《相交线与平行线》精选压轴题（2）—浙江省七（下）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七下·临海期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2 是其示意图．AB∥CD，AE∥BD，CE平分∠ACD．若∠D＝70°，∠ACD＝60°，则∠AEC＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2024七下·杭州期中） 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2024七下·瑞安期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架OC可以绕点O旋转，置书面EF可以绕点C转动调节.首先调节EF，使EF⊥MN，如图2所示，此时∠OCE=141°；再将OC绕O点顺时针旋转至，使∠COC =∠AOC，且E F ⊥MN，此时∠OC E 比∠OAM大32°，则∠OAM= 度．
4．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
5．（2024七下·临海期中） 如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ．
6．（2024七下·杭州期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝ °，∠EMN﹣∠MNF＝ °．
7．（2024七下·大洼月考）如图，已知长方形纸片，点E和点F分别在边和上，且，点H和点G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若，则 ．
三、综合题
8．（2024七下·临海期中） 已知，A和B分别是直线和上的点，C是这两条直线之间的一点．
（1）如图1，①已知，那么_▲_．
②在①的条件下，作与的平分线与相交于点D，求的度数．
（2）如图2，作与的平分线与相交于点D，若，求的度数（用含的代数式表示），并证明你的结论．
（3）如图3，作的平分线与的平分线所在的直线与相交于点D，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
9．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE//AB，连接AE，∠B=∠E=70°.
（1）请说明AE//BC的理由.
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，则∠Q= .
10．（2024七下·嘉兴月考）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．
11．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ▲ ．
12．（2024七下·杭州期中） 已知直线，点E，F分别在直线，上．点P是直线上的动点（不与E重合），连接，平分和的直线交于点H．
（1）如图1，点P在射线上．若，，求的度数．
（2）如图2，点P在射线上．若，求与的数量关系，并说明理由．
13．（2024七下·临海期中）如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C'，D'处，D'E交BC于点G，设∠DEF＝x°．
（1）①若x＝50，则∠BGD'＝ ▲ °；
②用含x的代数式表示∠BGD'．
（2）如图2，在图1的基础上将纸条沿MN继续折叠，点A，B分别落在A'（A'在BG上），B'处．
①若EF∥MA'， MN∥D'E，求x；
②若MN∥D'E，用含x的式子表示∠A'MD．
14．（2024七下·西湖期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______°；
（2）若灯射线先转动45秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请求出与的数量关系．
四、实践探究题
15．（2024七下·吴兴期中） 已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（ ）
∴ ▲ ， （ ）
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
16．（2024七下·吴兴期中）已知，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
， ▲
∴∠D=_▲_， ▲
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝20°，∠H＝30°，求∠DGA的度数．
17．（2024七下·杭州期中） 如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵AE∥BD，
∴∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠BAE=∠D=70°，
∵CE平分∠ACD，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=180°-∠ACD=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=50°，
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=100°，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABD+∠D=180°，∠BAE+∠ABD=180°，根据等角的补角相等可得∠BAE=∠D=70°，根据角平分线的定义得∠ACE=30°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC=120°，进而根据角的和差得∠CAE=50°，最后根据三角形内角和是180°即可求解.
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
∵CE平分∠DCF，
∴∠DCF=2∠DCE。
∵∠1=∠ABF，
∴∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE=∠1+∠DCE。
∴∠ABE+∠EBF+∠F+∠ECF+∠DCE=360°，
∴∠1+2∠1+∠3+2∠DCE=360°。
∴∠1+∠3+2（∠1+∠DCE）=360°，
∴∠1+∠3+2∠2=360°.
故答案选：A.
【分析】通过AB∥CD，可以得到：∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE。由CE平分∠DCF，可以得到：∠DCF=2∠DCE。由∠1=∠ABF，可以得到∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.所以∠ABF+∠F+∠DCF=360°，转化为∠ABE+2∠ABE+∠F+2∠DCE=360°，再由∠ABE=∠1，∠E=∠2，∠F=∠3，逐步转化即可得到结论：∠1+2∠2+∠3=360°.
3．【答案】69
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长交于，延长交延长线于，
设，，
，
，
比大，
，
，，
，
，
，
①，
，
，
，
②，
由①②解得：，
．
故答案为：69．
【分析】延长交于，延长交延长线于，设，，则，，然后利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质得到，，进而求出的值，即可得到答案．
4．【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
5．【答案】、和
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点E在直线的下方，
如图所示，当时，
；
如图所示，，
；
如图所示，，
；
故答案为：、和．
【分析】分类讨论：当时，，，根据题意画出图形，根据旋转的性质，平行线的性质分别求解即可．
6．【答案】260；40
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；角的双角平分线和型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，如图，
∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴的值为40°，
故答案为：260，40.
【分析】过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，由平移于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥OG∥HN∥CD，由平行线性质及等式性质得结合得到然后根据角平分线的定义，可设进而再根据平行线的性质及等式性质即可求解.
7．【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：当在上方时，延长、交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在下方时，延长，交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，根据两直线平行，内错角相等得到；当在下方时，根据两直线平行，同旁内角互补得到解题即可．
8．【答案】（1）解：① 110°
②作，如图所示，
∵与分别是与的平分线，
∴，，
∴，
同①的方法可得：
（2）解：，证明如下：
∵与分别平分与，
∴，，
∴，
由（1）①的方法可得：，，
∵，
∴，
∴
∴
（3）解：作，如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵与分别是与的平分线，
∴，
∴
由（1）①得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①作，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）①作，利用平行线的性质可得和，再根据角的和差运算即可；
②作，利用①的结论可得，结合角平分线的定义求解即可；
（2）由（1）①的方法可得：，，结合角平分线的定义求解即可；
（3）作，根据平行线的性质可得，利用①的结论可得，结合角平分线的定义得，，邻补角的性质，求解即可．
9．【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠BAE+∠E=180°.
又∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AB//DE；
(2)①过D点作DF//AE，
∵PQ//AE ，
∴DF//PQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=70°.
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=90°-70°=20°，
∴∠Q=∠FDQ=20°；
②（）°
【知识点】平行公理的推论；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
10．【答案】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边的值为．
②如图③中，当时，延长交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
综上，当边时，的值为或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
11．【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）解：①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②过点D作DG∥AE交AB于G，如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据，得到：结合题意和平行线的判定定理即可求证；
（2）①过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质和垂直的定义即可求出∠FDQ的度数，进而即可求解；
②过点D作DG∥AE交AB于G，根据平行线的判定和性质以及角的运算即可求解.
12．【答案】（1）解：∵∠EFD=90°，∠EPF=40°，AB∥CD，
∴∠PEF=∠CFE=90°，∠PFD=∠EPF=40°，
∴∠PFC=180°-∠PFD=140°，
∵EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC，
∴∠FEM=∠PEF=45°，∠CFH=∠PFH=70°，
∴∠EFH=∠CFE-∠CFH=90°-70°=20°。
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，
∴∠EHF=∠FEM-∠EFH=45°-20°=25°.
（2）解：如图所示：
∠EPF与∠EHF的数量关系是：∠EHF=∠EPF+60°。理由如下：
∵AB∥CD ，
∴∠PEF=∠EFD=120°，∠EPF=∠PFC，
∵EM、FH分别平分∠PEF、PFC，
∴∠CFH=∠PFC，∠FEM=∠PEF=60°，
∴∠CFH=∠EPF，
∵∠EFM=180°-∠EFD=60°，
∴∠FMH=180°-∠FEM-∠EFM=60°，
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF=∠MFP+60°，
∴∠EHF=∠EPF+60°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据已知：∠EFD=90°，∠EPF=40°，AB∥CD，分别求出∠PEF=∠CFE=90°，∠PFD=∠EPF=40°，所以∠PFD的邻补角∠PFC=140°。由EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC，可以求出∠FEM=45°，∠CFH=70°，进而得到∠EFH=∠CFE-∠CFH=20°。由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和可知：∠FEM=∠EFH+∠EHF，所以可得∠EHF=∠FEM-∠EFH=25°.
（2）由AB∥CD ，可以得到∠PEF=∠EFD=120°，∠EPF=∠PFC。由EM、FH分别平分∠PEF、PFC，可知∠CFH=∠PFC，∠FEM=∠PEF=60°，所以∠CFH=∠EPF，由∠EFM和∠EFD是邻补角，所以可知∠EFM=60°，在△EFM中，由三角形内蛟河市180°可知∠FMH=180°-∠FEM-∠EFM=60°，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以得到∠EHF=∠CFH+∠FMH，所以∠EHF=∠MFP+60°，即∠EHF=∠EPF+60°.
13．【答案】（1）解：①80；
②由折叠的性质得：∠D'EF=∠DEF=x°，
∴∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-x°-x°=（180-2x）°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BGD'=∠AED'=（180-2x）°；
（2）解： ①由折叠的性质得：∠D'EF=∠DEF=x°，
∴∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-x°-x°=（180-2x）°，
∵EF∥MA'，
∴∠A'ME=∠DEF=x°，
由折叠的性质得：，
∵MN∥D'E，
∴∠AMN=∠AED'，
即，
解得：x=60；
②∵MN∥D'E，
∴∠AMN=∠AED'=（180-2x）°，
由折叠的性质得：∠AMN=∠A'MN=（180-2x）°，
∴∠A'MD=180°-∠AMN-∠A'MN=180°-（180-2x）°-（180-2x）°=（4x-180）°.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）①由折叠的性质得：∠DEF=∠D'EF=50°，
∴∠AED'=180°-50°-50°=80°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BGD'=∠AED'=80°，
故答案为：80；
【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠DEF=∠D'EF=50°，由邻补角定义求得∠AED'=80°，根据矩形的对边平行得出AD∥BC，由两直线平行，同位角相等得∠BGD'=∠AED'=80°；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠D'EF=∠DEF=x°，由邻补角定义求得求得∠AED'=（180-2x）°，根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据两直线平行，同位角相等即可求解；
（2）①根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠D'EF=∠DEF=x°，由邻补角定义求得∠AED'=（180-2x）°，根据两直线平行，同位角相等可得∠A'ME=∠DEF=x°，根据折叠前后两图形的对应角相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得∠AMN=∠AED'，即可列出方程，求出x的值；
②根据两直线平行，同位角相等可得∠AMN=∠AED'=（180-2x）°，根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠AMN=∠A'MN=（180-2x）°，即可求解.
14．【答案】（1）60
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图1，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图2，
，
，
，
，
解得，
综上所述，当秒或105秒时，两灯的光束互相平行
（3）设灯射线转动时间为秒，
，
，
又，
，而，
，
，
即
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：，，
，
故答案为：60；
【分析】（1）根据角的度数的比值求出∠BAN的值即可；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况，时，画图利用平行线的性质列方程求出t值即可；
（3）设灯射线转动时间为秒，即可得到，，然后得到两角的倍数关系解题．
（1）解：，，
，
故答案为：；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图1，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图2，
，
，
，
，
解得，
综上所述，当秒或105秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯射线转动时间为秒，
，
，
又，
，而，
，
，
即．
15．【答案】（1）解：证明：过点G作直线，
又，
，（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴， （两直线平行，内错角相等）
，
，
．
故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；；
（2）解：，理由如下，
过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理进行填空即可；
（2）过点G作直线，根据平行线的性质可得，，然后由得出结论；
（3）过点G作直线，过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后分别表示出∠DGA和∠DHA，结合角平分线的定义求出∠GAB和∠GDC，再根据进行计算即可．
16．【答案】（1）证明：过点G作直线，
又，
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠D=∠DGM，（两直线平行，内错角相等）
，
∴∠A=∠AGM，
．
（2）解：，理由如下，
如图2，过点作直线，则，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作直线，过点作直线，
∴，，
，
，，
，，
，，
，，
，
平分∠GAB，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【分析】（1）根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，然后根据平行线的性质得∠D=∠DGM，∠A=∠AGM；
（2）过点G作直线MN∥AB，根据平行线的性质得∠A=∠MGA，接下来根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，进一步根据平行线的性质得∠D=∠MGD，最后证得∠AGD=∠A-∠D；
（3）过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，根据平行线的性质得∠MGA=∠GAB，∠PHA=∠HAB，再根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，PQ∥CD，接下来根据平行线的性质得∠MGD=∠GDC，∠PHD=∠HDC，进一步利用角之间的关系得到∠DGA=∠GAB-∠GDC，∠DHA=∠HAB-∠HDC，从而求出∠HAB=50°，然后根据角平分线的定义得∠GAB=2∠HAB=100°.利用”∠GDH=2∠HDC“求出∠GDH的值，从而求得∠GDC=60°，最后即可求出∠DGA的度数.
17．【答案】（1）①70
② ∠AED＝∠A+∠D，
理由：过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D
（2）∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）①延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠D=30°，
∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-40°=110°，
∴∠AED=180°-∠AEF=180°-110°=70°
故答案为：70.
（2）当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，
结论：∠PEB＝∠PFD+∠EPF；
理由：∵AB∥CD，
∴∠PGE=∠PFD，
∵∠PEB=180°-∠PEG，∠PGE+∠EPF=∠PFD+∠EPF=180°-∠PEG，
∴∠PEB=∠PFD+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，
结论：∠PFD＝∠PEB+∠EPF；
∵∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD，
∵∠PGB=∠PFD=180°-∠PGE，∠PEB+∠EPF=180°-∠PGE，
∴∠PFD=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，
∴∠BPG+∠BEP+∠GPF+∠PFD=360°即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF＝∠PEB+∠PFD
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，
∵∠EPF=∠EPG+∠GPF，
∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD；
∴∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【分析】（1）①延长DE交AB于F，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠AFE的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠AEF的度数，然后求出∠AED的度数；②过E作EF∥AB，如图2，利用平行线公理的推论，可证得AB∥EF∥CD，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，然后根据∠AED＝∠AEF+∠DEF，代入可证得结论.
（3）分情况讨论：当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGE=∠PFD，再根据三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGB=∠PFD，再利用三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥PG，利用两直线平行，同旁内角互补，可证∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，据此可证得结论；当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，然后根据∠EPF=∠EPG+∠GPF，可得结论；综上所述可得到∠PEB，∠PFC，∠EPF的所有关系.
1 / 1《相交线与平行线》精选压轴题（2）—浙江省七（下）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七下·临海期中）健康骑行逐渐受到人们喜欢，图1是便携式折叠自行车，图2 是其示意图．AB∥CD，AE∥BD，CE平分∠ACD．若∠D＝70°，∠ACD＝60°，则∠AEC＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵AE∥BD，
∴∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠BAE=∠D=70°，
∵CE平分∠ACD，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=180°-∠ACD=120°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=50°，
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE=100°，
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABD+∠D=180°，∠BAE+∠ABD=180°，根据等角的补角相等可得∠BAE=∠D=70°，根据角平分线的定义得∠ACE=30°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC=120°，进而根据角的和差得∠CAE=50°，最后根据三角形内角和是180°即可求解.
2．（2024七下·杭州期中） 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】
∵CE平分∠DCF，
∴∠DCF=2∠DCE。
∵∠1=∠ABF，
∴∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE=∠1+∠DCE。
∴∠ABE+∠EBF+∠F+∠ECF+∠DCE=360°，
∴∠1+2∠1+∠3+2∠DCE=360°。
∴∠1+∠3+2（∠1+∠DCE）=360°，
∴∠1+∠3+2∠2=360°.
故答案选：A.
【分析】通过AB∥CD，可以得到：∠ABF+∠F+∠DCF=360°，∠E=∠ABE+∠DCE。由CE平分∠DCF，可以得到：∠DCF=2∠DCE。由∠1=∠ABF，可以得到∠ABF=3∠1，∠EBF=2∠ABE=2∠1.所以∠ABF+∠F+∠DCF=360°，转化为∠ABE+2∠ABE+∠F+2∠DCE=360°，再由∠ABE=∠1，∠E=∠2，∠F=∠3，逐步转化即可得到结论：∠1+2∠2+∠3=360°.
二、填空题
3．（2024七下·瑞安期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架OC可以绕点O旋转，置书面EF可以绕点C转动调节.首先调节EF，使EF⊥MN，如图2所示，此时∠OCE=141°；再将OC绕O点顺时针旋转至，使∠COC =∠AOC，且E F ⊥MN，此时∠OC E 比∠OAM大32°，则∠OAM= 度．
【答案】69
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长交于，延长交延长线于，
设，，
，
，
比大，
，
，，
，
，
，
①，
，
，
，
②，
由①②解得：，
．
故答案为：69．
【分析】延长交于，延长交延长线于，设，，则，，然后利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质得到，，进而求出的值，即可得到答案．
4．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝ ．
【答案】32°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；锯齿模型
【解析】【解答】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，
∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，
∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD，
∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD，
∵∠EGH=84°，∠HFD=20°，
∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°，
∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG，
∴，，
∴，
∵∠KHF=∠HFD=20°，
∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°，
∵MP∥AB，AB∥KH，
∴MP∥KH，
∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK，
∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°.
故答案为：32°.
【分析】过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据平行公理的推论得GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD，然后根据平行线的性质得∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD，进而利用锯齿模型求得∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD=104°.接下来根据角平分线的定义得，，从而得，进一步求出∠AEM+∠MHK=32°，最后再根据平行线的性质，利用猪蹄模型得∠AEM+∠MHK=∠EMH=32°.
5．（2024七下·临海期中） 如图，现将一副三角尺摆放在一起，重合的顶点为A点，固定含的三角尺不动，将含的三角尺绕顶点A转动，当点E在直线的下方时，使三角尺中的边与三角尺ABC的一边平行，则（）可能符合条件的度数为 ．
【答案】、和
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，点E在直线的下方，
如图所示，当时，
；
如图所示，，
；
如图所示，，
；
故答案为：、和．
【分析】分类讨论：当时，，，根据题意画出图形，根据旋转的性质，平行线的性质分别求解即可．
6．（2024七下·杭州期中）如图所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．分别在∠BEO和∠OFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠BEO+∠DFO＝ °，∠EMN﹣∠MNF＝ °．
【答案】260；40
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；角的双角平分线和型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，如图，
∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴的值为40°，
故答案为：260，40.
【分析】过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作HN∥CD，由平移于同一直线的两条直线互相平行得AB∥MK∥OG∥HN∥CD，由平行线性质及等式性质得结合得到然后根据角平分线的定义，可设进而再根据平行线的性质及等式性质即可求解.
7．（2024七下·大洼月考）如图，已知长方形纸片，点E和点F分别在边和上，且，点H和点G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若，则 ．
【答案】或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：当在上方时，延长、交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在下方时，延长，交于点，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论：当在上方时，根据两直线平行，内错角相等得到；当在下方时，根据两直线平行，同旁内角互补得到解题即可．
三、综合题
8．（2024七下·临海期中） 已知，A和B分别是直线和上的点，C是这两条直线之间的一点．
（1）如图1，①已知，那么_▲_．
②在①的条件下，作与的平分线与相交于点D，求的度数．
（2）如图2，作与的平分线与相交于点D，若，求的度数（用含的代数式表示），并证明你的结论．
（3）如图3，作的平分线与的平分线所在的直线与相交于点D，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：① 110°
②作，如图所示，
∵与分别是与的平分线，
∴，，
∴，
同①的方法可得：
（2）解：，证明如下：
∵与分别平分与，
∴，，
∴，
由（1）①的方法可得：，，
∵，
∴，
∴
∴
（3）解：作，如图所示，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵与分别是与的平分线，
∴，
∴
由（1）①得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①作，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）①作，利用平行线的性质可得和，再根据角的和差运算即可；
②作，利用①的结论可得，结合角平分线的定义求解即可；
（2）由（1）①的方法可得：，，结合角平分线的定义求解即可；
（3）作，根据平行线的性质可得，利用①的结论可得，结合角平分线的定义得，，邻补角的性质，求解即可．
9．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE//AB，连接AE，∠B=∠E=70°.
（1）请说明AE//BC的理由.
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，则∠Q= .
【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠BAE+∠E=180°.
又∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AB//DE；
(2)①过D点作DF//AE，
∵PQ//AE ，
∴DF//PQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=70°.
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=90°-70°=20°，
∴∠Q=∠FDQ=20°；
②（）°
【知识点】平行公理的推论；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
10．（2024七下·嘉兴月考）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．
【答案】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边的值为．
②如图③中，当时，延长交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
综上，当边时，的值为或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
11．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ ▲ ．
【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）解：①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②过点D作DG∥AE交AB于G，如图，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据，得到：结合题意和平行线的判定定理即可求证；
（2）①过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质和垂直的定义即可求出∠FDQ的度数，进而即可求解；
②过点D作DG∥AE交AB于G，根据平行线的判定和性质以及角的运算即可求解.
12．（2024七下·杭州期中） 已知直线，点E，F分别在直线，上．点P是直线上的动点（不与E重合），连接，平分和的直线交于点H．
（1）如图1，点P在射线上．若，，求的度数．
（2）如图2，点P在射线上．若，求与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠EFD=90°，∠EPF=40°，AB∥CD，
∴∠PEF=∠CFE=90°，∠PFD=∠EPF=40°，
∴∠PFC=180°-∠PFD=140°，
∵EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC，
∴∠FEM=∠PEF=45°，∠CFH=∠PFH=70°，
∴∠EFH=∠CFE-∠CFH=90°-70°=20°。
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，
∴∠EHF=∠FEM-∠EFH=45°-20°=25°.
（2）解：如图所示：
∠EPF与∠EHF的数量关系是：∠EHF=∠EPF+60°。理由如下：
∵AB∥CD ，
∴∠PEF=∠EFD=120°，∠EPF=∠PFC，
∵EM、FH分别平分∠PEF、PFC，
∴∠CFH=∠PFC，∠FEM=∠PEF=60°，
∴∠CFH=∠EPF，
∵∠EFM=180°-∠EFD=60°，
∴∠FMH=180°-∠FEM-∠EFM=60°，
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF=∠MFP+60°，
∴∠EHF=∠EPF+60°.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据已知：∠EFD=90°，∠EPF=40°，AB∥CD，分别求出∠PEF=∠CFE=90°，∠PFD=∠EPF=40°，所以∠PFD的邻补角∠PFC=140°。由EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC，可以求出∠FEM=45°，∠CFH=70°，进而得到∠EFH=∠CFE-∠CFH=20°。由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和可知：∠FEM=∠EFH+∠EHF，所以可得∠EHF=∠FEM-∠EFH=25°.
（2）由AB∥CD ，可以得到∠PEF=∠EFD=120°，∠EPF=∠PFC。由EM、FH分别平分∠PEF、PFC，可知∠CFH=∠PFC，∠FEM=∠PEF=60°，所以∠CFH=∠EPF，由∠EFM和∠EFD是邻补角，所以可知∠EFM=60°，在△EFM中，由三角形内蛟河市180°可知∠FMH=180°-∠FEM-∠EFM=60°，再由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以得到∠EHF=∠CFH+∠FMH，所以∠EHF=∠MFP+60°，即∠EHF=∠EPF+60°.
13．（2024七下·临海期中）如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C'，D'处，D'E交BC于点G，设∠DEF＝x°．
（1）①若x＝50，则∠BGD'＝ ▲ °；
②用含x的代数式表示∠BGD'．
（2）如图2，在图1的基础上将纸条沿MN继续折叠，点A，B分别落在A'（A'在BG上），B'处．
①若EF∥MA'， MN∥D'E，求x；
②若MN∥D'E，用含x的式子表示∠A'MD．
【答案】（1）解：①80；
②由折叠的性质得：∠D'EF=∠DEF=x°，
∴∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-x°-x°=（180-2x）°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BGD'=∠AED'=（180-2x）°；
（2）解： ①由折叠的性质得：∠D'EF=∠DEF=x°，
∴∠AED'=180°-∠D'EF-∠DEF=180°-x°-x°=（180-2x）°，
∵EF∥MA'，
∴∠A'ME=∠DEF=x°，
由折叠的性质得：，
∵MN∥D'E，
∴∠AMN=∠AED'，
即，
解得：x=60；
②∵MN∥D'E，
∴∠AMN=∠AED'=（180-2x）°，
由折叠的性质得：∠AMN=∠A'MN=（180-2x）°，
∴∠A'MD=180°-∠AMN-∠A'MN=180°-（180-2x）°-（180-2x）°=（4x-180）°.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）①由折叠的性质得：∠DEF=∠D'EF=50°，
∴∠AED'=180°-50°-50°=80°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BGD'=∠AED'=80°，
故答案为：80；
【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠DEF=∠D'EF=50°，由邻补角定义求得∠AED'=80°，根据矩形的对边平行得出AD∥BC，由两直线平行，同位角相等得∠BGD'=∠AED'=80°；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠D'EF=∠DEF=x°，由邻补角定义求得求得∠AED'=（180-2x）°，根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据两直线平行，同位角相等即可求解；
（2）①根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠D'EF=∠DEF=x°，由邻补角定义求得∠AED'=（180-2x）°，根据两直线平行，同位角相等可得∠A'ME=∠DEF=x°，根据折叠前后两图形的对应角相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得∠AMN=∠AED'，即可列出方程，求出x的值；
②根据两直线平行，同位角相等可得∠AMN=∠AED'=（180-2x）°，根据折叠前后两图形的对应角相等可得∠AMN=∠A'MN=（180-2x）°，即可求解.
14．（2024七下·西湖期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______°；
（2）若灯射线先转动45秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请求出与的数量关系．
【答案】（1）60
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图1，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图2，
，
，
，
，
解得，
综上所述，当秒或105秒时，两灯的光束互相平行
（3）设灯射线转动时间为秒，
，
，
又，
，而，
，
，
即
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：，，
，
故答案为：60；
【分析】（1）根据角的度数的比值求出∠BAN的值即可；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况，时，画图利用平行线的性质列方程求出t值即可；
（3）设灯射线转动时间为秒，即可得到，，然后得到两角的倍数关系解题．
（1）解：，，
，
故答案为：；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，
①当时，如图1，
，
，
，
，
，
解得；
②当时，如图2，
，
，
，
，
解得，
综上所述，当秒或105秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设灯射线转动时间为秒，
，
，
又，
，而，
，
，
即．
四、实践探究题
15．（2024七下·吴兴期中） 已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（ ）
∴ ▲ ， （ ）
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
【答案】（1）解：证明：过点G作直线，
又，
，（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴， （两直线平行，内错角相等）
，
，
．
故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；；
（2）解：，理由如下，
过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理进行填空即可；
（2）过点G作直线，根据平行线的性质可得，，然后由得出结论；
（3）过点G作直线，过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后分别表示出∠DGA和∠DHA，结合角平分线的定义求出∠GAB和∠GDC，再根据进行计算即可．
16．（2024七下·吴兴期中）已知，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
， ▲
∴∠D=_▲_， ▲
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝20°，∠H＝30°，求∠DGA的度数．
【答案】（1）证明：过点G作直线，
又，
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠D=∠DGM，（两直线平行，内错角相等）
，
∴∠A=∠AGM，
．
（2）解：，理由如下，
如图2，过点作直线，则，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作直线，过点作直线，
∴，，
，
，，
，，
，，
，，
，
平分∠GAB，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【分析】（1）根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，然后根据平行线的性质得∠D=∠DGM，∠A=∠AGM；
（2）过点G作直线MN∥AB，根据平行线的性质得∠A=∠MGA，接下来根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，进一步根据平行线的性质得∠D=∠MGD，最后证得∠AGD=∠A-∠D；
（3）过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，根据平行线的性质得∠MGA=∠GAB，∠PHA=∠HAB，再根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”得MN∥CD，PQ∥CD，接下来根据平行线的性质得∠MGD=∠GDC，∠PHD=∠HDC，进一步利用角之间的关系得到∠DGA=∠GAB-∠GDC，∠DHA=∠HAB-∠HDC，从而求出∠HAB=50°，然后根据角平分线的定义得∠GAB=2∠HAB=100°.利用”∠GDH=2∠HDC“求出∠GDH的值，从而求得∠GDC=60°，最后即可求出∠DGA的度数.
17．（2024七下·杭州期中） 如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
【答案】（1）①70
② ∠AED＝∠A+∠D，
理由：过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D
（2）∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）①延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠D=30°，
∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-40°=110°，
∴∠AED=180°-∠AEF=180°-110°=70°
故答案为：70.
（2）当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，
结论：∠PEB＝∠PFD+∠EPF；
理由：∵AB∥CD，
∴∠PGE=∠PFD，
∵∠PEB=180°-∠PEG，∠PGE+∠EPF=∠PFD+∠EPF=180°-∠PEG，
∴∠PEB=∠PFD+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，
结论：∠PFD＝∠PEB+∠EPF；
∵∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD，
∵∠PGB=∠PFD=180°-∠PGE，∠PEB+∠EPF=180°-∠PGE，
∴∠PFD=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，
∴∠BPG+∠BEP+∠GPF+∠PFD=360°即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF＝∠PEB+∠PFD
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，
∵∠EPF=∠EPG+∠GPF，
∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD；
∴∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【分析】（1）①延长DE交AB于F，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠AFE的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠AEF的度数，然后求出∠AED的度数；②过E作EF∥AB，如图2，利用平行线公理的推论，可证得AB∥EF∥CD，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，然后根据∠AED＝∠AEF+∠DEF，代入可证得结论.
（3）分情况讨论：当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGE=∠PFD，再根据三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGB=∠PFD，再利用三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥PG，利用两直线平行，同旁内角互补，可证∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，据此可证得结论；当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，然后根据∠EPF=∠EPG+∠GPF，可得结论；综上所述可得到∠PEB，∠PFC，∠EPF的所有关系.
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