《二元一次方程组》精选压轴题—浙江省七（下）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，；②的值与k无关；③若，则解为；④若，k为整数，则k的值为．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x与y互为相反数时，则，
将其代入二元一次方程组，
即，
解得，故①不正确；
②由题可知：，
可得：，
∴的值与k无关，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，即，
可得：，
解得：，故③正确；
④∵，k为整数，
∴当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，此时，故不符合题意，
∴k的值为，故④不正确，
综上，正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和解二元一次方程组进行计算解题．
2．（2024七下·上城期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论取何值，的值始终不变；
④设，则的最大值为3．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程的解；二次函数的最值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组得，
当时，，把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，原说法错误；
②当时，，解得，原说法正确；
③，即的值始终不变，原说法正确；
④∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为3，原说法正确；
故答案为：D．
【分析】先解方程组得到，，当时，求出x，y代入方程计算判断①；得到，解方程判断②；代入求出的值判断③；求出判断④解答即可．
3．（2024七下·浙江期中）已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解得：，则①错误；
②把代入原方程组得：，
解得：，则②错误；
③把代入原方程组得：，
即：，则③错误；
④，
得：，
得：，即：，则④正确；
故答案为：D.
【分析】将代入原方程组求出的值可判断①；把代入原方程组求得a可判断②；把代入原方程组求出a可判断③；利用加减消元法将原方程组变形为的形式即可判断④．
4．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
5．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，
②当时，，
解得：，
③当x=-1时，，
解得：，
∴k的值为0，1，﹣9，则本项符合题意，
综上所述，正确的说法有②③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
6．（2024七下·宁波期中） 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据图形：图2阴影的周长：图3阴影的周长=6：7，1个小长方形的长+2个小长方形的宽=8，据此列方程组，利用整体代入的思想解决问题.
7．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
二、填空题
8．（2024七下·杭州期中）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表．
（1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元；
（2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香凤梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯．
【答案】54；5
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元．
由题意，得，
，得．
故购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元．
故答案为：54；
（2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯，
由题意，得，
化简，得，
又、、均为正整数，
，．
故答案为：5．
【分析】（1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元．根据题意列方程组解题即可；
（2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，根据“总价单价数量”列二元一次方程求整数解即可．
9．（2024七下·上城期中）定义一种新的运算：，例如：，那么
（1）若，那么 ；
（2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ．
【答案】12；
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵（-2）☆b=-16，
∴2×（-2）-b=-16，
解得b=12；
（2）∵a☆b=0，
∴2a-b=0，
∴b=2a，
则方程（a-1）x+by+5-2a=0可以转化为（a-1）x+2ay+5-2a=0，
则（x+2y-2）a=x-5，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故这个公共解为．
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算解答；
（2）根据新定义求出b=2a，代入方程得到得到（x+2y-2）a=x-5，根据题意得到方程组解题即可．
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组，
（1）x，y互为相反数时，a＝ ；
（2）x+2y= ；
（3）若x，y满足9x 3y＝27，则（a﹣1）2024＝ ．
【答案】（1）-2
（2）6
（3）0
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：（1）∵x、y互为相反数，
∴x+y=0，
∴2+a=0，
解之：a=-2.
故答案为：-2.
（2），
①+②得：2x=4a-4，
解之：x=2a-2，
由①-②得：2y=8-2a
解之：y=4-a，
∴x+2y=2a-2+2（4-a）=2a-2+8-2a=6
故答案为：6.
（3）∵ 9x 3y＝27，
∴32x+y=33，
∴2x+y=3，
∴4a-4+4-a=3，
解之a=1，
∴ （a﹣1）2024＝（1-1）2024=0.
故答案为：0.
【分析】（1）利用互为相反数的两数之和为0，可得到x+y=0，结合方程组，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再代入计算求出x+2y的值.
（3）利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则，可得到2x+y=3，将x，y代入，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，将a的值代入代数式进行计算，可求出结果.
11．（2024七下·宁波期中） 若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ．
【答案】1或3
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×3－②×2，得：3ax-4x=15.
解得：.
把代入②得：
∵方程组有整数解，
∴3a-4是15和10的公因数，
∴3a-4=±1，±5，
当3a-4=1，，
当3a-4=-1，a=1，
当3a-4=5，a=3，
当3a-4=-5，.
∵a取正整数，
∴a的值为 1或3.
当故答案为：1或3.
【分析】先解方程，求出x和y，根据方程有整数解，知道x和y的分母是两个分子的公分母，从而可得关于a的方程，分别解方程即可.
12．（2024七下·余姚期中）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解为
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵可以变形为：，
又∵的解为，
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】将第二个方程组变形为，从而对照第一个方程组的解可得，求解即可得出第二个方程组的解.
三、解答题
13．（2024七下·西湖期中）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材120张，B型板材240张可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不记损耗），用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
【答案】（1）解：设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，依题意有，
解得，
∴可制作竖式无盖箱子24个，可制作横式无盖箱子48个；
（2）解：设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，由题意得，，
解得，
∴可以制作竖式箱子50个；
（3）解：C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有列，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是3的倍数，
设竖式a个，横式b个，
∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，
∴，
∴，∵a、b均为整数，，
∴或或或，
∴最多可以制作竖式箱子45个．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，然后根据“ A型板材120张，B型板材240张 ”列二元一次方程组解答即可；（2）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，然后根据“ 工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元 ”列二元一次方程组解答即可；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，求出65个C型的列数，根据题意得A型的数量一定是3的倍数，列出相应的二元一次方程，取a、b的整数解解题即可．
14．（2024七下·杭州期中）中国古代在清明节时节就有插柳植树的传统，中国历史上最早在路旁植树是由一位叫韦孝宽的人于 1400多年前从陕西首创的．后来每年的3月 12日定为植树节．今年为进一步美化校园环境，决定采购甲、乙、丙三种不同的树苗．已知这三种树苗的价格之比为，乙种树苗每棵30元，现计划用2600元资金，购买这三种树苗共 100 棵．
（1）求甲、丙两种树苗的单价？
（2）若购买甲树苗的数量是乙树苗的2倍，且恰好用完计划资金，求这三种树苗各购买多少棵？
（3）若同时只购买甲、乙、丙中的两种树苗 100棵，恰好用完计划资金2600元．请给出合适的购买方案．
【答案】（1）解：这三种树苗的价格之比为，乙种树苗每棵30元，
甲种树苗的单价元，丙种树苗的单价元；
（2）解：设购买乙树苗x棵，则甲树苗棵，丙种树苗y棵，
由题意得，
解得：，
，
购买甲树苗60棵，乙树苗30棵，丙种树苗10棵；
（3）解：若购买甲、乙两种树苗，
设购买甲m棵，购买乙n棵，
由题意得，，
解得：，
购买甲40棵，购买乙60棵；
若购买甲、丙两种树苗，
设购买甲m棵，购买丙n棵，
由题意得，，
解得：，
购买甲80棵，购买丙40棵，
若购买乙、丙两种树苗，
设购买乙m棵，购买丙n棵，
由题意得，，
解得：，
不符合题意，舍去；
综上，方案一：购买甲40棵，购买乙60棵；方案二：购买甲80棵，购买丙40棵；
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法解题即可；
（2）设购买乙树苗x棵，丙种树苗y棵，根据“现计划用2600元资金，购买这三种树苗共 100 棵”列方程组解题即可；
（3）分①购买甲、乙两种树苗，②购买甲、丙两种树苗，③购买乙、丙两种树苗三种情况，列方程组解题即可.
15．（2024七下·温州期中）设计动态验证码
日常生活中，我们会运用验证码技术来协助平台账号的登录，其原理是：用户每次向网页提交信息时，系统会根据算法随机生成一串数字（即验证码），只有正确输入验证码才能成功提交信息．学生小实自行设计验证码生成器，其原理是通过二元一次方程设置算法，随机生成动态验证码．
【步骤一：根据方程生成非负整数解】以二元一次方程为例，利用该方程的非负整数解生成验证码．通过计算，以从小到大为序对非负整数解进行编码，请观察并填写下列表格：
【步骤二：依据编码随机生成验证码】随机抽取的两组非负整数解生成验证码，如抽取序号和两组解∶和规定将两组整数解按照在前在后的顺序填入指定区域内∶，可生成如下2个验证码∶
【任务一：理解算法】
（1）请补全表2．
（2）结合表2，求出二元一次方程的第组非负整数解．
（3）当表2中取最大值时，求出对应的和的值．
【任务二：应用算法】
学生小实利用(a，b为正整数)生成验证码∶
规则 ①取一组a、b的值，确定方程
②在该方程的非负整数解中，抽取序号和两组非负整数解作为验证码
请在满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程，依据抽取序号写出一组验证码∶
【答案】任务一：（1），（2）（3）；任务二：
或
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：任务一：理解算法
（1）当时，
此时，
，
解得：，
，
故答案：，；
（2）由表得
第组时，，
，
解得：
；
（3）由得
，
是非负整数，
，
，
解得：，
，
解得：，
，
；
任务二：应用算法
满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或，
①
当时，
此时，
，
解得：，
，
当时，
此时，
解得，
，
验证码为：
或
②
同理可求，
验证码为：
或．
故验证码为：
或．
【分析】
任务一：理解算法
（1）当时，此时，代入方程计算即可求解；
（2）由表得第组时，，代入方程计算即可求解；
（3）由方程得，可得，从而可求，代入即可求解；
任务二：应用算法
满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或，
①，
当时，此时，代入方程可求解，同理可求当时，
②同理可求解．
16．（2024七下·金东期中） 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边 米， 米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是 （请写出满足条件的n的值）．
【答案】（1）0.4；0.6
（2）解：由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，
可得：，
解得：；
（3）52或65
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)，
AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)；
故答案为：0.4，0.6；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有（n-a）块按方案二进行切割．
根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片，
∴5a≤140，即a≤28，
丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则
解得：，
∵a≤28，，且a，n都是正整数
∴当n=52时，a=20；当n=65时，a=25；
综上：n的值是52或65．
【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF；
（2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，即可解答；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可．
17．（2024七下·浙江期中） 根据以下素材，探索解决任务．
文创店礼品采购方案的设计
素材1 某文创店采购A，B两种文创礼品共200件．
素材2 A礼品的批发价为65元/件，零售价为80元/件； B礼品的批发价为78元/件，零售价为88元/件．
问题解决
任务1 若批发A，B两种礼品各100件，且全部售完，共可获利 ▲ 元．
任务2 若这200件礼品全部售完且总利润为2400元，求采购A，B礼品各多少件．
任务3 该商店预留10件礼品用于公益活动，其余全部售完且共获利2000元，请确定预留A，B礼品的件数及相应的采购方案．
【答案】解：任务1，2500，
任务2 设采购A礼品x件，B礼品y件．
由题意得：，
解得：．
∴采购A礼品80件，B礼品120件．
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购件礼品，预留件礼品，
根据题意得：，
即，
．
又，，，均为自然数，
或或，
共有3种方案，
方案1：预留10件礼品，对应采购方案为采购176件礼品，24件礼品；
方案2：预留5件礼品，5件礼品，对应采购方案为采购168件礼品，32件礼品；
方案3：预留10件礼品，对应采购方案为采购160件礼品，40件礼品．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得：
（元，
若批发，两种礼品各100件，且全部售完，共可获利2500元．
故答案为：2500；
【分析】任务1：根据总利润每件礼品的销售利润每件礼品的销售利润列式计算即可；
任务2：设采购件礼品，件礼品，根据这200件礼品全部售完且总利润为2400元，列出二元一次方程组，求解即可：
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购件礼品，预留件礼品，根据利润的计算方法，列出关于，的二元一次方程，然后根据，，，均为自然数，求出m，n的值，然后可得采购方案．
18．（2024七下·温州期中） 根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【答案】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则
，
解得：，
∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子．
（2）解：①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则
，
∴，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，
当时，费用为（元），
当时，费用为（元），
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，
此时费用为，
设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，
∴，
解得：，
∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：1张A卡纸作的小棋子数+1张B卡纸做的小旗子数=8；2张A卡纸作的小棋子数+3张B卡纸做的小旗子数=19；设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，列方程求解即可.
（2）①根据题意：A卡纸作的小棋子数+B卡纸作的小棋子数=60.设买x张A卡纸，y张B卡纸，根据题意赠送x张B卡纸，可得关于x，y的二元一次方程；再根据x和y为整数，计算出符合条件的解，再针对符合条件的解求出对应的采购并比较即可.
（2）②根据采购费用以及买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可知多买A，当买A卡纸16张时，花费64元，同时赠送16张B卡纸.设A卡纸张有张做小旗子，B卡纸张有张做小旗子，建立关于m，n的二元一次方程组，求得m和n的值，再计算对应作小灯笼和小旗子的数量即可.
19．（2024七下·鄞州期中）某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A纪念品每件x元，B纪念品每件y元，
，
解得，
答：A纪念品每件150元，B纪念品每件100元
（2）设A购进纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
则，
化简得，即，
又因为a、b均为正整数，且都不小于12，
当a取12时，b取22；
当a取14时，b取19；
当a取16时，b取16；
当a取18时，b取13，
上述四种方案均符合题意，即共有四种方案，
答：该商店共有四种进货方案
（3）由上述四个方案算出每种方案利润，
第一种方案：（元）；
第二种方案：（元）；
第一种方案：（元）；
第一种方案：（元）；
即A购进12件，B购进22件获利最大，为900元
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A纪念品每件x元，B纪念品每件y元，根据“ 购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设A购进纪念品a件，B纪念品b件，根据“正好用完4000元”列方程，利用a、b均为正整数，且都不小于12，得到方案解题；
（3）分别计算（2）中方案的利润，然后作比较解题即可．
四、实践探究题
20．（2024七下·开化期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，
∴
解得：
∴A款奶茶销售单价是14元，B款奶茶销售单价是16元.
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
∴
∴
∵a，b均为正整数，
∴，
∴共有两种方案.
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，
∵A款加料的奶茶的价格和B款不加料的奶茶的价格一样，都是16元每杯，
∴
∴
又∵m，n和均为正整数，
∴m>0，n>0，3m-m-n>0，
∴
∴
∴
∴班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，根据"买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元"，据此即可列出二元一次方程组解此方程组即可即可求解；
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，则得到结合a，b均为正整数，即可求解；
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，进而得到二元一次方程结合m，n和均为正整数，即可求解.
21．（2024七下·浙江期中）根据以下素材，探索解决任务．
文创店礼品采购方案的设计
素材1 某文创店采购A，B两种文创礼品共200件．
素材2 A礼品的批发价为65元/件，零售价为80元/件； B礼品的批发价为78元/件，零售价为88元/件．
问题解决
任务1 若批发A，B两种礼品各100件，且全部售完，共可获利_________元．
任务2 若这200件礼品全部售完且总利润为2400元，求采购A，B礼品各多少件．
任务3 该商店预留10件礼品用于公益活动，其余全部售完且共获利2000元，请确定预留A，B礼品的件数及相应的采购方案．
【答案】任务1：2500；
任务2：设采购件礼品，件礼品，
根据题意得：，
解得：．
答：采购80件礼品，120件礼品；
任务3：
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购件礼品，预留件礼品，
根据题意得：，
即，
．
又，，，均为自然数，
或或，
共有3种方案，
方案1：预留10件礼品，对应采购方案为采购176件礼品，24件礼品；
方案2：预留5件礼品，5件礼品，对应采购方案为采购168件礼品，32件礼品；
方案3：预留10件礼品，对应采购方案为采购160件礼品，40件礼品
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得：
（元，
若批发，两种礼品各100件，且全部售完，共可获利2500元．
故答案为：2500；
【分析】任务1：利用总利润每件礼品的销售利润（售价-进价）每件礼品的销售利润（售价-进价），即可求出结论；
任务2：设采购件礼品，件礼品，根据这200件礼品全部售完且总利润为2400元，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，可求出x，y的值，作答即可.
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购礼品的数量及预留礼品的数量，利用总利润每件礼品的零售价销售数量每件礼品的批发价购进数量每件礼品的零售价销售数量每件礼品的批发价购进数量，可得到关于，的二元一次方程，结合，，，均为自然数，即可得出各采购方案．
22．（2024七下·温州期中）
设计最优订餐方案
素 材 一 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元． 注：米饭2元一份，素菜8元一份．
素 材 二 天天中餐厅推出多款优惠套餐： 小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元； 狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元； 酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元．
素 材 三 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元． 美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元． 现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费．
问题解决
任 务 一 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？
任 务 二 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？
任 务 三 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？
【答案】解：任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，
依题意，列式得，
整理得，
解得，
∴店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元．
任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个，
依题意，，
整理得，
则能整除4，
∴，
此时，
解得，
∴其中鸡腿和狮子头分别是个，
根据优惠套餐：
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，
此时5个鸡腿，4个狮子头，1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，
即（元），
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．
任务三：设最后两个券膨胀为元，
当刚好美团外卖和到店购买一样省钱，
则美团外卖：，
则到店购买，
当时，解得，
当美团外卖比到店购买省钱，
即，解得，
当到店购买比美团外卖省钱，
即，解得，
综上：最后两张券膨胀金钱和为，选择美团外卖；最后两张券膨胀金钱和为，选择到店购买；当最后两张券膨胀金钱和为元，则两个方式都一样省钱．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，列出关于，的方程组，进行解方程，即可作答．
任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个，列出关于的方程组，进行解方程，即可作答．
任务三：分别计算出外卖和到店的费用，再进行分类讨论，即可解答．
23．（2024七下·温州期中）为庆祝班级生日，七年级某班班主任陈老师准备去奶茶店购买奶茶.请结合以下素材，确定奶茶购买方案.
奶茶购买方案问题
素材1 “原味奶茶”和“珍珠奶茶”是某奶茶店最畅销的两款产品.原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元.
素材2 加3元购买一份珍珠，可将一杯“原味奶茶”制作成“珍珠奶茶”.因此一杯“珍珠奶茶”的原价比一杯“原味奶茶”的原价贵3元.
素材3
问题解决
任务1 请根据以上信息，分别求出“原味奶茶”和“珍珠奶茶”的原价.
任务2 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完，求陈老师拿到几杯“珍珠奶茶”
任务3 现在陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，则最省钱采购方案的总价为 ▲ 元.（直接写出答案）
【答案】解： 任务1 ：设原味奶茶的原价为x元，则珍珠奶茶的原价为(x+3)元，
依题意得：x+(x+3)=23，
解得x=10，
∴x+3=13元，
∴原味奶茶的原价为10元，则珍珠奶茶的原价为13元.
任务2 ：设陈老师买了a套套餐1，b套套餐2，
根据题意得：10.5a+21b=420，
∴a+2b=40，
∴1×a+2·b=40（杯）
∴陈老师可拿到40杯珍珠奶茶；
任务3：最省钱采购方案的总价为21×15+21+3+10.5×2=360元.
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设原味奶茶的原价为x元，则珍珠奶茶的原价为(x+3)元，根据“原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元”列出方程并解之即可；
（2）设陈老师买了a套套餐1，b套套餐2，根据“ 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完 ”列出二元一次方程方程，求出a+2b即可求解；
（3）先利用活动二购买15套，再利用活动二添加3元购买3杯珍珠奶茶，再利用活动一购买2杯奶茶，据此计算即可.
1 / 1《二元一次方程组》精选压轴题—浙江省七（下）数学期中复习
一、单选题
1．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，；②的值与k无关；③若，则解为；④若，k为整数，则k的值为．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024七下·上城期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论取何值，的值始终不变；
④设，则的最大值为3．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
3．（2024七下·浙江期中）已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程的解，则；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式的值为定值．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，k＝2；②6x﹣y的值与k无关；③若8x 4y＝32，则解为k＝3；④若xk＝1，k为整数，则k的值为0，1，﹣9．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024七下·宁波期中） 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
7．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2024七下·杭州期中）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表．
（1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元；
（2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香凤梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯．
9．（2024七下·上城期中）定义一种新的运算：，例如：，那么
（1）若，那么 ；
（2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为 ．
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组，
（1）x，y互为相反数时，a＝ ；
（2）x+2y= ；
（3）若x，y满足9x 3y＝27，则（a﹣1）2024＝ ．
11．（2024七下·宁波期中） 若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ．
12．（2024七下·余姚期中）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解为
三、解答题
13．（2024七下·西湖期中）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材120张，B型板材240张可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不记损耗），用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
14．（2024七下·杭州期中）中国古代在清明节时节就有插柳植树的传统，中国历史上最早在路旁植树是由一位叫韦孝宽的人于 1400多年前从陕西首创的．后来每年的3月 12日定为植树节．今年为进一步美化校园环境，决定采购甲、乙、丙三种不同的树苗．已知这三种树苗的价格之比为，乙种树苗每棵30元，现计划用2600元资金，购买这三种树苗共 100 棵．
（1）求甲、丙两种树苗的单价？
（2）若购买甲树苗的数量是乙树苗的2倍，且恰好用完计划资金，求这三种树苗各购买多少棵？
（3）若同时只购买甲、乙、丙中的两种树苗 100棵，恰好用完计划资金2600元．请给出合适的购买方案．
15．（2024七下·温州期中）设计动态验证码
日常生活中，我们会运用验证码技术来协助平台账号的登录，其原理是：用户每次向网页提交信息时，系统会根据算法随机生成一串数字（即验证码），只有正确输入验证码才能成功提交信息．学生小实自行设计验证码生成器，其原理是通过二元一次方程设置算法，随机生成动态验证码．
【步骤一：根据方程生成非负整数解】以二元一次方程为例，利用该方程的非负整数解生成验证码．通过计算，以从小到大为序对非负整数解进行编码，请观察并填写下列表格：
【步骤二：依据编码随机生成验证码】随机抽取的两组非负整数解生成验证码，如抽取序号和两组解∶和规定将两组整数解按照在前在后的顺序填入指定区域内∶，可生成如下2个验证码∶
【任务一：理解算法】
（1）请补全表2．
（2）结合表2，求出二元一次方程的第组非负整数解．
（3）当表2中取最大值时，求出对应的和的值．
【任务二：应用算法】
学生小实利用(a，b为正整数)生成验证码∶
规则 ①取一组a、b的值，确定方程
②在该方程的非负整数解中，抽取序号和两组非负整数解作为验证码
请在满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程，依据抽取序号写出一组验证码∶
16．（2024七下·金东期中） 某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边 米， 米．
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
（3）若厂家已有140块甲型玻璃片，再购入块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是 （请写出满足条件的n的值）．
17．（2024七下·浙江期中） 根据以下素材，探索解决任务．
文创店礼品采购方案的设计
素材1 某文创店采购A，B两种文创礼品共200件．
素材2 A礼品的批发价为65元/件，零售价为80元/件； B礼品的批发价为78元/件，零售价为88元/件．
问题解决
任务1 若批发A，B两种礼品各100件，且全部售完，共可获利 ▲ 元．
任务2 若这200件礼品全部售完且总利润为2400元，求采购A，B礼品各多少件．
任务3 该商店预留10件礼品用于公益活动，其余全部售完且共获利2000元，请确定预留A，B礼品的件数及相应的采购方案．
18．（2024七下·温州期中） 根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
19．（2024七下·鄞州期中）某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
四、实践探究题
20．（2024七下·开化期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
21．（2024七下·浙江期中）根据以下素材，探索解决任务．
文创店礼品采购方案的设计
素材1 某文创店采购A，B两种文创礼品共200件．
素材2 A礼品的批发价为65元/件，零售价为80元/件； B礼品的批发价为78元/件，零售价为88元/件．
问题解决
任务1 若批发A，B两种礼品各100件，且全部售完，共可获利_________元．
任务2 若这200件礼品全部售完且总利润为2400元，求采购A，B礼品各多少件．
任务3 该商店预留10件礼品用于公益活动，其余全部售完且共获利2000元，请确定预留A，B礼品的件数及相应的采购方案．
22．（2024七下·温州期中）
设计最优订餐方案
素 材 一 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元． 注：米饭2元一份，素菜8元一份．
素 材 二 天天中餐厅推出多款优惠套餐： 小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元； 狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元； 酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元．
素 材 三 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元． 美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元． 现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费．
问题解决
任 务 一 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？
任 务 二 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？
任 务 三 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？
23．（2024七下·温州期中）为庆祝班级生日，七年级某班班主任陈老师准备去奶茶店购买奶茶.请结合以下素材，确定奶茶购买方案.
奶茶购买方案问题
素材1 “原味奶茶”和“珍珠奶茶”是某奶茶店最畅销的两款产品.原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元.
素材2 加3元购买一份珍珠，可将一杯“原味奶茶”制作成“珍珠奶茶”.因此一杯“珍珠奶茶”的原价比一杯“原味奶茶”的原价贵3元.
素材3
问题解决
任务1 请根据以上信息，分别求出“原味奶茶”和“珍珠奶茶”的原价.
任务2 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完，求陈老师拿到几杯“珍珠奶茶”
任务3 现在陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，则最省钱采购方案的总价为 ▲ 元.（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x与y互为相反数时，则，
将其代入二元一次方程组，
即，
解得，故①不正确；
②由题可知：，
可得：，
∴的值与k无关，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，即，
可得：，
解得：，故③正确；
④∵，k为整数，
∴当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，此时，故不符合题意，
∴k的值为，故④不正确，
综上，正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和解二元一次方程组进行计算解题．
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；二元一次方程的解；二次函数的最值；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解方程组得，
当时，，把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，原说法错误；
②当时，，解得，原说法正确；
③，即的值始终不变，原说法正确；
④∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为3，原说法正确；
故答案为：D．
【分析】先解方程组得到，，当时，求出x，y代入方程计算判断①；得到，解方程判断②；代入求出的值判断③；求出判断④解答即可．
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①把代入原方程组得：，
解得：，则①错误；
②把代入原方程组得：，
解得：，则②错误；
③把代入原方程组得：，
即：，则③错误；
④，
得：，
得：，即：，则④正确；
故答案为：D.
【分析】将代入原方程组求出的值可判断①；把代入原方程组求得a可判断②；把代入原方程组求出a可判断③；利用加减消元法将原方程组变形为的形式即可判断④．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x和y互为相反数时，则
∴
∴则本项不符合题意；
②由题意得：
∴
∴6x﹣y的值与k无关，则本项符合题意；
③∵
∴23x×22y=25，
∴23x+2y=25，
∴
∴
∴3k-4=5，
解得：则本项符合题意；
④∵xk＝1，k为整数，
①当时，，
解得：，
②当时，，
解得：，
③当x=-1时，，
解得：，
∴k的值为0，1，﹣9，则本项符合题意，
综上所述，正确的说法有②③④，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据题意得到：将其代入方程组即可求出k的值，进而即可判断①；由题意得：化简整理得：进而即可判断②；根据同底数幂的乘法即可得到：进而即可判断③；根据题意可知需分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，进而即可判断④.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据图形：图2阴影的周长：图3阴影的周长=6：7，1个小长方形的长+2个小长方形的宽=8，据此列方程组，利用整体代入的思想解决问题.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
8．【答案】54；5
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元．
由题意，得，
，得．
故购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元．
故答案为：54；
（2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯，
由题意，得，
化简，得，
又、、均为正整数，
，．
故答案为：5．
【分析】（1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元．根据题意列方程组解题即可；
（2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，根据“总价单价数量”列二元一次方程求整数解即可．
9．【答案】12；
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵（-2）☆b=-16，
∴2×（-2）-b=-16，
解得b=12；
（2）∵a☆b=0，
∴2a-b=0，
∴b=2a，
则方程（a-1）x+by+5-2a=0可以转化为（a-1）x+2ay+5-2a=0，
则（x+2y-2）a=x-5，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故这个公共解为．
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算解答；
（2）根据新定义求出b=2a，代入方程得到得到（x+2y-2）a=x-5，根据题意得到方程组解题即可．
10．【答案】（1）-2
（2）6
（3）0
【知识点】同底数幂的乘法；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：（1）∵x、y互为相反数，
∴x+y=0，
∴2+a=0，
解之：a=-2.
故答案为：-2.
（2），
①+②得：2x=4a-4，
解之：x=2a-2，
由①-②得：2y=8-2a
解之：y=4-a，
∴x+2y=2a-2+2（4-a）=2a-2+8-2a=6
故答案为：6.
（3）∵ 9x 3y＝27，
∴32x+y=33，
∴2x+y=3，
∴4a-4+4-a=3，
解之a=1，
∴ （a﹣1）2024＝（1-1）2024=0.
故答案为：0.
【分析】（1）利用互为相反数的两数之和为0，可得到x+y=0，结合方程组，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再代入计算求出x+2y的值.
（3）利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则，可得到2x+y=3，将x，y代入，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，将a的值代入代数式进行计算，可求出结果.
11．【答案】1或3
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×3－②×2，得：3ax-4x=15.
解得：.
把代入②得：
∵方程组有整数解，
∴3a-4是15和10的公因数，
∴3a-4=±1，±5，
当3a-4=1，，
当3a-4=-1，a=1，
当3a-4=5，a=3，
当3a-4=-5，.
∵a取正整数，
∴a的值为 1或3.
当故答案为：1或3.
【分析】先解方程，求出x和y，根据方程有整数解，知道x和y的分母是两个分子的公分母，从而可得关于a的方程，分别解方程即可.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵可以变形为：，
又∵的解为，
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】将第二个方程组变形为，从而对照第一个方程组的解可得，求解即可得出第二个方程组的解.
13．【答案】（1）解：设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，依题意有，
解得，
∴可制作竖式无盖箱子24个，可制作横式无盖箱子48个；
（2）解：设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，由题意得，，
解得，
∴可以制作竖式箱子50个；
（3）解：C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有列，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是3的倍数，
设竖式a个，横式b个，
∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，
∴，
∴，∵a、b均为整数，，
∴或或或，
∴最多可以制作竖式箱子45个．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个，然后根据“ A型板材120张，B型板材240张 ”列二元一次方程组解答即可；（2）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，然后根据“ 工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元 ”列二元一次方程组解答即可；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，求出65个C型的列数，根据题意得A型的数量一定是3的倍数，列出相应的二元一次方程，取a、b的整数解解题即可．
14．【答案】（1）解：这三种树苗的价格之比为，乙种树苗每棵30元，
甲种树苗的单价元，丙种树苗的单价元；
（2）解：设购买乙树苗x棵，则甲树苗棵，丙种树苗y棵，
由题意得，
解得：，
，
购买甲树苗60棵，乙树苗30棵，丙种树苗10棵；
（3）解：若购买甲、乙两种树苗，
设购买甲m棵，购买乙n棵，
由题意得，，
解得：，
购买甲40棵，购买乙60棵；
若购买甲、丙两种树苗，
设购买甲m棵，购买丙n棵，
由题意得，，
解得：，
购买甲80棵，购买丙40棵，
若购买乙、丙两种树苗，
设购买乙m棵，购买丙n棵，
由题意得，，
解得：，
不符合题意，舍去；
综上，方案一：购买甲40棵，购买乙60棵；方案二：购买甲80棵，购买丙40棵；
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法解题即可；
（2）设购买乙树苗x棵，丙种树苗y棵，根据“现计划用2600元资金，购买这三种树苗共 100 棵”列方程组解题即可；
（3）分①购买甲、乙两种树苗，②购买甲、丙两种树苗，③购买乙、丙两种树苗三种情况，列方程组解题即可.
15．【答案】任务一：（1），（2）（3）；任务二：
或
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：任务一：理解算法
（1）当时，
此时，
，
解得：，
，
故答案：，；
（2）由表得
第组时，，
，
解得：
；
（3）由得
，
是非负整数，
，
，
解得：，
，
解得：，
，
；
任务二：应用算法
满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或，
①
当时，
此时，
，
解得：，
，
当时，
此时，
解得，
，
验证码为：
或
②
同理可求，
验证码为：
或．
故验证码为：
或．
【分析】
任务一：理解算法
（1）当时，此时，代入方程计算即可求解；
（2）由表得第组时，，代入方程计算即可求解；
（3）由方程得，可得，从而可求，代入即可求解；
任务二：应用算法
满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或，
①，
当时，此时，代入方程可求解，同理可求当时，
②同理可求解．
16．【答案】（1）0.4；0.6
（2）解：由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，
可得：，
解得：；
（3）52或65
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）AE=2÷5=0.4(米)，
AF=AB-AF=AD÷2- AF =2÷2-0.4=0.6(米)；
故答案为：0.4，0.6；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，则有（n-a）块按方案二进行切割．
根据有140片甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于140片，
∴5a≤140，即a≤28，
丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，则
解得：，
∵a≤28，，且a，n都是正整数
∴当n=52时，a=20；当n=65时，a=25；
综上：n的值是52或65．
【分析】（1）根据方案一可得AE，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得AF；
（2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组，即可解答；
（3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程，求出整数解即可．
17．【答案】解：任务1，2500，
任务2 设采购A礼品x件，B礼品y件．
由题意得：，
解得：．
∴采购A礼品80件，B礼品120件．
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购件礼品，预留件礼品，
根据题意得：，
即，
．
又，，，均为自然数，
或或，
共有3种方案，
方案1：预留10件礼品，对应采购方案为采购176件礼品，24件礼品；
方案2：预留5件礼品，5件礼品，对应采购方案为采购168件礼品，32件礼品；
方案3：预留10件礼品，对应采购方案为采购160件礼品，40件礼品．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得：
（元，
若批发，两种礼品各100件，且全部售完，共可获利2500元．
故答案为：2500；
【分析】任务1：根据总利润每件礼品的销售利润每件礼品的销售利润列式计算即可；
任务2：设采购件礼品，件礼品，根据这200件礼品全部售完且总利润为2400元，列出二元一次方程组，求解即可：
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购件礼品，预留件礼品，根据利润的计算方法，列出关于，的二元一次方程，然后根据，，，均为自然数，求出m，n的值，然后可得采购方案．
18．【答案】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则
，
解得：，
∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子．
（2）解：①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则
，
∴，
∴，
∵，为正整数，
∴或，
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，
当时，费用为（元），
当时，费用为（元），
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，
此时费用为，
设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，
∴，
解得：，
∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：1张A卡纸作的小棋子数+1张B卡纸做的小旗子数=8；2张A卡纸作的小棋子数+3张B卡纸做的小旗子数=19；设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，列方程求解即可.
（2）①根据题意：A卡纸作的小棋子数+B卡纸作的小棋子数=60.设买x张A卡纸，y张B卡纸，根据题意赠送x张B卡纸，可得关于x，y的二元一次方程；再根据x和y为整数，计算出符合条件的解，再针对符合条件的解求出对应的采购并比较即可.
（2）②根据采购费用以及买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可知多买A，当买A卡纸16张时，花费64元，同时赠送16张B卡纸.设A卡纸张有张做小旗子，B卡纸张有张做小旗子，建立关于m，n的二元一次方程组，求得m和n的值，再计算对应作小灯笼和小旗子的数量即可.
19．【答案】（1）解：设A纪念品每件x元，B纪念品每件y元，
，
解得，
答：A纪念品每件150元，B纪念品每件100元
（2）设A购进纪念品a件，B纪念品b件，正好用完4000元，
则，
化简得，即，
又因为a、b均为正整数，且都不小于12，
当a取12时，b取22；
当a取14时，b取19；
当a取16时，b取16；
当a取18时，b取13，
上述四种方案均符合题意，即共有四种方案，
答：该商店共有四种进货方案
（3）由上述四个方案算出每种方案利润，
第一种方案：（元）；
第二种方案：（元）；
第一种方案：（元）；
第一种方案：（元）；
即A购进12件，B购进22件获利最大，为900元
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A纪念品每件x元，B纪念品每件y元，根据“ 购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要2000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要1050元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设A购进纪念品a件，B纪念品b件，根据“正好用完4000元”列方程，利用a、b均为正整数，且都不小于12，得到方案解题；
（3）分别计算（2）中方案的利润，然后作比较解题即可．
20．【答案】解：（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，
∴
解得：
∴A款奶茶销售单价是14元，B款奶茶销售单价是16元.
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
∴
∴
∵a，b均为正整数，
∴，
∴共有两种方案.
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，
∵A款加料的奶茶的价格和B款不加料的奶茶的价格一样，都是16元每杯，
∴
∴
又∵m，n和均为正整数，
∴m>0，n>0，3m-m-n>0，
∴
∴
∴
∴班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，根据"买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元"，据此即可列出二元一次方程组解此方程组即可即可求解；
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，则得到结合a，b均为正整数，即可求解；
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，进而得到二元一次方程结合m，n和均为正整数，即可求解.
21．【答案】任务1：2500；
任务2：设采购件礼品，件礼品，
根据题意得：，
解得：．
答：采购80件礼品，120件礼品；
任务3：
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购件礼品，预留件礼品，
根据题意得：，
即，
．
又，，，均为自然数，
或或，
共有3种方案，
方案1：预留10件礼品，对应采购方案为采购176件礼品，24件礼品；
方案2：预留5件礼品，5件礼品，对应采购方案为采购168件礼品，32件礼品；
方案3：预留10件礼品，对应采购方案为采购160件礼品，40件礼品
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：根据题意得：
（元，
若批发，两种礼品各100件，且全部售完，共可获利2500元．
故答案为：2500；
【分析】任务1：利用总利润每件礼品的销售利润（售价-进价）每件礼品的销售利润（售价-进价），即可求出结论；
任务2：设采购件礼品，件礼品，根据这200件礼品全部售完且总利润为2400元，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，可求出x，y的值，作答即可.
任务3：设采购件礼品，预留件礼品，则采购礼品的数量及预留礼品的数量，利用总利润每件礼品的零售价销售数量每件礼品的批发价购进数量每件礼品的零售价销售数量每件礼品的批发价购进数量，可得到关于，的二元一次方程，结合，，，均为自然数，即可得出各采购方案．
22．【答案】解：任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，
依题意，列式得，
整理得，
解得，
∴店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元．
任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个，
依题意，，
整理得，
则能整除4，
∴，
此时，
解得，
∴其中鸡腿和狮子头分别是个，
根据优惠套餐：
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，
此时5个鸡腿，4个狮子头，1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，
即（元），
∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．
任务三：设最后两个券膨胀为元，
当刚好美团外卖和到店购买一样省钱，
则美团外卖：，
则到店购买，
当时，解得，
当美团外卖比到店购买省钱，
即，解得，
当到店购买比美团外卖省钱，
即，解得，
综上：最后两张券膨胀金钱和为，选择美团外卖；最后两张券膨胀金钱和为，选择到店购买；当最后两张券膨胀金钱和为元，则两个方式都一样省钱．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，列出关于，的方程组，进行解方程，即可作答．
任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个，列出关于的方程组，进行解方程，即可作答．
任务三：分别计算出外卖和到店的费用，再进行分类讨论，即可解答．
23．【答案】解： 任务1 ：设原味奶茶的原价为x元，则珍珠奶茶的原价为(x+3)元，
依题意得：x+(x+3)=23，
解得x=10，
∴x+3=13元，
∴原味奶茶的原价为10元，则珍珠奶茶的原价为13元.
任务2 ：设陈老师买了a套套餐1，b套套餐2，
根据题意得：10.5a+21b=420，
∴a+2b=40，
∴1×a+2·b=40（杯）
∴陈老师可拿到40杯珍珠奶茶；
任务3：最省钱采购方案的总价为21×15+21+3+10.5×2=360元.
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设原味奶茶的原价为x元，则珍珠奶茶的原价为(x+3)元，根据“原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元”列出方程并解之即可；
（2）设陈老师买了a套套餐1，b套套餐2，根据“ 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完 ”列出二元一次方程方程，求出a+2b即可求解；
（3）先利用活动二购买15套，再利用活动二添加3元购买3杯珍珠奶茶，再利用活动一购买2杯奶茶，据此计算即可.
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