项目式实践—浙江省七（下）数学期中复习
一、解答题
1．（2024七下·义乌月考）欲在教室里添置一些消毒洗手物资，张老师想请班里的同学去商店里看看，利用所学的数学知识，通过计算合理的为班里采购一些消毒洗手物资.
素材一 某商店有规格分别为300m1和500ml的甲、乙两种瓶装免洗手消毒液和洗手液套装礼盒（一瓶甲一瓶乙）出售，另外也有袋装洗手液（100ml/袋）出售．具体价格如下： 瓶装洗手价格 甲300ml乙500ml套装礼盒21元/瓶27.5元/瓶50元/套
袋装洗手液价格 单次购买数量（袋）不超过20袋20袋以上但不超过40袋40袋以上价格（元/袋）7元5元4元 任务一：请你帮张老师计算一下若购买瓶装洗手液，购买那种更合算 ▲
素材二 教室里还需要添置消毒洗手液50袋，现可支出班费264元．为节约成本，张老师决定购买袋装免洗手消毒液进行分装，由于商店备货不足，张老师第一次只买回了少部分袋装洗手液临时使用. 任务二：若剩余班费全部用于购买消毒洗手液．请您帮忙计算第二次还可买多少袋？ （第二次购买量大于第一次购买量.）
素材三 新购买的消毒洗手液与原班里库存的共9600ml．现需将这些免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml 任务三：请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量.
【答案】解：素材一：乙；
素材二：设第一次购买洗衣液x袋，第二次购买洗衣液y袋，
当0＜x＜10时，则，解得(不合题意，舍）
当10＜x＜20时，则，解得，
当20＜x＜25时，则，方程组无解，
∴第二次还可购买洗衣液36袋.
素材三：设分装时需300ml和500ml的两种空瓶中分别装a瓶和b瓶，
依题意得：300a+500b+20（a+b）=9600，
∴a=30-b，
∵a、b为正整数，
∴a=17，b=8或a=4，b=16，
∵ 要使分装能使总损耗最小 ，
∴a=4，b=16，
∴分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，能使总损耗最小 .
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：素材一∵甲：21÷300=0.07元/ml，乙：27.5÷500=0.055元/ml，
∴0.07＞0.055，
∴乙便宜.
故答案为：乙.
【分析】（1）分别计算甲和乙每毫升的费用，再比较大小即可；
（2）设第一次购买洗衣液x袋，第二次购买洗衣液y袋，根据洗衣液不同数量的不同价格分三种情况，分别列出方程组，解之并检验即可；
（3）设分装时需300ml和500ml的两种空瓶中分别装a瓶和b瓶，根据题意可得300a+500b+20（a+b）=9600，求出整数解，再结合20（a+b）得消耗最小即可求解.
2．（2024七下·临平月考）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子!
有一个长为90cm.宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）.
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是220cm.
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3或4），该盒子底面的宽和长分别是xcm和ycm（x和y都是整数，y>x）.
问题解决
任务1 确定无盖盒子的高 根据素材2，求出该长方体盒子的高.
任务2 研究底面长、宽的关系 根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出用含x的代数式.
任务3 确定有盖盒子的大小 若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm.请写出符合条件的一对x，y的值.
【答案】解：任务1
设长方体盒子的高为a，
则底面长为90－2a，则底面宽为60－2a，
2(90－2a＋60－2a)＝220，
∴a＝10．
故长方体盒子的高为10cm．
任务2图3或图4选择一种即可．
图3：y＋2(30－x)＝90，
∴y＝2x＋30．
图4：y＋2(45－x)＝60，
∴y＝2x－30．
任务3
答案不唯一：选图3方案：x＝24，y＝78或x＝25，y＝80．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）先设长方体盒子的高为a，再根据和差运算以及周长公式列式计算，据此解答即可.
（2）图3或图4选择一种即可．根据长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，分别列式，据此解答即可．
（3）根据题意选择满足以及周长大于200cm，高大于4cm的一组正整数，据此解答即可．
3．（2024七下·余杭月考）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子！
素材1 有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）.
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是220cm. 图1 图2
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3或4），该盒子底面的宽和长分别是cm和cm（和都是整数，）. 图3 图4
问题解决
任务1 确定无盖盒子的高 根据素材2，求出该长方体盒子的高.
任务2 研究底面长、宽的关系 根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出用含的代数式.
任务3 确定有盖盒子的大小 若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，请写出符合条件的一对，的值.
【答案】解：任务1
设长方体盒子的高为a，
则底面长为90－2a，则底面宽为60－2a，
2(90－2a＋60－2a)＝220，
∴a＝10．
故长方体盒子的高为10cm．
任务2图3或图4选择一种即可．
图3：y＋2(30－x)＝90，
∴y＝2x＋30．
图4：y＋2(45－x)＝60，
∴y＝2x－30．
任务3
任务3：答案不唯一：选图3方案：
∵若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，且
∴当x=24，y=78；当x＝25，y＝80．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设长方体盒子的高为a，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答；
（2）图3或图4选择一种即可，根据长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，分别列式，再进行化简，即可作答．
（3）根据题意选择满足以及周长大于200cm，高大于4cm的一组正整数x、y，即可作答．
4．（2024七下·开化期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，
∴
解得：
∴A款奶茶销售单价是14元，B款奶茶销售单价是16元.
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
∴
∴
∵a，b均为正整数，
∴，
∴共有两种方案.
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，
∵A款加料的奶茶的价格和B款不加料的奶茶的价格一样，都是16元每杯，
∴
∴
又∵m，n和均为正整数，
∴m>0，n>0，3m-m-n>0，
∴
∴
∴
∴班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，根据"买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元"，据此即可列出二元一次方程组解此方程组即可即可求解；
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，则得到结合a，b均为正整数，即可求解；
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，进而得到二元一次方程结合m，n和均为正整数，即可求解.
5．（2024七下·温州期中）根据以下素材，完成任务．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号挖掘土石方量单位：台时租金单位：元台时甲型乙型
素材 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元．
问题解决
任务 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务 确定保养费用 基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示．
【答案】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
解得：．
答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或或，
共有种租用方案，
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
任务当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元．
，
租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少．
所需弹簧数量为根，
所需钢球数量为颗．
设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，
根据题意得：，
，
，
元．
实际保养费用为元．
故答案为：．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程组解题即可；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程，求出正整数解即可解题；
任务求出2中租金最少得方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意得到，的二元一次方程组此处将看成常数，即可得到，将其代入解题即可．
6．（2024七下·新昌期末）综合与实践：
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码．
任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长．
素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡．
任务2：求这个矿泉水瓶的质量．
素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡．
任务3：请描述右侧支撑点的移动过程．
温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量）
【答案】解：任务1：
左盘砝码质量右盘物体质量，
解得．
所以的长为．
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组：
，
解得．
答：这个矿泉水瓶的质量是10克．
任务3：
左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量，
．
解得：．
，所以支撑点向左平移．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据公式列式，求出OP长即可；
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2列方程组，求出a，b的值解题即可；
任务3：利用公式和矿泉水瓶水的质量，列方程解答即可．
7．（2024七下·上城期末）综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
【答案】解：任务1：∵，，
∴，
∵，，
∴；
任务2：由题意，，，
如图，过F作，则，
∴，，
∴，
∴；
任务3：①如图，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②工作档时如图，已知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度．
【知识点】三角形内角和定理；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】任务1：根据两直线平行，内错角相等得到∠GFC的度数，然后利用三角形的内角和解答即可；
任务2：过F作，则，利用平行线的性质可得，，然后根据角的和差解题即可；
任务3：①利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的内角和解答；
②利用平行线的性质和三角形的内角和求出工作档时的，然后求差解题．
8．（2024七下·义乌月考）根据以下素材， 探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 ，座垫尺寸为 . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要， 某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现， 工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 ， 宽为 . (裁切时不计损耗)
（1）【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费， 请你设计出一张该板材的所有栽切方法
（2）【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成多少张学生椅
【答案】（1）解：设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，
根据题意得：15x+35y=240，
∴y=，
∵x、y为非负整数，
∴x=9，y=3或x=2，y=6或x=16，y=0（舍）
∴①裁切靠背9张， 座垫3张，②裁切靠背2张， 座垫6张.
（2）解：=240（张）
∴ 该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成240张学生椅.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，根据题意得：15x+35y=240，求出x、y的非负整数解即可；
（2）直接列式，再计算即可.
9．（2024七下·杭州期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券．
素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券。某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 ▲ 张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 ▲ 元．
任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？
任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【答案】解：任务一：
390-15×5-25×3=240，
240÷60=4（张），
消费金额最少为35×5+68×3+158×4=1011（元）；
故答案为：4；1011；
任务二：设C型消费券x张，则A型消费券(x+1)元，B型消费券（12-2x）张，
根据题意得，60x+15(x+1)+25(12-2x)=390，
解得，x=3，
∴ A型消费券4张，B型消费券6张，C型消费券3张；
任务三：设A型消费券a张，B型消费券b张，C型消费券c张，且a≤12，b≤8，c≤4，
第一种情况：仅用A型和B型消费券，则15a+25b=390，无解；
第二种情况：仅用A型和C型消费券，则15a+60c=390，解得a=10，c=4，
此时付款至少35×10+158×4-390=592；
第三种情况：仅用B型和C型消费券，则25b+60c=390，解得b=6，c=4；
此时付款至少68×6+158×4-390=650，
∵ 592＜650，
∴ 付款额最少的消费券的搭配方案为：10张A型消费券和4张C型消费券.
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：先计算出A型和B型消费券减去的金额，利用消费金额减了390元计算出用C型消费券减去的金额，即可求得；
任务二：设设C型消费券x张，则A型消费券(x+1)元，B型消费券（12-2x）张，根据消费金额减了390元列出方程，解方程即可；
任务三：分三种情况：①仅用A型和B型消费券，②仅用A型和C型消费券，③仅用B型和C型消费券，分别根据a，b，c的取值求解，最后比较付款金额，即可求得.
10．（2024七下·嘉兴期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）．
情境 内容 图形
情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4．
根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）：
（1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
（2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由．
（3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
【答案】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，
由题意得：，
解得：，
答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完；
（2）解：能，理由如下，
∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，
∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张；
设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，
由题意得：，
解得：，
∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为；
（3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，
由题意得：，
解得：，
∵纸板的使用率为，
∴、均为整数，
∵为中的数字，
∴或，
∴或，
∴丙纸板的张数为张或张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）设竖式无盖纸盒做x个，横式无盖纸盒做y个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，根据“制作x个竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+制作y个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=40及制作x个竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+制作y个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=20”列出方程组进行求解即可；
（2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，据此先求出三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为200及的纸板的数量100；设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据“制作a个竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+制作b个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=200及制作a个竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+制作b个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=100”列出方程组进行求解即可；
（3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可．
11．（2024七下·瑞安期中）综合与实践：设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．
（1）思考1（确定售价）：A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？
（2）思考2（方案探究）：购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？
【答案】（1）解：设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，
由题意，得 ，
解得．
答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元．
（2）解：设购买A品牌运动饮料m瓶，B品牌运动饮料n瓶，
由题意得，，
则．
方案一：当时，；
方案二：当时，；
方案三：当时，；
方案四：当时，．
答：一共有4种购买方案
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）抓住等量关系：A单价xA数量+B单价xB数量=总成本，列出方程组并求解；
（2）根据题意得出A饮料瓶数m与B饮料瓶数n的数量关系，然后根据现实生活中m、n均为正整数的隐藏条件，全面找出方案. 可以注意到，n为5的倍数（以此为突破口探究搭配方案）.
12．（2024七下·浙江期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，AB，BC分别为入射光线和反射光线，则∠ABE＝∠CBF．请继续以下探究：
（1）探究反射规律
①如图3，∠ABE＝α，∠BFC＝105°，则∠DCG＝ ▲（用含α的代数式表示）．
②若光线AB∥CD，判断EF与FG的位置关系，并说明理由．
（2）模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线CD应与水平视线DH成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线AB∥DH，当CD与DH所成夹角为15°时，求∠BFC的度数．
【答案】（1）解：①75°﹣α
②EF⊥FG，理由如下：
∵∠ABE+∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABE=∠CBF＝α，
∴∠ABC＝180°﹣2∠CBF，
同理，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
即180°﹣2∠CBF+180°﹣2∠BCF＝180°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°=90°，
∴EF⊥FG；
（2）解：延长BC交DH于点M，
∵∠MDC+∠M+∠MCD＝180°，
∴∠M+∠MCD＝180°﹣∠MDC＝165°，
∵MD∥AB，
∴∠M+∠MBA＝180°，
∵∠MCD+∠DCB＝180°，
∴∠DCB+∠CBA＝180°﹣∠MCD+180°﹣∠M＝360°﹣165°＝195°，
∴∠FCB+∠CBF＝（360°﹣∠DCB﹣∠CBA）＝82.5°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝97.5°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】（1）解：①∵ㄥABE＝∠CBF＝α，∠BFC＝105°，
∴∠DCG＝∠BCF＝180°﹣105°﹣α＝75°﹣α，
故答案为：75°﹣α；
【分析】（1）①由光线的反向性质和三角形内角和定理可求得角度；
②根据平角定义及光的反射性质可得∠ABC＝180°﹣2∠CBF，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，再由二直线平行，同旁内角互补得∠ABC+∠DCB＝180°，从而代入可推出∠CBF+∠BCF＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BFC=90°，从而得出结论；
（2）延长BC交DH于点M，由三角形的内角和定理得∠M+∠MCD＝165°，由二直线平行，同旁内角互补得∠M+∠MBA＝180°，结合邻补角推出∠DCB+∠CBA＝195°，再推出∠FCB+∠CBF=82.5°，最后根据三角形的内角和定理可算出∠BFC的度数.
13．（2024七下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）。而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二。
素材2 现有大长方形硬纸板n张.（说明：裁剪后的余料不可以再使用.）
问题解决
任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完。 型号 裁法（裁法一）（裁法二）合计大长方形硬纸板x（张）大长方形硬纸板y（张） ▲ A型号(张数）2x02xB型号（张数）0 ▲ ▲
若n=13， （1） 完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒
任务2 反思 方案 探究二： 若n=70，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由。
任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ▲ 。（填空）
【答案】任务一：（1）由题意得：B型号（张数） 为3y， 大长方形硬纸板总数为13，
故答案为：3y，3y，13；
（2）由（1）得，
解得：，
∴
答：最多能做6个礼品盒；
任务二：设能做a个礼品盒，
由题意得：，
解得，
∵a是正整数，
∴a最大为32，
即最多能做32个礼品盒；
（3）设恰好用完能做b个礼品盒，
由题意得：，
整理得：，
∵n在10张至30张之间 ，
∴，
解得：，
∵n，b为正整数，
∴或，
故答案为：11或24.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务一：（1）根据裁法二可知B型号（张数） 为3y， 而大长方形硬纸板总数为x+y；
（2）根据长方形硬纸板总数为13， 所裁剪的A、B型纸板恰好用完列方程组求出裁法一裁剪的张数，然后再计算所做礼品盒数量即可；
任务二：设能做a个礼品盒，根据纸板总数不大于70列不等式求出a的取值范围即可；
任务三：设恰好用完能做b个礼品盒，表示出所需纸板数，然后根据n在10张至30张之间 列不等式求出b的取值范围，再根据n，b为正整数进行求解即可.
14．（2024七下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．
素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．）
问题解决
任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法（裁法一）（裁法二 ）合计大长方形硬纸板x（张）大长方形硬纸板y（张） A型号(张数）2x02xB型号（张数）0
任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由．
任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空）
【答案】解：探究一：（1）由题意可知：裁法一，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A型号纸板，裁法二，一个大长方形硬纸板可裁剪得3个B型号纸板，
∴当n=13时，填表如下：
型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计
大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张）
A型号(张数） 0
B型号（张数） 0
（2）由题意可知： 每个礼品盒由3个A型号和2个B型号硬纸板组成，
∴2x×2=3y×3，
∴可列方程组为，
解得：，
∴个，
答：所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒；
探究二：根据题意，设n=70时，能做a个礼盒，
则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，
∴+≤70，
解得：，
∵a为正整数，
∴a取最大值为32，
所以， 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请最多能做32个礼品盒.
探究三：11或24
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：探究三：根据题意可知，设n张大长方形纸板恰好用完能做b个礼品盒，则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，
因此，可列方程为：，
∴，
∵，n、b为正整数，
∴b的取值为5或11，
∴n的取值为11或24
故答案为：11或24．
【分析】探究一：（1）根据已知条件可知：设裁法一的大长方形纸板x张，裁法二的大长方形纸板y张，再根据“一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板或者3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张”即可得出结论；（2）根据“一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板”，列出方程组求解即可得出结论；
探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，列不等式求解即可结论；
探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，列方程即可解答；
15．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪 根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
1 / 1项目式实践—浙江省七（下）数学期中复习
一、解答题
1．（2024七下·义乌月考）欲在教室里添置一些消毒洗手物资，张老师想请班里的同学去商店里看看，利用所学的数学知识，通过计算合理的为班里采购一些消毒洗手物资.
素材一 某商店有规格分别为300m1和500ml的甲、乙两种瓶装免洗手消毒液和洗手液套装礼盒（一瓶甲一瓶乙）出售，另外也有袋装洗手液（100ml/袋）出售．具体价格如下： 瓶装洗手价格 甲300ml乙500ml套装礼盒21元/瓶27.5元/瓶50元/套
袋装洗手液价格 单次购买数量（袋）不超过20袋20袋以上但不超过40袋40袋以上价格（元/袋）7元5元4元 任务一：请你帮张老师计算一下若购买瓶装洗手液，购买那种更合算 ▲
素材二 教室里还需要添置消毒洗手液50袋，现可支出班费264元．为节约成本，张老师决定购买袋装免洗手消毒液进行分装，由于商店备货不足，张老师第一次只买回了少部分袋装洗手液临时使用. 任务二：若剩余班费全部用于购买消毒洗手液．请您帮忙计算第二次还可买多少袋？ （第二次购买量大于第一次购买量.）
素材三 新购买的消毒洗手液与原班里库存的共9600ml．现需将这些免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml 任务三：请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量.
2．（2024七下·临平月考）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子!
有一个长为90cm.宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）.
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是220cm.
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3或4），该盒子底面的宽和长分别是xcm和ycm（x和y都是整数，y>x）.
问题解决
任务1 确定无盖盒子的高 根据素材2，求出该长方体盒子的高.
任务2 研究底面长、宽的关系 根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出用含x的代数式.
任务3 确定有盖盒子的大小 若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm.请写出符合条件的一对x，y的值.
3．（2024七下·余杭月考）综合与实践
根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子！
素材1 有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）.
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是220cm. 图1 图2
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3或4），该盒子底面的宽和长分别是cm和cm（和都是整数，）. 图3 图4
问题解决
任务1 确定无盖盒子的高 根据素材2，求出该长方体盒子的高.
任务2 研究底面长、宽的关系 根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出用含的代数式.
任务3 确定有盖盒子的大小 若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，请写出符合条件的一对，的值.
4．（2024七下·开化期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
5．（2024七下·温州期中）根据以下素材，完成任务．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号挖掘土石方量单位：台时租金单位：元台时甲型乙型
素材 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元．
问题解决
任务 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务 确定保养费用 基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示．
6．（2024七下·新昌期末）综合与实践：
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动，已知，，左侧托盘放置一个的砝码．
任务1：若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长．
素材2：若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点到点时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡．
任务2：求这个矿泉水瓶的质量．
素材3：继续在矿泉水瓶中加水，当加水量是第一次加水量的5倍时，移动右侧支撑点，使天平平衡．
任务3：请描述右侧支撑点的移动过程．
温馨提示：根据杠杆原理，天平平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量．（不计托盘和横梁的质量）
7．（2024七下·上城期末）综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
8．（2024七下·义乌月考）根据以下素材， 探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 ，座垫尺寸为 . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要， 某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现， 工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 ， 宽为 . (裁切时不计损耗)
（1）【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费， 请你设计出一张该板材的所有栽切方法
（2）【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成多少张学生椅
9．（2024七下·杭州期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）3张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额不可再叠加使用其他消费券，如：消费193元，如果使用1张C型消费券，已经享受满减的158元的这部分，不可再叠加使用其他消费券，剩余的35元可以使用1张A型消费券．
素材三 在此次活动中，小观一家4人每人都领到了所有的消费券。某日小观一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小观一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 ▲ 张C型的消费券，此时减券前的消费金额最少为 ▲ 元．
任务二 若小观一家用13张A，B，C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各多少张？
任务三 若小观一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得付款额最少，并求出此时消费券的搭配方案．
10．（2024七下·嘉兴期中）某学校劳技课需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）．
情境 内容 图形
情境1 学校仓库内现存有的正方形纸板20张，的长方形纸板40张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
情境2 库存纸板已用完，学校后勤部门重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有80张，乙纸板有40张，丙纸板有30张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4．
根据以上信息，解决以下问题（裁剪损耗忽略不计）：
（1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
（2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为（即三种纸板刚好全部用完，没有余料）？请通过计算说明理由．
（3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
11．（2024七下·瑞安期中）综合与实践：设计运动会物资的购买方案．
【背景素材】七年级1班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料需340元．
【问题解决】为设计方案，可以逐步进行探究．
（1）思考1（确定售价）：A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元？
（2）思考2（方案探究）：购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有几种购买方案？
12．（2024七下·浙江期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，AB，BC分别为入射光线和反射光线，则∠ABE＝∠CBF．请继续以下探究：
（1）探究反射规律
①如图3，∠ABE＝α，∠BFC＝105°，则∠DCG＝ ▲（用含α的代数式表示）．
②若光线AB∥CD，判断EF与FG的位置关系，并说明理由．
（2）模拟应用研究
在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线CD应与水平视线DH成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线AB∥DH，当CD与DH所成夹角为15°时，求∠BFC的度数．
13．（2024七下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务。
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）。而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二。
素材2 现有大长方形硬纸板n张.（说明：裁剪后的余料不可以再使用.）
问题解决
任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完。 型号 裁法（裁法一）（裁法二）合计大长方形硬纸板x（张）大长方形硬纸板y（张） ▲ A型号(张数）2x02xB型号（张数）0 ▲ ▲
若n=13， （1） 完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒
任务2 反思 方案 探究二： 若n=70，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由。
任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ▲ 。（填空）
14．（2024七下·瑞安期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．
素材2 现有大长方形硬纸板n张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．）
问题解决
任务1 初探 方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若x张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，y张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成右边填表； （2）最多能做多少个礼品盒？ 型号 裁法（裁法一）（裁法二 ）合计大长方形硬纸板x（张）大长方形硬纸板y（张） A型号(张数）2x02xB型号（张数）0
任务2 反思 方案 探究二： 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由．
任务3 优化 方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从n张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若n在10张至30张之间（包括边界），则n的值为 ．（填空）
15．（2024七下·义乌期末）
素材1 某校 "半亩方塘" 劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地. 已知围栏的横杠长为 20 dm ， 竖杠长为 8 dm ， 一副围栏由 2 个横杠， 5 个竖杠制作而成.
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立， 劳动实践小组打算自己购买材料， 制作搭建疏菜基地的围栏. 已知这种规格的围栏材料每根长为 60 dm ， 价格为 50 元/根.
（1）【任务一：一根 60 dm 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢 (余料作废)】
方法①： 当只裁剪 8 dm 长的用料时， 最多可裁剪 根.
方法②：当先裁前下 1 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
方法③：当先裁塑下 2 根 20 dm 长的用料时， 余下部分最多能裁剪 8 dm 长的用料 根.
（2）【任务二：要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 160 dm (即需要制作 8 副围栏， 需要的用料为： 16 个横杠， 40 个竖杠) .】劳动实践小组打算用 "任务 1"中的方法②和方法③完成裁剪任务. 请计算： 分别用 "任务 1"中的方法②和方法③各裁剪多少根 60 dm 长的围栏材料， 才能恰好得到所需要的相应数量的用料
（3）【任务三：劳动实践小组准备优化围栏： 将横杠材料由每根 20 dm 调整为每根 16 dm ， 再将其中两根竖杠材料由每根 8 dm 调整为每根 10 dm (其它三根竖杠长度不变）】若要搭建任务 2 中所需的围栏长度（ 160 dm ），每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) 或者若干根 8 dm 的用料 (可剩余) . 问： 购买 60 dm 的材料至少需要多少费用？落材料有剩余， 请求出剩余材料的长度. (剩余材料不可拼接）
答案解析部分
1．【答案】解：素材一：乙；
素材二：设第一次购买洗衣液x袋，第二次购买洗衣液y袋，
当0＜x＜10时，则，解得(不合题意，舍）
当10＜x＜20时，则，解得，
当20＜x＜25时，则，方程组无解，
∴第二次还可购买洗衣液36袋.
素材三：设分装时需300ml和500ml的两种空瓶中分别装a瓶和b瓶，
依题意得：300a+500b+20（a+b）=9600，
∴a=30-b，
∵a、b为正整数，
∴a=17，b=8或a=4，b=16，
∵ 要使分装能使总损耗最小 ，
∴a=4，b=16，
∴分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，能使总损耗最小 .
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：素材一∵甲：21÷300=0.07元/ml，乙：27.5÷500=0.055元/ml，
∴0.07＞0.055，
∴乙便宜.
故答案为：乙.
【分析】（1）分别计算甲和乙每毫升的费用，再比较大小即可；
（2）设第一次购买洗衣液x袋，第二次购买洗衣液y袋，根据洗衣液不同数量的不同价格分三种情况，分别列出方程组，解之并检验即可；
（3）设分装时需300ml和500ml的两种空瓶中分别装a瓶和b瓶，根据题意可得300a+500b+20（a+b）=9600，求出整数解，再结合20（a+b）得消耗最小即可求解.
2．【答案】解：任务1
设长方体盒子的高为a，
则底面长为90－2a，则底面宽为60－2a，
2(90－2a＋60－2a)＝220，
∴a＝10．
故长方体盒子的高为10cm．
任务2图3或图4选择一种即可．
图3：y＋2(30－x)＝90，
∴y＝2x＋30．
图4：y＋2(45－x)＝60，
∴y＝2x－30．
任务3
答案不唯一：选图3方案：x＝24，y＝78或x＝25，y＝80．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）先设长方体盒子的高为a，再根据和差运算以及周长公式列式计算，据此解答即可.
（2）图3或图4选择一种即可．根据长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，分别列式，据此解答即可．
（3）根据题意选择满足以及周长大于200cm，高大于4cm的一组正整数，据此解答即可．
3．【答案】解：任务1
设长方体盒子的高为a，
则底面长为90－2a，则底面宽为60－2a，
2(90－2a＋60－2a)＝220，
∴a＝10．
故长方体盒子的高为10cm．
任务2图3或图4选择一种即可．
图3：y＋2(30－x)＝90，
∴y＝2x＋30．
图4：y＋2(45－x)＝60，
∴y＝2x－30．
任务3
任务3：答案不唯一：选图3方案：
∵若设计有盖盒子的底面周长大于200cm，高大于4cm，且
∴当x=24，y=78；当x＝25，y＝80．
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设长方体盒子的高为a，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答；
（2）图3或图4选择一种即可，根据长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板，分别列式，再进行化简，即可作答．
（3）根据题意选择满足以及周长大于200cm，高大于4cm的一组正整数x、y，即可作答．
4．【答案】解：（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，
∴
解得：
∴A款奶茶销售单价是14元，B款奶茶销售单价是16元.
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
∴
∴
∵a，b均为正整数，
∴，
∴共有两种方案.
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，
∵A款加料的奶茶的价格和B款不加料的奶茶的价格一样，都是16元每杯，
∴
∴
又∵m，n和均为正整数，
∴m>0，n>0，3m-m-n>0，
∴
∴
∴
∴班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，根据"买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元"，据此即可列出二元一次方程组解此方程组即可即可求解；
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，则得到结合a，b均为正整数，即可求解；
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，进而得到二元一次方程结合m，n和均为正整数，即可求解.
5．【答案】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
解得：．
答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或或，
共有种租用方案，
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
任务当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元．
，
租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少．
所需弹簧数量为根，
所需钢球数量为颗．
设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，
根据题意得：，
，
，
元．
实际保养费用为元．
故答案为：．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程组解题即可；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程，求出正整数解即可解题；
任务求出2中租金最少得方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意得到，的二元一次方程组此处将看成常数，即可得到，将其代入解题即可．
6．【答案】解：任务1：
左盘砝码质量右盘物体质量，
解得．
所以的长为．
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克；根据素材2可列方程组：
，
解得．
答：这个矿泉水瓶的质量是10克．
任务3：
左盘砝码质量右盘物体质量；矿泉水瓶水的质量，
．
解得：．
，所以支撑点向左平移．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据公式列式，求出OP长即可；
任务2：设矿泉水瓶的质量为克，每次加入等量水的质量为克，根据素材2列方程组，求出a，b的值解题即可；
任务3：利用公式和矿泉水瓶水的质量，列方程解答即可．
7．【答案】解：任务1：∵，，
∴，
∵，，
∴；
任务2：由题意，，，
如图，过F作，则，
∴，，
∴，
∴；
任务3：①如图，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②工作档时如图，已知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度．
【知识点】三角形内角和定理；平行公理；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】任务1：根据两直线平行，内错角相等得到∠GFC的度数，然后利用三角形的内角和解答即可；
任务2：过F作，则，利用平行线的性质可得，，然后根据角的和差解题即可；
任务3：①利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的内角和解答；
②利用平行线的性质和三角形的内角和求出工作档时的，然后求差解题．
8．【答案】（1）解：设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，
根据题意得：15x+35y=240，
∴y=，
∵x、y为非负整数，
∴x=9，y=3或x=2，y=6或x=16，y=0（舍）
∴①裁切靠背9张， 座垫3张，②裁切靠背2张， 座垫6张.
（2）解：=240（张）
∴ 该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成240张学生椅.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，根据题意得：15x+35y=240，求出x、y的非负整数解即可；
（2）直接列式，再计算即可.
9．【答案】解：任务一：
390-15×5-25×3=240，
240÷60=4（张），
消费金额最少为35×5+68×3+158×4=1011（元）；
故答案为：4；1011；
任务二：设C型消费券x张，则A型消费券(x+1)元，B型消费券（12-2x）张，
根据题意得，60x+15(x+1)+25(12-2x)=390，
解得，x=3，
∴ A型消费券4张，B型消费券6张，C型消费券3张；
任务三：设A型消费券a张，B型消费券b张，C型消费券c张，且a≤12，b≤8，c≤4，
第一种情况：仅用A型和B型消费券，则15a+25b=390，无解；
第二种情况：仅用A型和C型消费券，则15a+60c=390，解得a=10，c=4，
此时付款至少35×10+158×4-390=592；
第三种情况：仅用B型和C型消费券，则25b+60c=390，解得b=6，c=4；
此时付款至少68×6+158×4-390=650，
∵ 592＜650，
∴ 付款额最少的消费券的搭配方案为：10张A型消费券和4张C型消费券.
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：先计算出A型和B型消费券减去的金额，利用消费金额减了390元计算出用C型消费券减去的金额，即可求得；
任务二：设设C型消费券x张，则A型消费券(x+1)元，B型消费券（12-2x）张，根据消费金额减了390元列出方程，解方程即可；
任务三：分三种情况：①仅用A型和B型消费券，②仅用A型和C型消费券，③仅用B型和C型消费券，分别根据a，b，c的取值求解，最后比较付款金额，即可求得.
10．【答案】（1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，
由题意得：，
解得：，
答：做4个竖式无盖纸盒，8个横式无盖纸盒，恰好将库存纸板用完；
（2）解：能，理由如下，
∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，
∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张；
设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，
由题意得：，
解得：，
∴当竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为；
（3）解：设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，
由题意得：，
解得：，
∵纸板的使用率为，
∴、均为整数，
∵为中的数字，
∴或，
∴或，
∴丙纸板的张数为张或张．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；三元一次方程组的应用
【解析】【分析】（1）设竖式无盖纸盒做x个，横式无盖纸盒做y个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，根据“制作x个竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+制作y个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=40及制作x个竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+制作y个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=20”列出方程组进行求解即可；
（2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，据此先求出三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为200及的纸板的数量100；设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据“制作a个竖式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量+制作b个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=200及制作a个竖式无盖纸盒需要的正方形纸板的数量+制作b个横式无盖纸盒需要的长方形纸板的数量=100”列出方程组进行求解即可；
（3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可．
11．【答案】（1）解：设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元，
由题意，得 ，
解得．
答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元．
（2）解：设购买A品牌运动饮料m瓶，B品牌运动饮料n瓶，
由题意得，，
则．
方案一：当时，；
方案二：当时，；
方案三：当时，；
方案四：当时，．
答：一共有4种购买方案
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）抓住等量关系：A单价xA数量+B单价xB数量=总成本，列出方程组并求解；
（2）根据题意得出A饮料瓶数m与B饮料瓶数n的数量关系，然后根据现实生活中m、n均为正整数的隐藏条件，全面找出方案. 可以注意到，n为5的倍数（以此为突破口探究搭配方案）.
12．【答案】（1）解：①75°﹣α
②EF⊥FG，理由如下：
∵∠ABE+∠ABC+∠CBF＝180°，∠ABE=∠CBF＝α，
∴∠ABC＝180°﹣2∠CBF，
同理，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
即180°﹣2∠CBF+180°﹣2∠BCF＝180°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°=90°，
∴EF⊥FG；
（2）解：延长BC交DH于点M，
∵∠MDC+∠M+∠MCD＝180°，
∴∠M+∠MCD＝180°﹣∠MDC＝165°，
∵MD∥AB，
∴∠M+∠MBA＝180°，
∵∠MCD+∠DCB＝180°，
∴∠DCB+∠CBA＝180°﹣∠MCD+180°﹣∠M＝360°﹣165°＝195°，
∴∠FCB+∠CBF＝（360°﹣∠DCB﹣∠CBA）＝82.5°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝97.5°．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；邻补角
【解析】【解答】（1）解：①∵ㄥABE＝∠CBF＝α，∠BFC＝105°，
∴∠DCG＝∠BCF＝180°﹣105°﹣α＝75°﹣α，
故答案为：75°﹣α；
【分析】（1）①由光线的反向性质和三角形内角和定理可求得角度；
②根据平角定义及光的反射性质可得∠ABC＝180°﹣2∠CBF，∠DCB＝180°﹣2∠BCF，再由二直线平行，同旁内角互补得∠ABC+∠DCB＝180°，从而代入可推出∠CBF+∠BCF＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BFC=90°，从而得出结论；
（2）延长BC交DH于点M，由三角形的内角和定理得∠M+∠MCD＝165°，由二直线平行，同旁内角互补得∠M+∠MBA＝180°，结合邻补角推出∠DCB+∠CBA＝195°，再推出∠FCB+∠CBF=82.5°，最后根据三角形的内角和定理可算出∠BFC的度数.
13．【答案】任务一：（1）由题意得：B型号（张数） 为3y， 大长方形硬纸板总数为13，
故答案为：3y，3y，13；
（2）由（1）得，
解得：，
∴
答：最多能做6个礼品盒；
任务二：设能做a个礼品盒，
由题意得：，
解得，
∵a是正整数，
∴a最大为32，
即最多能做32个礼品盒；
（3）设恰好用完能做b个礼品盒，
由题意得：，
整理得：，
∵n在10张至30张之间 ，
∴，
解得：，
∵n，b为正整数，
∴或，
故答案为：11或24.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务一：（1）根据裁法二可知B型号（张数） 为3y， 而大长方形硬纸板总数为x+y；
（2）根据长方形硬纸板总数为13， 所裁剪的A、B型纸板恰好用完列方程组求出裁法一裁剪的张数，然后再计算所做礼品盒数量即可；
任务二：设能做a个礼品盒，根据纸板总数不大于70列不等式求出a的取值范围即可；
任务三：设恰好用完能做b个礼品盒，表示出所需纸板数，然后根据n在10张至30张之间 列不等式求出b的取值范围，再根据n，b为正整数进行求解即可.
14．【答案】解：探究一：（1）由题意可知：裁法一，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A型号纸板，裁法二，一个大长方形硬纸板可裁剪得3个B型号纸板，
∴当n=13时，填表如下：
型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计
大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张）
A型号(张数） 0
B型号（张数） 0
（2）由题意可知： 每个礼品盒由3个A型号和2个B型号硬纸板组成，
∴2x×2=3y×3，
∴可列方程组为，
解得：，
∴个，
答：所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒；
探究二：根据题意，设n=70时，能做a个礼盒，
则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，
∴+≤70，
解得：，
∵a为正整数，
∴a取最大值为32，
所以， 若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请最多能做32个礼品盒.
探究三：11或24
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：探究三：根据题意可知，设n张大长方形纸板恰好用完能做b个礼品盒，则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，
因此，可列方程为：，
∴，
∵，n、b为正整数，
∴b的取值为5或11，
∴n的取值为11或24
故答案为：11或24．
【分析】探究一：（1）根据已知条件可知：设裁法一的大长方形纸板x张，裁法二的大长方形纸板y张，再根据“一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板或者3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张”即可得出结论；（2）根据“一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板”，列出方程组求解即可得出结论；
探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，列不等式求解即可结论；
探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则则裁出A型纸板的张数为张，裁出B型纸板的张数为张，列方程即可解答；
15．【答案】（1）7；5；2
（2）解：设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题意得，
方法②的裁剪 6 根， 方法③的裁剪 5 根.
（3）解：由题意可得：，
∵a、b为正整数，
∴，
∵搭建 10 副围栏共需 20 根 16 dm 的， 20 根 10 dm 的， 30 根 8 dm 的. 买 10 根 60 dm 的材料可得 20 根 根 10 dm ， 则少 20 根 8 dm ， 再买 3 根 60 dm 的， 每根可得 7 根 8 dm 的用料，
剩余材料的长度为： .
∴至少需要的费用为： （元）.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）方法①：60÷8=7…4，
∴当裁剪8dm长的用料时，最多可剪裁7根；
故答案为：7.
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，
∴当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料5根；
故答案为：5.
方法③：（60-2×20）÷8=20÷8=2…4，
∴当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多可剪裁8dm长的用料2根；
故答案为：2.
【分析】（1）方法①：由题意，用60除以8，所得商的整数值即为所求；
方法②：由题意，先用60减去20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
方法③：由题意，先用60减去2倍20，再除以8，所得商的整数值即为所求；
（2）设方法②的裁剪 根， 方法(3)的裁剪 根， 根据题中的相等关系可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（3）根据相等关系“每根 60 dm 的材料恰好可裁下 2 根 根 根 10 dm 的用料 (无剩余) ”可列关于a、b的二元一次方程，由a、b为正整数可求得a、b的值；根据题意求出剩余材料以及费用.
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