵∠FOB=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴∠FOB=∠BOA=∠FOA，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=∠FOC，
∴∠BOE=∠FOB+∠FOE=∠FOA+∠FOC=∠AOC，
∵CP∥OQ， ∠BCO＝100°．
∴∠AOC=180°- ∠BCO=80°，
∴∠BOE=∠AOC=40°.
（2）解：∵ α＝45°， 则∠BOF=45°，∠COB=35°，
∴∠BOF＞∠COB，则点F在点C的左侧，如图：
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=∠COF，
∵∠BOF=45°，∠COB=35°，
∴∠COF=∠BOF-∠BOC=10°，
∴∠COE=∠FOE=5°，
∴∠BOE=∠BOC+∠EOC=35°+5°=40°.
（3）解：如图，
∵∠BOE=40°，∠FOB=∠FBO=α，
∴∠COE=∠EOF=40°-α，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=80°-α，
∵OC∥AB，
∴∠OBA=∠BOC=80°-α，
∵PC∥OQ，
∴∠CEO=∠AOE=40°+α，
∵
∴40°+α=80°-α，
解得α=32°.
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及已知可推出∠FOB=∠BOA=∠FOA，由角平分线的定义可得∠COE=∠FOE=∠FOC，从而求出∠BOE=∠FOB+∠FOE=∠AOC，利用平行线的性质可得∠AOC=180°- ∠BCO=80°，继而得解；
（2）由题意得∠BOF=45°，∠COB=35°，从而判断出点F在点C的左侧，再求出∠COE，利用∠BOE=∠BOC+∠EOC即可求解；
（3）如图，先利用α表示出∠OBA和∠CEO的度数，再利用建立方程，继而求解求解即可.
19．（2024七下·宁波期中）将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当时，求证：；
（2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：①延长交于点F，如图1所示：
∵，点D在直线的上方，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（Ⅰ）当时，如图2所示：
则，
由（1）可知：；
（Ⅱ）当时，如图3所示：
则；
（Ⅲ）当时，如图4所示：
则，
∴；
（Ⅳ）当时，如图5所示：
则，
∴；
（Ⅴ）当时，与（3）①相同，．
综上所述：α的度数为或或或或
【知识点】平行线的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据周角的定义和平行线的判定定理解题即可；
（2）分五种情况画图，利用平行线的性质得到α的度数解题．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①延长交于点F，如图1所示：
∵，点D在直线的上方，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（Ⅰ）当时，如图2所示：
则，
由（1）可知：；
（Ⅱ）当时，如图3所示：
则；
（Ⅲ）当时，如图4所示：
则，
∴；
（Ⅳ）当时，如图5所示：
则，
∴；
（Ⅴ）当时，与（3）①相同，．
综上所述：α的度数为或或或或．
1 / 1《相交线与平行线》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七下·温州期中）如图，四边形，，，是四边形内部两点，连结，，，，且，，在同一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·瑞安期中）如图，把长方形纸条沿EF，GH折叠（点E，H在AD 边上，点F，G在BC边上），A点的对称点为点，D点的对称点为点，若线段落在边E上，∠EH=32°，则∠BFE等于（ ）
A．58° B．61° C．62° D．64°
3．（2024六下·任城期末）如图1，直线与直线分别交于点与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线交于点与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
二、填空题
4．（2024七下·福州月考）如图，AB//CD，点G在直线AB上， 点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在G、H所在直线的左侧， 若 ∠GKH=60°，点P为线段KH上一点(不和K、H重合)，连接PG并延长到M， 设∠KHC=n∠KGP，要使得为定值，则n=
5．（2024七下·临海期中） 如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ．
6．（2024七下·杭州期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝ °，∠EMN﹣∠MNF＝ °．
7．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
8．（2024七下·温州期中） 图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角，则太阳光线与水平面夹角 ；若反射光线与水平线的夹角是时，则 ．
三、解答题
9．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ▲ ．
10．（2024七下·余姚期中）如图，已知为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC=180°.
（1）求证：AD∥BC.
（2）连接CF，当FC∥AB，∠CFB=∠DCF时，求∠BCD的度数.
（3）若∠DCF=∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当∠PQD—∠QDC=24°时，求∠DQP的度数.
11．（2024七下·瑞安期中）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P.
（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由.
（2）若∠FHG=3∠EPF，求∠EFD的度数.
（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ.若∠QFH=∠FQH，且∠PEQ－∠EQF=50°，求∠EQF的度数.
12．（2024·七下婺城期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
13．（2024七下·吴兴期中）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（ ）
∴ ， （ ）
，
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
14．（2024七下·杭州期中）如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°．若＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）
(1) 求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）
(2) 求证：AB∥CD
(3) 若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直线AM与直线FM交于点M，直接写出∠AMF的度数
15．（2024七下·义乌期中）如图1，已知直线MN∥GH，点A在直线MN上，点B在直线GH上．
（1）如图1，点C在直线MN、GH之间，连接AC、BC，若∠NAC＝26°，∠CBH＝40°，则∠ACB的度数为 ；
（2）如图2，点C在直线MN的上方，AE平分∠CAN，BF平分∠GBC，延长EA交BF交于点D，若∠CAE＝20°，∠ACB＝16°，求∠BDE的度数；
（3）如图3，点C在直线MN的上方，∠CAN＝40°，∠CBG＝100°，BF平分∠GBC交MN于点F，将∠CAN绕着点A以每秒2°的速度逆时针方向旋转得∠CAN，旋转时间为t秒；同时将射线BF绕着点B以每秒6°的速度顺时针方向旋转得射线，当射线与射线BG首次重合时，∠CAN和射线BF同时停止转动．在旋转过程中，作∠的角平分线AP，作∠的角平分线BQ，请求出当AP∥BQ时t的值．
16．（2024七下·浦江期中）
（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由.
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线OC的夹角∠MOC)
（3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD， ∠BAF=160°，∠DCF=80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t
17．（2024七下·上城期中）已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）有一点在直线之间且在直线左侧，连接；
①如图2，当，时，求的度数；
②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系．
18．（2024七下·奉化期中）如图，已知直线CP∥OQ，点B与点A分别在射线CP和OQ上，且满足AB∥OC，∠BCO=100°．点F在直线BC上且在点B左侧，满足∠FOB=∠FBO=α，∠COF的角平分线与直线CP相交于点E．
（1）如图1，求∠BOE的度数；
（2）如图2，若α=45°，补全图形，并求∠BOE的度数；
（3）若左右平移线段AB，是否存在 的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024七下·宁波期中）将一副直角三角板按图1方式叠放在一起，并且直角顶点C重合，其中，．保持三角尺固定不动，将三角尺绕着点C顺时针旋转α度．探究以下问题：
（1）如图2，当时，求证：；
（2）当时，若这两个三角尺的一组边互相平行，请画出相应的图形，并求出此时α的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角的运算；平行公理及推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
2．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：设B'F与EH的交点为K. 根据长方形的性质以及折叠，易知
A'E∥B'F，AD∥BC，∠ED'H=90°，∠BFE=∠EFB'.
∵∠EHD'=32°，
∴在Rt△D'EH中，∠D'EH=90°-32°=58°.
∵A'E∥B'F，AD∥BC，
∴∠D'EH=∠B'KH=∠B'FG=58°.
∴∠BFE=（180°-∠B'FG）÷2=（180°-58°）÷2=61°.
故答案为：B.
【分析】解题的关键是根据长方形的性质以及折叠的性质得A'E∥B'F，AD∥BC，∠ED'H=90°，∠BFE=∠EFB'.由直角三角形的性质求得∠D'EH，由平行线的性质得∠B'FG的度数，再由折叠和平角定义即可计算出∠B'FG.
3．【答案】（1）解：，理由如下：∵与互补，与互为邻补角，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的大小不会发生变化，其值为．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据同角的邻补角相等得到，即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，然后根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出解题即可；
（3）先得到，即可求出，然后根据角平分线的定义得到解题即可．
4．【答案】3
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长MP交CD于点O，
设∠KGP=x，则∠KHC=nx，
∵∠GKH=60°，
∴∠GPH=60°+x，
∠OPH=180°-（60°+x）=120°-x，
∵AB∥CD，
∴∠AGM=∠COM=∠OPH+∠KHC=120°-x+ nx=120°+（n-1）x，
∴=
∵n-1=2时， 为定值，即==2，
∴n-1=2，解得：n=3.
故答案为3.
【分析】延长MP交CD于点O，设∠KGP=x，根据平行线的性质得到∠AGM=∠COM120°+（n-1）x，然后根据 为定值求出n的值解题.
5．【答案】、和
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点E在直线的下方，
如图所示，当时，
；
如图所示，，
；
如图所示，，
；
故答案为：、和．
【分析】分类讨论：当时，，，根据题意画出图形，根据旋转的性质，平行线的性质分别求解即可．
6．【答案】260；40
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；角的双角平分线和型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，如图，
∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴的值为40°，
故答案为：260，40.
【分析】过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，由平移于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥OG∥HN∥CD，由平行线性质及等式性质得结合得到然后根据角平分线的定义，可设进而再根据平行线的性质及等式性质即可求解.
7．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型；平行公理
【解析】【解答】过点，，作，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵和分别是，的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：32°.
【分析】过点G， M， H作 ，利用锯齿模型可得 然后利用角平分线的定义推理可得 ，最后利用猪脚模型解题即可．
8．【答案】65；53
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：分别作出两个定日镜的法线：
∵反射光线与水平线的夹角是，镜面与立杆的夹角
∴
∵
∴
∴
∵光线是平行的
∴
∵反射光线与水平线的夹角是时
∴
∵
∴
则
∵
∴
故答案为：65，53
【分析】根据题意的新定义内容，作出法线，依据垂直的定义，结合已知角，得出，再利用角的运算，得出，结合光线是平行的，得出，结合已知角以及角的和差关系列式代入数值，进行计算，即可作答．
9．【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）解：①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②过点D作DG∥AE交AB于G，如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据，得到：结合题意和平行线的判定定理即可求证；
（2）①过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质和垂直的定义即可求出∠FDQ的度数，进而即可求解；
②过点D作DG∥AE交AB于G，根据平行线的判定和性质以及角的运算即可求解.
10．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠CFB＝∠DCF，
∴设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3α，
∴∠BCF＝2α，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）解：如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF＝∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DFE，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠CDF，
∴∠ABC＝2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠CDF＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∴∠APQ＝120°，
∵∠PQD﹣∠QDC＝24°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣24°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD＝180°，
∵∠CDF＝60°，
∴∠CDQ+∠PQD＝120°，
∴∠PQD-24°+∠PQD=120°
∴∠PQD＝72°．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠EDF＝∠DAB，由角平分线的定义得∠EDF＝∠ADC，则∠ADC＝∠DAB，结合已知，利用等量代换可得∠DAB+∠ABC＝180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论；
（2）由已知可设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，由二直线平行，内错角相等，得∠ABF＝∠CFB＝1.5α，由角平分线的定义得∠ABC＝2∠ABF＝3α，由二直线平行，同旁内角互补，得∠ADC+∠BCD＝180°，结合已知，由同角的补角相等得∠BCD＝∠ABC＝3α，由二直线平行，同旁内角互补，得∠ABC+∠BCF＝180°，从而代入可求出α得度数，此题得解；
（3）由内错角相等，两直线平行，得BF∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF＝∠DFE，由二直线平行，同位角相等得∠CBF＝∠DFE，则∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义得∠ABC＝2∠CDF，结合已知可得∠ABC＝∠DCB=120°，∠CDF＝60°，由二直线平行，同旁内角互补得∠DAB＝60°，由平移的性质得BC∥PQ，由二直线平行，同位角相等得∠APQ＝120°，根据二直线平行，同旁内角互补，得∠FDC+∠CDQ+∠PQD＝180°，结合已知可求出∠PQD的度数.
11．【答案】（1）解：相等，理由如下：
平分
（2）解：解：
设
（3）解：解：点在射线上，
①当点在点上方时，如图所示，
平分，
即
由题意得
，
②当点在点下方时，过点作平行线交射线于点，交直线于点，延长交射线于点
如图所示，
平分，.
由题意得
∴∠PEF+∠EFT=90°，
∴QT⊥PE，
，
又∵
综上所述或
【知识点】角的运算；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行得出，根据平分得出，故证明出；
（2）根据三角形外角和定理得出∠EFD与∠EPF的数量关系，根据平行的性质以及条件得出∠FHG与∠EFD的数量关系，结合条件，设∠EPF=x°，得关于x的方程并求解，从而可计算出∠EFD；
（3）点Q为射线GH上的一点，即可能出现在H上方（G的下方）或H的下方，故需要分两种情况讨论.
当点Q在H上方时，证明，由角平分线定义得，由平行线性质可证得EP//FQ，于是可计算∠EQF度数；当点Q在H下方时，过点作平行线交射线于点，交直线于点，延长交射线于点，证明，由角平分线定义得，由平行线性质得∠PEF+∠EFT=90°，于是有QT⊥PE，根据直角三角形性质可得
，结合题目条件即可计算∠EQF度数；
12．【答案】（1）解：∠AEP＝150°；
（2）解：①当PN平分∠EPF时，求得运动时间t的值为3秒，9秒，15秒.
∠AEM＝3×9°＝27° 或∠AEM＝9×9°＝81° 或∠AEM＝15×9°＝135°
②
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵ PF⊥CD，∠FPE=60°，
∴ ∠PEB=30°，
∴ ∠AEP=150°；
（2）②当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，又∵0≤∠EPN≤60°，
∴ ∠MEP=150°-9t，且，
当150°-9t=10°（12-t），无解；
当，150°-9t=10（t-12），解得，t=；
故t=.
【分析】（1）根据垂线的定义和三角形的内角和定理即可求得；
（2）①根据角平分线的定义，先求出t的值，再计算∠AEM即可；
②根据平行线的性质可得∠MEP=∠EPN，再根据∠EPN的取值范围求得t的取值范围，再分两种情况：当时和当时，根据∠MEP=∠EPN列出关于t的方程，即可求得.
13．【答案】（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；
（2）解：，理由如下，过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
14．【答案】(1) ∵＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100），∴x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，
∴∠A＝x°=m＋20°，∠C＝y°=m＋80°，z=40°，
(2) 过点F作FG∥AB，过点E作EH∥AB，
∴EH∥FG，
∴∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，
∴∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，
∵∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，
∴AB∥CD，
(3) 50°；70°；30°；10°.
【知识点】平行线的判定；乌鸦嘴模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：(3) 当∠A＝40°时，∠C＝100°，
如图，分为四种情况：
延长FE交AM于N，
∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，
∴∠MAE=20°，
∵∠AEF=80°，
∴∠ANE=80°-20°=60°，
∴∠AMF=60°-10°=50°，
∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，
∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，
∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°
∴∠EAM=60°，
∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，
∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，
延长AE交FM于O，
∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，
∴∠AOF=80°-10°=70°，
∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，
综上所述：∠AMF的度数分别为：50°；70°；30°；10°.
【分析】（1）利用二次根式和绝对值的非负性解题即可；
（2）过点F作FG∥AB，点E作EH∥AB，则有EH∥FG，即可得到∠BAE＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，求出∠EFG＝60°－m，再根据∠CFG＋∠FCD＝180°，得到结论；
（3）分四种情况画图，利用角的和差得到∠MAE=20°，然后求出∠ANE和∠ANF的度数，利用三角形的内角和定理和外角性质解题即可
15．【答案】（1）66°
（2）解：平分， ，如图所示：
，
，，
，
，
平分，
，
，
；
（3）解：，平分，
，
当在上方时，反向延长交于点T，
，
，
由题意得：，
解得：；
当在下方时，反向延长交于点R，
，
，
由题意得：，
解得：；
综上所述，当时的值为9或45．
【知识点】解一元一次方程；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）作，如图所示：
，
，
，
，
；
【分析】（1）作，先根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，从而代入角进行即可求解；
（2）平分， ，先结合题意得到，进而得到，，从而根据平行线的性质得到，再结合角平分线的定义得到∠GBF的度数，从而进行角的运算即可求解；
（3）先结合题意根据角平分线的定义得到，进而分类讨论：当在上方时，当在下方时，进而结合平行线的性质解一元一次方程即可求解。
16．【答案】（1）解：如图：
光线a平行于光线b，理由如下：
∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠3-∠1=∠4-∠2，即∠ABC=∠BCD，
∴a//b.
（2）解：因为入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1=∠2
∵入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，
∴MN 与水平线的夹角为：
（3）解：存在，分三种情况讨论
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
要使AB∥CD ，
则，
解得t=-20(舍去)；
如图②，CD旋转到和AB都在EF的右侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即
解得t=40
此时，
，故成立；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即；
解得 t=40 ，
此时 2t＞160
∴此情况不存在．
综上所述，t为40秒时，CD与AB平行
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）反向延长射线a和射线b，由 ∠1=∠2，∠3=∠4可得∠ABC=∠BCD，根据平行线的判定定理即可得到结论.
（2）根据镜面反射的性质得∠1=∠2，根据入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，可得∠1+∠2=180°，于是可得∠1的度数，∠1+15°即为平面镜MN与水平线的夹角.
（3）分三种情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，同样分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解；①如图所示，过点M作，∵，
∴，
∴，，
∴；
②由（2）①可知，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的概念；铅笔头模型；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据等量代换得到，再根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）①过点M作，则，然后根据同旁内角互补得到，，然后根据角的和差解题即可；
②由①可知，根据角平分线得到，即可得到；然后得到，即可得到结论.
18．【答案】（1）解：∵CP∥OQ，
∴∠FBO=∠BOA，
∵∠FOB=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴∠FOB=∠BOA=∠FOA，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=∠FOC，
∴∠BOE=∠FOB+∠FOE=∠FOA+∠FOC=∠AOC，
∵CP∥OQ， ∠BCO＝100°．
∴∠AOC=180°- ∠BCO=80°，
∴∠BOE=∠AOC=40°.
（2）解：∵ α＝45°， 则∠BOF=45°，∠COB=35°，
∴∠BOF＞∠COB，则点F在点C的左侧，如图：
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=∠COF，
∵∠BOF=45°，∠COB=35°，
∴∠COF=∠BOF-∠BOC=10°，
∴∠COE=∠FOE=5°，
∴∠BOE=∠BOC+∠EOC=35°+5°=40°.
（3）解：如图，
∵∠BOE=40°，∠FOB=∠FBO=α，
∴∠COE=∠EOF=40°-α，
∴∠BOC=∠BOE+∠COE=80°-α，
∵OC∥AB，
∴∠OBA=∠BOC=80°-α，
∵PC∥OQ，
∴∠CEO=∠AOE=40°+α，
∵
∴40°+α=80°-α，
解得α=32°.
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质及已知可推出∠FOB=∠BOA=∠FOA，由角平分线的定义可得∠COE=∠FOE=∠FOC，从而求出∠BOE=∠FOB+∠FOE=∠AOC，利用平行线的性质可得∠AOC=180°- ∠BCO=80°，继而得解；
（2）由题意得∠BOF=45°，∠COB=35°，从而判断出点F在点C的左侧，再求出∠COE，利用∠BOE=∠BOC+∠EOC即可求解；
（3）如图，先利用α表示出∠OBA和∠CEO的度数，再利用建立方程，继而求解求解即可.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：①延长交于点F，如图1所示：
∵，点D在直线的上方，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（Ⅰ）当时，如图2所示：
则，
由（1）可知：；
（Ⅱ）当时，如图3所示：
则；
（Ⅲ）当时，如图4所示：
则，
∴；
（Ⅳ）当时，如图5所示：
则，
∴；
（Ⅴ）当时，与（3）①相同，．
综上所述：α的度数为或或或或
【知识点】平行线的性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据周角的定义和平行线的判定定理解题即可；
（2）分五种情况画图，利用平行线的性质得到α的度数解题．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①延长交于点F，如图1所示：
∵，点D在直线的上方，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵改变三角尺的位置，且点D在直线的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
（Ⅰ）当时，如图2所示：
则，
由（1）可知：；
（Ⅱ）当时，如图3所示：
则；
（Ⅲ）当时，如图4所示：
则，
∴；
（Ⅳ）当时，如图5所示：
则，
∴；
（Ⅴ）当时，与（3）①相同，．
综上所述：α的度数为或或或或．
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