综合性探究型—浙江省七（下）数学期中复习

综合性探究型—浙江省七（下）数学期中复习
一、解答题
1．（2024七下·江山期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．
【小试牛刀】
（1）①若时，求的度数；
②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示）
【变式探索】
（2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【能力提升】
（3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）．
2．（2024七下·东阳期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．
【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，
（1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ．
（2）根据图2：若，，求的值
【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．
（3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ．
【拓展延伸】
（4）尝试因式分解：
(5)应用：已知，，求出的值．
3．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
4．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.
深入探究：
（1）老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与的角平分线重合时，，当AC在内部的其他位置时，结论是否依然成立 请说明理由．
（2）勤学小组提出：若AC旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展提升：
智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2023七下·海曙期中）【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如：
例1：分解因式：x4+4y4
解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）
例2：分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3、把多项式a2+b2+4a﹣6b+13写成A2+B2的形式．
解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+2x﹣8＝　 　；
（2）分解因式：x4+4＝　 　；
（3）关于x的二次三项式x2﹣20x+111在x＝　 　时，有最小值；
（4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值．
6．（2023七下·海曙期中）数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出的度数；
（1）若，则.你认为阿青同学的做法正确吗？ 说明理由；
（2）在（1）的条件下，阿青同学在纸条下上取点（如图2），连结并沿着折叠纸片使得与重合，过作于点，设，.
①当点在点之间时，若，求的度数；
②当点在上的运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.（选其中一种情况证明）
7．（2024七下·吴兴期中） 已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（　　）
∴ ▲ ， （　　）
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
8．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是　 　；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是：　 　；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明：　 　；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图：　 　；
你的关系式：　 　．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答：　 　．
9．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为　 　，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得　 　．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
10．（2024七下·杭州期中） 如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
11．
（1）问题情境：
如图1，已知 AB∥CD，∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考，小敏提出思路：如图2，过点 P 作PE∥AB，根据平行线的有关性质，可得∠PAB+∠PCD=　 　°.
（2）问题迁移：
如图3，AD∥BC，点 P 在射线OM 上运动，∠ADP=α，∠BCP=β.
当点 P 在A，B两点之间运动时，∠CPD，α，β之间有何数量关系 请说明理由.
（3）当点 P 在A，B 两点外侧运动时（点 P 与点A，B，O不重合），请直接写出∠CPD，α，β之间的数量关系.
（4）问题拓展：
如图4， -An是一条折线段.
依据此图信息，把你所发现的结论用数学式子表达出来：　 　
12．小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.
（1）【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗 请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.
（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.
13．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则　 　；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
14．数学兴趣小组围绕 “三角形的内角和是 ”， 进行了一系列探究， 过程如下：
（1）【论证】如图 1 所示， 延长 至点 ， 过点 作 ， 就可以说明 成立， 即：三角形的内角和为 ， 请完成上述说理过程．
（2）【应用】如图 2 所示， 在三角形 中， 的平分线与 的平分线交于点， 过点 作 ， 点 在射线 上， 且 的延长线与 的延长线交于点 ．
①求 的度数；
②设 ， 请用含 的代数式表示 ．
（3）【拓展】如图 3 所示， 在三角形 中， ， 过点 作 ， 直线 与 相交于点 右侧的点 ． 三角形 绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转， 同时 绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转， 与 重合时 再绕着点 以原速度逆时针方向旋转， 当三角形 旋转一周时， 运动全部停止， 设运动时间为 ， 在旋转过程中， 是否存在某一时刻， 使得 与三角形 的一边平行？ 若存在， 求 的值； 若不存在， 请说明理由．
15．（2024七下·吴兴期末）【问题情境】在综合实践课上， 老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动， 如图 1， 是直线 上的两点， 连接 交于点 .
（1） 【探索发现】判断 和 之间的数量关系， 并说明理由.
（2） 【深入探究】如图 2， 过点 作 ， 交 的延长线于点 ， 交 于点 ， 过点 作 分别交 于点 .
若 平分 ， 求 的度数.
（3） 如图 3， 在 (2) 的条件下， 将 绕着点 以每秒 的速度逆时针旋转， 旋转时间为 ， 当 边与射线 重合时停止， 则在旋转过程中， 当边 与 的某一边平行时， 直接写出此时 的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）①；②；（2）不变，；（3）
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
2．【答案】（1）；（2）；（3）；；；（4）；(5)
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
3．【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.
【分析】方法体验：将方程组中的两个方程相加即可；
方法迁移：将方程组中的两个方程相减可得–3x–y+z=–5，变形可得3x+y-z的值；
探究升级：设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z)，则m+4n=2、2m+3n=5、3m+2n=8，联立求出m、n的值，据此解答；
巩固运用：设8a+3b–2c=m(2a–b+kc)+n(a+3b+2c)，则2m+n=8、3n-m=3、2n+mk=-2，联立求出m、n、k的值，据此解答.
4．【答案】（1）解：设三角板旋转α度，即∠ACE＝α，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE－∠ACE＝30°－α，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB－∠DCA＝(45°－α)－(30°－α)＝15°.
（2）解：解：当BC在CE下方时，
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB＋∠DCA＝(45°－α)＋(α－30°)＝15°.
当BC在CE上方时，
或
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACE－∠ACB＝α－45°．
∴∠DCA－∠ECB＝(α－30°)－(α－45°)＝15°.
综上：∠ECB＋∠DCA＝15°或∠DCA－∠ECB＝15°.
（3）解：t＝24s或t＝60s
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如下图有以下两种情况
①线段AC在直线MN上方时，
AC||DE，∠DEC=60°，得∠ACE=120°，
旋转时间为t=120÷5=24s
②当线段AC在直线MN下方时，
AC||DE，∠ACE=∠CED=60°，旋转的角度为360°-60°=300°，
旋转的时间为300÷5=60s
综上所述：t为24s或60秒时，DE||AC
【分析】在变化过程中，不变的是角度的表达式，利用此点，第(1)问中直接利用角度的代数表达式进行推导；而(2)中需对旋转的情况进行分类讨论，本质仍然是利用角度的代数式进行推导；第（3）问，也是对平行时的情况进行分类讨论，需结合作图进行解答.
5．【答案】（1）（x+4）（x﹣2）
（2）（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
（3）10
（4）解：M＝（x2+6x+9）+（4y2﹣12y+9）+m﹣18
＝（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18，
∵若M恰能表示成A2+B2的形式，
∴m﹣18＝0，
∴m＝18，
答：m的值为18．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）x2+2x-8=（x+4）（x-2）；
故答案为：（x+4）（x-2）；
（2）x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2=（x2+2）2-22x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）；
故答案为：（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；
（3）∵x2﹣20x+111 =x2﹣20x+100+11=（x-10）2+11，（x-10）2≥0，
∴当x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为11；
故答案为：10；
【分析】（1）根据十字交叉相乘法，x2=x.x，-8=4×（-2），再结合4x+（-2x）=2x，可以得到：x2+2x-8=（x+4）（x-2）；
（2）先把x4写成（x2）2的形式，把4写成22的形式，再把x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2，再根据完全平方公式把（x2）2+4x2+22写成（x2+2）2的形式；再用平方差公式把（x2+2）2-（2x）2写成（x2+2+2x）（x2+2-2x）的形式即可；
（3）先把x2﹣20x+111 写成（x-10）2+11的形式，再根据（x-10）2的非负性可知，x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为11；
（4）由已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m﹣18可以写成：（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18的形式，所以若M恰能表示成A2+B2的形式时m﹣18＝0所以此时m＝18．
6．【答案】（1）解：正确，理由如下：
由翻折的性质可得，
∵，
∴，
∴
（2）解：①解：由折叠的性质可得，，
由题意知，
，
∵，
∴，
即，
得，解得，
∴的度数为；
②解：猜想；证明如下：
由题意知，分两种情况讨论，①在左侧时，，证明过程同（1）；
②当在右侧，如下图，
由折叠的性质可得，，
由题意知，
，
∵，
∴，即，
得，解得；
综上所述，和之间的数量关系为.
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）由翻折的性质可得∠MAC=∠1，结合已知可得∠MAC=∠2，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
（2）①由折叠的性质可得∠DAE=∠BAE=∠DAB，∠ACB=∠CAB，由直角三角形两锐角互余和角的构成可得∠CAB-∠BAE+α=90°①，由角的构成可得2（∠CAB-∠BAE）+β=180°②，联立解①②可得α的度数；
②猜想：α=β；理由如下：
由题意知，分两种情况讨论，①在左侧时，α=β，证明过程同上；
②当D在B右侧，由折叠的性质可得，∠DAE=∠BAE=∠DAB，∠ACB=∠CAB，由直角三角形两锐角互余和角的构成可得∠CAB+∠BAE+α=90°①，由角的构成可得2（∠CAB+∠BAE）+β=180°②，联立解方程①②可求解.
7．【答案】（1）解：证明：过点G作直线，
又，
，（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴， （两直线平行，内错角相等）
，
，
．
故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；；
（2）解：，理由如下，
过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理进行填空即可；
（2）过点G作直线，根据平行线的性质可得，，然后由得出结论；
（3）过点G作直线，过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后分别表示出∠DGA和∠DHA，结合角平分线的定义求出∠GAB和∠GDC，再根据进行计算即可．
8．【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
9．【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
10．【答案】（1）①70
② ∠AED＝∠A+∠D，
理由：过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D
（2）∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）①延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠D=30°，
∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-40°=110°，
∴∠AED=180°-∠AEF=180°-110°=70°
故答案为：70.
（2）当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，
结论：∠PEB＝∠PFD+∠EPF；
理由：∵AB∥CD，
∴∠PGE=∠PFD，
∵∠PEB=180°-∠PEG，∠PGE+∠EPF=∠PFD+∠EPF=180°-∠PEG，
∴∠PEB=∠PFD+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，
结论：∠PFD＝∠PEB+∠EPF；
∵∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD，
∵∠PGB=∠PFD=180°-∠PGE，∠PEB+∠EPF=180°-∠PGE，
∴∠PFD=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，
∴∠BPG+∠BEP+∠GPF+∠PFD=360°即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF＝∠PEB+∠PFD
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，
∵∠EPF=∠EPG+∠GPF，
∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD；
∴∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【分析】（1）①延长DE交AB于F，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠AFE的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠AEF的度数，然后求出∠AED的度数；②过E作EF∥AB，如图2，利用平行线公理的推论，可证得AB∥EF∥CD，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，然后根据∠AED＝∠AEF+∠DEF，代入可证得结论.
（3）分情况讨论：当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGE=∠PFD，再根据三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGB=∠PFD，再利用三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥PG，利用两直线平行，同旁内角互补，可证∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，据此可证得结论；当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，然后根据∠EPF=∠EPG+∠GPF，可得结论；综上所述可得到∠PEB，∠PFC，∠EPF的所有关系.
11．【答案】（1）252
（2）解：∠CPD=α+β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠PDA+∠PCB，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴∠CPD=α+β.
（3）解：当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.
当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α.
（4）+∠Bn-1
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠PAE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠PAE+∠PCD+∠CPE=360°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252.
（3）当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
而∠DPE=∠CPE+∠CPD=∠BCP+∠CPD=∠PDA，∠ADP=α，∠BCP=β，
∴α=β+∠CPD，
即∠CPD=α-β.当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，理由如下：
过点P作PE∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∵∠PCB=∠CPE=∠DPE+∠CPD=∠PDA+∠CPD，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴β=α+∠CPD，即∠CPD=β-α.
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（2）∠CPD=α+β.理由如下：过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（3）①当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β，过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
②当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，过点P作PE∥AD，同理可求解；
（4）结合(1)、（2）、（3）的结论可求解.
12．【答案】（1）赞同.
理由如下：
∵
∴
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴
∴
（2）解：①∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
②∵
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∠1与∠2的数量关系为：.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）理由：∵
∴
∵CP平分∠ACD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【分析】（1）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到进而即可求解；
（2）①根据题意易求出∠ACD的度数，然后根据平行线的性质得到即可求出∠BAC的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠1的度数；
②根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到即再根据垂直的定义得到进而即可求解；
（3）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到再根据垂直的定义得到即可求解.
13．【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
14．【答案】（1）证明：延长BA至D，过点A作AEII BC，
∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，
∵∠BAC+∠CAE+∠DAE= 180°，
∴∠BAC+∠C+∠B= 180°，
即三角形的内角和为180°.
（2）解：（1）如图：
∵AEIIBC，
∴∠MAC=∠ACB，
∵CP是∠ACB的角平分线，
∴，
∴∠MAC=2∠2，
又∵2∠2+∠ACM+∠1=∠MAC+∠ACM+∠1=180°，∠ACM=∠l，
∴2∠2+2∠ACM= 180°，
∴∠2+∠ACM= 90°，
∴∠PCD=180°- (∠2+∠ACM) =180°- 90°=90°；
②∵AP是∠BAC的角平分线，
∴，
∴在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3=180°，
∵∠4=∠2+∠3，∠PCD=90°，
∴∠4=90°-∠D，即∠2+∠3=90°-∠D，
∴∠B+2∠2+2∠3=∠B+2 ( 90°-∠D) = 180°，
∴∠B+180°-2∠D= 180°，
∴∠B=2∠D，
∵∠B=α，
∴.
（3）解：如图所示：
当△ABC旋转一周运动停止，运动的总时间：t==30 (秒).
MN与EF重合时，时间为t==15秒，后MN再以原速返回.故当运动停止时，MN正好回到原位置.
∵EF//BC，，
∴∠EAB=∠B=90°-∠C=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=150°.
在t≤15时，
①∵∠EAB<∠EPN，且AB运动速度快于MN：故AB运动过EF后与MN平行，
即180°-（12t－60°）=75°－5t.
解得：（不符合题意，舍去）
②∵∠EAC>∠EPN，且AC运动速度快于MN，故AC可以与MN平行；
即60°+90°－12t=75°－5t.
解得：
③当t=15秒时，△ABC旋转角为15×12°=180°，此时仍有EFIIBC，而∠EPN由75°逐渐减少至0°，即与MN重合，
∴BC//MN.
当15④当AB//MN，180°-（12t－60°）=5t-75°.
解得：.
⑤当AC//MN，180°-（12t－150°）=5t-75°.
解得：.
⑥当BC//MN，360°-12t=5t-75°.
解得：
综上， t的值为15秒或或或.
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明结论；
（2）①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得∠MAC=2∠2，再推出∠2+∠ACM=90°，再利用平角的性质即可得出结论；
②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3=180°，由三角形的外角性质推出∠4=∠2+∠3，结合①的结论得到∠2+∠3=90°-∠D，据此计算即可求解.
（3）当△ABC旋转一周时， 运动全部停止，求得总时间为30秒，MN与EF重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内两种情况讨论MN与△ABC的某一边平行求解即可.
15．【答案】（1）解：∠EFD=∠CDG+∠CEG，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BGD＝∠CDG，
∵∠EFD是△GEF的外角，
∴∠EFD＝∠BGD+∠CEG，
∴∠EFD＝∠CDG+∠CEG
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠HCD＝∠GEF，
∵∠MEF=∠GEF=∠GDH，
∴∠GEF＝∠GDH，
∵DF平分∠CDH，
∴∠HDC＝2∠GDH=2∠GEF，
∵DH⊥CE，
∴∠HCD+∠HDC=90°，
∴3∠GEF＝90°，
∵∠GEF＝30°，
∴∠MEF=∠GEF＝10°，
∴∠GEM＝∠GEF+∠MEF＝40°，
∴DF平分∠CDH，
∴∠GDC＝∠GDH＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝∠GDC=30°，
∵∠DME是△GEM的外角，
∴∠DME＝∠EGD+∠GEM=70°
（3）6s，12s，20s
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得，，
设旋转后的三角形为，的对应点为
①当时，延长交于点，
如图所示，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，如图所示，
∴
∴
∴
∴
③当时，如图所示，
∴
∴
∴
∴
综上所述，，，
【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可得到答案；
（3）由（2）可得，，
设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，①当时，延长交于点； ②当时，③当时，根据平行线的性质分别求解即可．
1 / 1综合性探究型—浙江省七（下）数学期中复习
一、解答题
1．（2024七下·江山期中）在数学活动课上，老师组织七（8）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图，已知射线，连接，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．
【小试牛刀】
（1）①若时，求的度数；
②若，则的度数为____________．(用含 x的代数式表示）
【变式探索】
（2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【能力提升】
（3）当点P运动到使时，_________（直接写出结果）．
【答案】（1）①；②；（2）不变，；（3）
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
2．（2024七下·东阳期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．
【实践操作】如图，有足够多的边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，
（1）用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得 ．
（2）根据图2：若，，求的值
【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．
（3）如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 ．
【拓展延伸】
（4）尝试因式分解：
(5)应用：已知，，求出的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；；；（4）；(5)
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值
3．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x+y的值.小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题.请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组，则3x+y–z= ▲ .
【探究升级】已知方程组.求–2x+y+4z的值.小明凑出“–2x+y+4z=2 （x+2y+3z）+（–1） （4x+3y+2z）=20–15=5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设–2x+y+4z=m （x+2y+3z）+n （4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：2x+5y+8z= ▲ （x+2y+3z）+ ▲ （4x+3y+2z）.
【巩固运用】已知2a–b+kc=4，且a+3b+2c=–2，当k为 ▲ 时，8a+3b–2c为定值，此定值是 ▲ .（直接写出结果）
【答案】解：【方法体验】方法体验：
①+②得4037x+y=520；
【方法迁移】5；
【探究升级】；–；
【巩固运用】–.–2，8.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方法迁移：将中的两个方程相减得到：–3x–y+z=–5，则3x+y–z=5.
故答案是：5；
探究升级：设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）
由题意得：，解得：，
∴2x+5y+8z=（x+2y+3z）–（4x+3y+2z）
故答案为，–.
巩固运用：设8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）
∴，解得，
∴8a+3b–2c=m（2a–b+kc）+n（a+3b+2c）=3×4+2×（–2）=8.
故答案为–2，8.
【分析】方法体验：将方程组中的两个方程相加即可；
方法迁移：将方程组中的两个方程相减可得–3x–y+z=–5，变形可得3x+y-z的值；
探究升级：设2x+5y+8z=m(x+2y+3z)+n(4x+3y+2z)，则m+4n=2、2m+3n=5、3m+2n=8，联立求出m、n的值，据此解答；
巩固运用：设8a+3b–2c=m(2a–b+kc)+n(a+3b+2c)，则2m+n=8、3n-m=3、2n+mk=-2，联立求出m、n、k的值，据此解答.
4．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.
深入探究：
（1）老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与的角平分线重合时，，当AC在内部的其他位置时，结论是否依然成立 请说明理由．
（2）勤学小组提出：若AC旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展提升：
智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设三角板旋转α度，即∠ACE＝α，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE－∠ACE＝30°－α，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB－∠DCA＝(45°－α)－(30°－α)＝15°.
（2）解：解：当BC在CE下方时，
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB＋∠DCA＝(45°－α)＋(α－30°)＝15°.
当BC在CE上方时，
或
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACE－∠ACB＝α－45°．
∴∠DCA－∠ECB＝(α－30°)－(α－45°)＝15°.
综上：∠ECB＋∠DCA＝15°或∠DCA－∠ECB＝15°.
（3）解：t＝24s或t＝60s
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如下图有以下两种情况
①线段AC在直线MN上方时，
AC||DE，∠DEC=60°，得∠ACE=120°，
旋转时间为t=120÷5=24s
②当线段AC在直线MN下方时，
AC||DE，∠ACE=∠CED=60°，旋转的角度为360°-60°=300°，
旋转的时间为300÷5=60s
综上所述：t为24s或60秒时，DE||AC
【分析】在变化过程中，不变的是角度的表达式，利用此点，第(1)问中直接利用角度的代数表达式进行推导；而(2)中需对旋转的情况进行分类讨论，本质仍然是利用角度的代数式进行推导；第（3）问，也是对平行时的情况进行分类讨论，需结合作图进行解答.
5．（2023七下·海曙期中）【学习材料】拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如：
例1：分解因式：x4+4y4
解：原式＝x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）
例2：分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3、把多项式a2+b2+4a﹣6b+13写成A2+B2的形式．
解：原式＝a2+4a+4+b2﹣6b+9＝（a+2）2+（b﹣3）2
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+2x﹣8＝　 　；
（2）分解因式：x4+4＝　 　；
（3）关于x的二次三项式x2﹣20x+111在x＝　 　时，有最小值；
（4）已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m（x，y均为整数，m是常数），若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值．
【答案】（1）（x+4）（x﹣2）
（2）（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
（3）10
（4）解：M＝（x2+6x+9）+（4y2﹣12y+9）+m﹣18
＝（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18，
∵若M恰能表示成A2+B2的形式，
∴m﹣18＝0，
∴m＝18，
答：m的值为18．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）x2+2x-8=（x+4）（x-2）；
故答案为：（x+4）（x-2）；
（2）x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2=（x2+2）2-22x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）；
故答案为：（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；
（3）∵x2﹣20x+111 =x2﹣20x+100+11=（x-10）2+11，（x-10）2≥0，
∴当x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为11；
故答案为：10；
【分析】（1）根据十字交叉相乘法，x2=x.x，-8=4×（-2），再结合4x+（-2x）=2x，可以得到：x2+2x-8=（x+4）（x-2）；
（2）先把x4写成（x2）2的形式，把4写成22的形式，再把x4+4 =（x2）2+4x2+22-4x2，再根据完全平方公式把（x2）2+4x2+22写成（x2+2）2的形式；再用平方差公式把（x2+2）2-（2x）2写成（x2+2+2x）（x2+2-2x）的形式即可；
（3）先把x2﹣20x+111 写成（x-10）2+11的形式，再根据（x-10）2的非负性可知，x=10时，（x-10）2+11有最小值，最小值为11；
（4）由已知M＝x2+6x+4y2﹣12y+m﹣18可以写成：（x+3）2+（2y﹣3）2+m﹣18的形式，所以若M恰能表示成A2+B2的形式时m﹣18＝0所以此时m＝18．
6．（2023七下·海曙期中）数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出的度数；
（1）若，则.你认为阿青同学的做法正确吗？ 说明理由；
（2）在（1）的条件下，阿青同学在纸条下上取点（如图2），连结并沿着折叠纸片使得与重合，过作于点，设，.
①当点在点之间时，若，求的度数；
②当点在上的运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.（选其中一种情况证明）
【答案】（1）解：正确，理由如下：
由翻折的性质可得，
∵，
∴，
∴
（2）解：①解：由折叠的性质可得，，
由题意知，
，
∵，
∴，
即，
得，解得，
∴的度数为；
②解：猜想；证明如下：
由题意知，分两种情况讨论，①在左侧时，，证明过程同（1）；
②当在右侧，如下图，
由折叠的性质可得，，
由题意知，
，
∵，
∴，即，
得，解得；
综上所述，和之间的数量关系为.
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）由翻折的性质可得∠MAC=∠1，结合已知可得∠MAC=∠2，根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解；
（2）①由折叠的性质可得∠DAE=∠BAE=∠DAB，∠ACB=∠CAB，由直角三角形两锐角互余和角的构成可得∠CAB-∠BAE+α=90°①，由角的构成可得2（∠CAB-∠BAE）+β=180°②，联立解①②可得α的度数；
②猜想：α=β；理由如下：
由题意知，分两种情况讨论，①在左侧时，α=β，证明过程同上；
②当D在B右侧，由折叠的性质可得，∠DAE=∠BAE=∠DAB，∠ACB=∠CAB，由直角三角形两锐角互余和角的构成可得∠CAB+∠BAE+α=90°①，由角的构成可得2（∠CAB+∠BAE）+β=180°②，联立解方程①②可求解.
7．（2024七下·吴兴期中） 已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分）
证明：过点G作直线，
又，
，（　　）
∴ ▲ ， （　　）
，
▲
．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由．
（3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数．
【答案】（1）解：证明：过点G作直线，
又，
，（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴， （两直线平行，内错角相等）
，
，
．
故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；；
（2）解：，理由如下，
过点G作直线，如图所示：
则，
，
，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点G作直线，过点作直线，
则，，
，
，，
∴，，
∴，
，
，，
，
∵平分∠GAB，
，
∴，，
，
，
∵，
．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理进行填空即可；
（2）过点G作直线，根据平行线的性质可得，，然后由得出结论；
（3）过点G作直线，过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后分别表示出∠DGA和∠DHA，结合角平分线的定义求出∠GAB和∠GDC，再根据进行计算即可．
8．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是　 　；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是：　 　；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明：　 　；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图：　 　；
你的关系式：　 　．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答：　 　．
【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
9．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为　 　，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得　 　．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
10．（2024七下·杭州期中） 如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明理由．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与AB，CD交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．
【答案】（1）①70
② ∠AED＝∠A+∠D，
理由：过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，
∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠A+∠D
（2）∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）①延长DE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠D=30°，
∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=180°-30°-40°=110°，
∴∠AED=180°-∠AEF=180°-110°=70°
故答案为：70.
（2）当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，
结论：∠PEB＝∠PFD+∠EPF；
理由：∵AB∥CD，
∴∠PGE=∠PFD，
∵∠PEB=180°-∠PEG，∠PGE+∠EPF=∠PFD+∠EPF=180°-∠PEG，
∴∠PEB=∠PFD+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，
结论：∠PFD＝∠PEB+∠EPF；
∵∵AB∥CD，
∴∠PGB=∠PFD，
∵∠PGB=∠PFD=180°-∠PGE，∠PEB+∠EPF=180°-∠PGE，
∴∠PFD=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，
∴∠BPG+∠BEP+∠GPF+∠PFD=360°即∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°；
当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，
结论：∠EPF＝∠PEB+∠PFD
理由：∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，
∵∠EPF=∠EPG+∠GPF，
∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD；
∴∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系为：∠PEB＝∠PFD+∠EPF或∠PFD＝∠PEB+∠EPF或∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°或∠EPF＝∠PEB+∠PFD.
【分析】（1）①延长DE交AB于F，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠AFE的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠AEF的度数，然后求出∠AED的度数；②过E作EF∥AB，如图2，利用平行线公理的推论，可证得AB∥EF∥CD，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A＝∠AEF，∠D＝∠DEF，然后根据∠AED＝∠AEF+∠DEF，代入可证得结论.
（3）分情况讨论：当P在a区域时，如图3，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGE=∠PFD，再根据三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在b区域时，如图4，设AB于PF交于点G，利用平行线的性质可证得∠PGB=∠PFD，再利用三角形的内角和定理和邻补角的定义可证得结论；当P点在区域c时，如图5，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得AB∥CD∥PG，利用两直线平行，同旁内角互补，可证∠BPG+∠BEP=180°，∠GPF+∠PFD=180°，据此可证得结论；当P点在区域d时，如图6，过点P作PG∥AB，利用平行线公理的推论可证得∠PEB=∠EPG，∠PFD=∠GPF，然后根据∠EPF=∠EPG+∠GPF，可得结论；综上所述可得到∠PEB，∠PFC，∠EPF的所有关系.
11．
（1）问题情境：
如图1，已知 AB∥CD，∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考，小敏提出思路：如图2，过点 P 作PE∥AB，根据平行线的有关性质，可得∠PAB+∠PCD=　 　°.
（2）问题迁移：
如图3，AD∥BC，点 P 在射线OM 上运动，∠ADP=α，∠BCP=β.
当点 P 在A，B两点之间运动时，∠CPD，α，β之间有何数量关系 请说明理由.
（3）当点 P 在A，B 两点外侧运动时（点 P 与点A，B，O不重合），请直接写出∠CPD，α，β之间的数量关系.
（4）问题拓展：
如图4， -An是一条折线段.
依据此图信息，把你所发现的结论用数学式子表达出来：　 　
【答案】（1）252
（2）解：∠CPD=α+β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠PDA+∠PCB，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴∠CPD=α+β.
（3）解：当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.
当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α.
（4）+∠Bn-1
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠PAB+∠PAE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∴∠PAB+∠PAE+∠PCD+∠CPE=360°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252.
（3）当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β.理由如下：
过点P作PE∥BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
而∠DPE=∠CPE+∠CPD=∠BCP+∠CPD=∠PDA，∠ADP=α，∠BCP=β，
∴α=β+∠CPD，
即∠CPD=α-β.当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，理由如下：
过点P作PE∥AD，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥PE，
∴∠DPE=∠PDA，∠PCB=∠CPE，
∵∠PCB=∠CPE=∠DPE+∠CPD=∠PDA+∠CPD，
∵ ∠ADP=α，∠BCP=β，
∴β=α+∠CPD，即∠CPD=β-α.
【分析】（1）过点P作PE∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（2）∠CPD=α+β.理由如下：过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
（3）①当点 P 在 BO 之间时，∠CPD=α-β，过点P作PE∥BC，由平行线的传递性可得AD∥BC∥PE，然后由平行线的性质可角的构成即可求解；
②当点 P 在 BA 的延长线上时，∠CPD=β-α，过点P作PE∥AD，同理可求解；
（4）结合(1)、（2）、（3）的结论可求解.
12．小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.
（1）【基础巩固】
与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗 请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.
①若∠2=22°，求∠1的度数.
②试说明：2∠1-∠2=90°.
（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.
【答案】（1）赞同.
理由如下：
∵
∴
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴
∴
（2）解：①∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
②∵
∴
∵AP平分∠BAC，
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∠1与∠2的数量关系为：.
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）理由：∵
∴
∵CP平分∠ACD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【分析】（1）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到进而即可求解；
（2）①根据题意易求出∠ACD的度数，然后根据平行线的性质得到即可求出∠BAC的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠1的度数；
②根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到即再根据垂直的定义得到进而即可求解；
（3）根据平行线的性质得到然后根据角平分线的定义得到再根据垂直的定义得到即可求解.
13．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则　 　；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
14．数学兴趣小组围绕 “三角形的内角和是 ”， 进行了一系列探究， 过程如下：
（1）【论证】如图 1 所示， 延长 至点 ， 过点 作 ， 就可以说明 成立， 即：三角形的内角和为 ， 请完成上述说理过程．
（2）【应用】如图 2 所示， 在三角形 中， 的平分线与 的平分线交于点， 过点 作 ， 点 在射线 上， 且 的延长线与 的延长线交于点 ．
①求 的度数；
②设 ， 请用含 的代数式表示 ．
（3）【拓展】如图 3 所示， 在三角形 中， ， 过点 作 ， 直线 与 相交于点 右侧的点 ． 三角形 绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转， 同时 绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转， 与 重合时 再绕着点 以原速度逆时针方向旋转， 当三角形 旋转一周时， 运动全部停止， 设运动时间为 ， 在旋转过程中， 是否存在某一时刻， 使得 与三角形 的一边平行？ 若存在， 求 的值； 若不存在， 请说明理由．
【答案】（1）证明：延长BA至D，过点A作AEII BC，
∴∠DAE=∠B，∠CAE=∠C，
∵∠BAC+∠CAE+∠DAE= 180°，
∴∠BAC+∠C+∠B= 180°，
即三角形的内角和为180°.
（2）解：（1）如图：
∵AEIIBC，
∴∠MAC=∠ACB，
∵CP是∠ACB的角平分线，
∴，
∴∠MAC=2∠2，
又∵2∠2+∠ACM+∠1=∠MAC+∠ACM+∠1=180°，∠ACM=∠l，
∴2∠2+2∠ACM= 180°，
∴∠2+∠ACM= 90°，
∴∠PCD=180°- (∠2+∠ACM) =180°- 90°=90°；
②∵AP是∠BAC的角平分线，
∴，
∴在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3=180°，
∵∠4=∠2+∠3，∠PCD=90°，
∴∠4=90°-∠D，即∠2+∠3=90°-∠D，
∴∠B+2∠2+2∠3=∠B+2 ( 90°-∠D) = 180°，
∴∠B+180°-2∠D= 180°，
∴∠B=2∠D，
∵∠B=α，
∴.
（3）解：如图所示：
当△ABC旋转一周运动停止，运动的总时间：t==30 (秒).
MN与EF重合时，时间为t==15秒，后MN再以原速返回.故当运动停止时，MN正好回到原位置.
∵EF//BC，，
∴∠EAB=∠B=90°-∠C=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=150°.
在t≤15时，
①∵∠EAB<∠EPN，且AB运动速度快于MN：故AB运动过EF后与MN平行，
即180°-（12t－60°）=75°－5t.
解得：（不符合题意，舍去）
②∵∠EAC>∠EPN，且AC运动速度快于MN，故AC可以与MN平行；
即60°+90°－12t=75°－5t.
解得：
③当t=15秒时，△ABC旋转角为15×12°=180°，此时仍有EFIIBC，而∠EPN由75°逐渐减少至0°，即与MN重合，
∴BC//MN.
当15④当AB//MN，180°-（12t－60°）=5t-75°.
解得：.
⑤当AC//MN，180°-（12t－150°）=5t-75°.
解得：.
⑥当BC//MN，360°-12t=5t-75°.
解得：
综上， t的值为15秒或或或.
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明结论；
（2）①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得∠MAC=2∠2，再推出∠2+∠ACM=90°，再利用平角的性质即可得出结论；
②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3=180°，由三角形的外角性质推出∠4=∠2+∠3，结合①的结论得到∠2+∠3=90°-∠D，据此计算即可求解.
（3）当△ABC旋转一周时， 运动全部停止，求得总时间为30秒，MN与EF重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内两种情况讨论MN与△ABC的某一边平行求解即可.
15．（2024七下·吴兴期末）【问题情境】在综合实践课上， 老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动， 如图 1， 是直线 上的两点， 连接 交于点 .
（1） 【探索发现】判断 和 之间的数量关系， 并说明理由.
（2） 【深入探究】如图 2， 过点 作 ， 交 的延长线于点 ， 交 于点 ， 过点 作 分别交 于点 .
若 平分 ， 求 的度数.
（3） 如图 3， 在 (2) 的条件下， 将 绕着点 以每秒 的速度逆时针旋转， 旋转时间为 ， 当 边与射线 重合时停止， 则在旋转过程中， 当边 与 的某一边平行时， 直接写出此时 的值.
【答案】（1）解：∠EFD=∠CDG+∠CEG，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BGD＝∠CDG，
∵∠EFD是△GEF的外角，
∴∠EFD＝∠BGD+∠CEG，
∴∠EFD＝∠CDG+∠CEG
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠HCD＝∠GEF，
∵∠MEF=∠GEF=∠GDH，
∴∠GEF＝∠GDH，
∵DF平分∠CDH，
∴∠HDC＝2∠GDH=2∠GEF，
∵DH⊥CE，
∴∠HCD+∠HDC=90°，
∴3∠GEF＝90°，
∵∠GEF＝30°，
∴∠MEF=∠GEF＝10°，
∴∠GEM＝∠GEF+∠MEF＝40°，
∴DF平分∠CDH，
∴∠GDC＝∠GDH＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD＝∠GDC=30°，
∵∠DME是△GEM的外角，
∴∠DME＝∠EGD+∠GEM=70°
（3）6s，12s，20s
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得，，
设旋转后的三角形为，的对应点为
①当时，延长交于点，
如图所示，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，如图所示，
∴
∴
∴
∴
③当时，如图所示，
∴
∴
∴
∴
综上所述，，，
【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可得到答案；
（3）由（2）可得，，
设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，①当时，延长交于点； ②当时，③当时，根据平行线的性质分别求解即可．
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