阅读理解题—浙江省七（下）数学期中复习
一、解答题
1．（2024七下·嘉兴月考）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么求1*1的值．
【答案】（1）-4；6
（2）解：由题意得，，
①×3﹣②×2，得a﹣b+c＝﹣11，
∴1*1＝a﹣b+c＝﹣11．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
由①+②得
5x+5y=30，
解之：x+y=6；
由②-①得
x-y=-4；
故答案为：-4，6.
【分析】（1）利用阅读材料，可知由（①+②）÷5，可求出x+y的值；由②-①可求出x-y的值.
（2）利用定义新运算，可得到关于a，b，c的方程组，由①×3﹣②×2，可求出a﹣b+c的值，即可求解.
2．（2024七下·桐乡市月考）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值．
【答案】（1）-4；6
（2）解：由题意得：，
①×3-②×2得：a-b+c=-11．
∴11=a-b+c=﹣11．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】（1），
①+②得：5x+5y=30，
∴x+y=6，
①-②得：x-y=﹣4，
故答案为：－4；6；
【分析】（1）直接将方程组中的两个方程相加或相减即可求出答案；
（2）根据新定义得出二元一次方程组，再用①×3-②×2得：a-b+c=-11，进而再根据新定义运算法则列出方程即可得出答案．
3．（2024七下·宁海期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
（1）【知识理解】：①若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
②配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣ ；
（2）【知识运用】：
已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
【答案】（1）±4；10
（2）∵m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝﹣4，n＝4
【知识点】偶次方的非负性；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）①∵多项式是一个完全平方式，
，
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据完全平方式的结构特征可得答案；
②根据配方法的步骤求解即可；
（3）先进行分组，再分别利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性求解即可．
4．（2023七下·海曙期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又例如：求代数式的最小值：∵，
又∵；
∴当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式： ．
（2）已知实数，满足，求的值；
（3）当 、 时，多项式的最大值 ．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）4；-4；9
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式；非负数之和为0
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(3) ，
，
，
，
，，
当时， 有最大值9，
，，
故答案为：4；-4；9.
【分析】(1)先对多项式进行配方，再利用平方差公式分解多项式.
(2)观察等式，移项后对整式进行配方，再利用完全平方公式的非负性求得a、b的值，进而计算出代数式的值.
(3)先利用完全平方式对多项式进行配方，再通过完全平方式的非负性得到多项式的最大值，进而得到x、y的值.
5．（2023七下·诸暨期末）阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题.
例：若，求的值.
解：.
.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求xy的值；应用以上知识进行思维拓展；
（2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
【答案】（1）解：
，
（2）解：设，
，
，
图中阴影部分面积4.5.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行变形，再代入x、y的和与平方和求得xy的值.
(2)设，，由AB的长与正方形的面积和得到x、y的和与平方和的值，再通过变形由完全平方公式求得xy值，进而得到阴影部分面积.
6．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
【答案】（1）①20；②13；
解：
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是22．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
，，
，
故答案为：20；
②令，，
，，
，
故答案为：13；
【分析】（1）①由完全平方式，得到，将，，代入计算，即可得到答案；
②令，，得到，，结合，代入计算，即可求解；
（2）设三角板的两条直角边，，得到一块三角板的面积为，得到和，结合，求得mn的值，进而求得三角形的面积，得到答案.
7．（2024七下·虞城期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：．
证明：如图2，过点作，∴．
∵，，∴，
∴，
∴．
【类比应用】
（1）如图3，，，，求的度数．
（2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程）
【答案】解：（1）如图3，过点作，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）．
理由：如图4，过点作，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）．
设，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
由（2）可知，．
由材料的结论可知，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；锯齿模型
【解析】【分析】（1）先过点作，再利用平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可；
（2）过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）设，，利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得．
8．（2024七下·深圳期中）【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）【理解应用】
观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式 。
（2）【拓展升华】
利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2=10，a+b=6，求ab的值；
②已知（2021-c）（c-2019）=-2020，求（2021-c）2+（c-2019）2的值．
【答案】（1）（x+y）2-2xy=x2+y2
（2）解：①∵a+b=6 a2+b2=10，（a+b）2-2ab=a2+b2
∴36-2ab=10
解得ab=13；
②∵（2021-c）（c-2019）=-2020， 且（2021-c）+（c-2019）=2，
根据（1）中的等式，
得4- 2×（- 2020）=（2021-c）2+（c-2019）2
∴（2021-c）2+（c-2019）2=4044
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法一：图2中阴影部分的面积为：(x+y)2-2xy，
方法二：图2中阴影部分的面积为：x2+y2，
∴（x+y）2-2xy=x2+y2；
故答案为：（x+y）2-2xy=x2+y2；
【分析】（1）图2中阴影部分的面积为甲乙两个图形的面积和；图2中阴影部分的面积也可以看成边长为x+y的正方形的面积减去两个图丙的面积，最后根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，据此可解题；
（2）①a+b=6 a2+b2=10，代入（a+b）2-2ab=a2+b2求解即可；②将2021-c与c-2019分别看成一个整体，利用（1）的结论，直接代入计算即可.
9．（2024七下·义乌月考）完全平方公式： 是多项式乘法中的重要公式之一， 它经过适当变形可以解决很多数学问题.
例如： 若 ， 求 的值.
解： .
根据以上信息回答下列问题：
（1） 若 ， 求 的值；
（2）若 ， 求 的值；
（3）如图， 点 分别是正方形 的边 与 上的点， 以 为边在正方形内部作面积为 8 的长方形 ， 再分别以 为边作正方形 和正方形 . 若图中阴影部分的面积为 20 ， 求长方形 的周长.
【答案】（1）∵，
∴32-2mn=25，
∴mn=-8.
（2） =(a-2b)2+4ab=32+4×1=13.
（3）设AE=x，EG=y，
∵ 长方形 得面积为8，
∴xy=8，
∵ 四边形 和均为正方形，且面积之和为20，
∴x2+y2=20，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20+2×8=36，
∴x+y=6，
∴ 长方形 的周长为2（x+y） =12.
【知识点】完全平方公式及运用；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由，再整体代入计算即可；
（2）由 =(a-2b)2+4ab，再整体代入计算即可；
（3）设AE=x，EG=y，由题意得xy=8，x2+y2=20，利用(x+y)2=x2+y2+2xy可求出x+y的值，根据长方形 的周长为2（x+y）即可求解.
10．（2024七下·榕城期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）【类比应用】
若，，则的值为 ；
若，则 ；
（2）【迁移应用】
两块完全相同的特制直角三角板如图所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
【答案】（1）20；13
（2）解：设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=8，x+y=6，
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×8=20.
②∵x(5-x)=6，
∴x2=5x-6，
∴x2+(5-x)2=2x2-10x+25
=2(5x-6)-10x+25
=13.
故答案为：①20，②13.
【分析】（1）本题需要在了解完全平公式基础上加以变式由（a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=（a+b)2-2ab
（2）本题需要学生对完全平方公式有深入的了解，灵活变换.
11．（2024七下·青山湖月考）阅读材料并回答下列问题：
当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，所以不是“可爱点”；，令得，所以是“可爱点”．
（1）请判断点是否为“可爱点”： （填“是”或“否”）
（2）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值；
（3）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值．
【答案】（1）否
（2）解：方程组的解为
点是“可爱点”，
解得，
，
解得．
（3）解：方程组的解为，
点是“可爱点”，
解得，
，
化简得，
为正整数，
或或或．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）令，
解得，
m-n=8≠6，
所以A（7，1）不是“可爱点”；
故答案为：否；
【分析】（1）列出方程组求解点A对应的m，n值，然后通过m，n值之差是否为6进行判断是否为“可爱点”；
（2）通过解方程以t表示出x，y，再根据点B符合“可爱点”的条件，列出并求解关于t的一元一次方程，即可计算出t值；
（3）解题思路与（2）一致，只是最后得出关于a，b的二元一次方程后，需结合条件“正整数a，b”，解出所有符合该条件的a，b值.
12．（2024七下·丰城月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．
（1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
（2）拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是 ．
（3）请你用上述方法解方程组
【答案】（1）解：对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，即，
解得：；
（2）
（3）解：依题意，令则原方程组为，
即
得， 解得：，
得，， 解得：
∴
得，，
解得：
得，， 解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组；归纳与类比
【解析】【解答】解：（2）∵方程组的解是，
∴，解得：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题中的材料可令，，则原方程组可化为关于m、n的二元一次方程组，解之求出m、n的值，把m、n的值代入，计算可求解；
（2）根据题中的材料可得，解这个方程组即可求解；
（3）根据题中的材料可令m=x+y，n=x-y，则原方程组可化为，解方程组求出m、n的值，把m、n的值代入m=x+y，n=x-y，计算可求解.
1 / 1阅读理解题—浙江省七（下）数学期中复习
一、解答题
1．（2024七下·嘉兴月考）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么求1*1的值．
2．（2024七下·桐乡市月考）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值．
3．（2024七下·宁海期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
（1）【知识理解】：①若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
②配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣ ；
（2）【知识运用】：
已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
4．（2023七下·海曙期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又例如：求代数式的最小值：∵，
又∵；
∴当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式： ．
（2）已知实数，满足，求的值；
（3）当 、 时，多项式的最大值 ．
5．（2023七下·诸暨期末）阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题.
例：若，求的值.
解：.
.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求xy的值；应用以上知识进行思维拓展；
（2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
6．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】（1）①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
7．（2024七下·虞城期末）【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：．
证明：如图2，过点作，∴．
∵，，∴，
∴，
∴．
【类比应用】
（1）如图3，，，，求的度数．
（2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程）
8．（2024七下·深圳期中）【阅读材料】 我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形．并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）【理解应用】
观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式 。
（2）【拓展升华】
利用（1）中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2=10，a+b=6，求ab的值；
②已知（2021-c）（c-2019）=-2020，求（2021-c）2+（c-2019）2的值．
9．（2024七下·义乌月考）完全平方公式： 是多项式乘法中的重要公式之一， 它经过适当变形可以解决很多数学问题.
例如： 若 ， 求 的值.
解： .
根据以上信息回答下列问题：
（1） 若 ， 求 的值；
（2）若 ， 求 的值；
（3）如图， 点 分别是正方形 的边 与 上的点， 以 为边在正方形内部作面积为 8 的长方形 ， 再分别以 为边作正方形 和正方形 . 若图中阴影部分的面积为 20 ， 求长方形 的周长.
10．（2024七下·榕城期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）【类比应用】
若，，则的值为 ；
若，则 ；
（2）【迁移应用】
两块完全相同的特制直角三角板如图所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
11．（2024七下·青山湖月考）阅读材料并回答下列问题：
当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，所以不是“可爱点”；，令得，所以是“可爱点”．
（1）请判断点是否为“可爱点”： （填“是”或“否”）
（2）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值；
（3）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值．
12．（2024七下·丰城月考）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得．
（1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．
（2）拓展提升，已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是 ．
（3）请你用上述方法解方程组
答案解析部分
1．【答案】（1）-4；6
（2）解：由题意得，，
①×3﹣②×2，得a﹣b+c＝﹣11，
∴1*1＝a﹣b+c＝﹣11．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
由①+②得
5x+5y=30，
解之：x+y=6；
由②-①得
x-y=-4；
故答案为：-4，6.
【分析】（1）利用阅读材料，可知由（①+②）÷5，可求出x+y的值；由②-①可求出x-y的值.
（2）利用定义新运算，可得到关于a，b，c的方程组，由①×3﹣②×2，可求出a﹣b+c的值，即可求解.
2．【答案】（1）-4；6
（2）解：由题意得：，
①×3-②×2得：a-b+c=-11．
∴11=a-b+c=﹣11．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】（1），
①+②得：5x+5y=30，
∴x+y=6，
①-②得：x-y=﹣4，
故答案为：－4；6；
【分析】（1）直接将方程组中的两个方程相加或相减即可求出答案；
（2）根据新定义得出二元一次方程组，再用①×3-②×2得：a-b+c=-11，进而再根据新定义运算法则列出方程即可得出答案．
3．【答案】（1）±4；10
（2）∵m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝﹣4，n＝4
【知识点】偶次方的非负性；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）①∵多项式是一个完全平方式，
，
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据完全平方式的结构特征可得答案；
②根据配方法的步骤求解即可；
（3）先进行分组，再分别利用完全平方公式变形，然后根据偶次方的非负性求解即可．
4．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）4；-4；9
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式；非负数之和为0
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(3) ，
，
，
，
，，
当时， 有最大值9，
，，
故答案为：4；-4；9.
【分析】(1)先对多项式进行配方，再利用平方差公式分解多项式.
(2)观察等式，移项后对整式进行配方，再利用完全平方公式的非负性求得a、b的值，进而计算出代数式的值.
(3)先利用完全平方式对多项式进行配方，再通过完全平方式的非负性得到多项式的最大值，进而得到x、y的值.
5．【答案】（1）解：
，
（2）解：设，
，
，
图中阴影部分面积4.5.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行变形，再代入x、y的和与平方和求得xy的值.
(2)设，，由AB的长与正方形的面积和得到x、y的和与平方和的值，再通过变形由完全平方公式求得xy值，进而得到阴影部分面积.
6．【答案】（1）①20；②13；
解：
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是22．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
，，
，
故答案为：20；
②令，，
，，
，
故答案为：13；
【分析】（1）①由完全平方式，得到，将，，代入计算，即可得到答案；
②令，，得到，，结合，代入计算，即可求解；
（2）设三角板的两条直角边，，得到一块三角板的面积为，得到和，结合，求得mn的值，进而求得三角形的面积，得到答案.
7．【答案】解：（1）如图3，过点作，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）．
理由：如图4，过点作，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）．
设，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
由（2）可知，．
由材料的结论可知，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；锯齿模型
【解析】【分析】（1）先过点作，再利用平行线的性质可得，，再利用角的运算求出即可；
（2）过点作，先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）设，，利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得．
8．【答案】（1）（x+y）2-2xy=x2+y2
（2）解：①∵a+b=6 a2+b2=10，（a+b）2-2ab=a2+b2
∴36-2ab=10
解得ab=13；
②∵（2021-c）（c-2019）=-2020， 且（2021-c）+（c-2019）=2，
根据（1）中的等式，
得4- 2×（- 2020）=（2021-c）2+（c-2019）2
∴（2021-c）2+（c-2019）2=4044
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法一：图2中阴影部分的面积为：(x+y)2-2xy，
方法二：图2中阴影部分的面积为：x2+y2，
∴（x+y）2-2xy=x2+y2；
故答案为：（x+y）2-2xy=x2+y2；
【分析】（1）图2中阴影部分的面积为甲乙两个图形的面积和；图2中阴影部分的面积也可以看成边长为x+y的正方形的面积减去两个图丙的面积，最后根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，据此可解题；
（2）①a+b=6 a2+b2=10，代入（a+b）2-2ab=a2+b2求解即可；②将2021-c与c-2019分别看成一个整体，利用（1）的结论，直接代入计算即可.
9．【答案】（1）∵，
∴32-2mn=25，
∴mn=-8.
（2） =(a-2b)2+4ab=32+4×1=13.
（3）设AE=x，EG=y，
∵ 长方形 得面积为8，
∴xy=8，
∵ 四边形 和均为正方形，且面积之和为20，
∴x2+y2=20，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=20+2×8=36，
∴x+y=6，
∴ 长方形 的周长为2（x+y） =12.
【知识点】完全平方公式及运用；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由，再整体代入计算即可；
（2）由 =(a-2b)2+4ab，再整体代入计算即可；
（3）设AE=x，EG=y，由题意得xy=8，x2+y2=20，利用(x+y)2=x2+y2+2xy可求出x+y的值，根据长方形 的周长为2（x+y）即可求解.
10．【答案】（1）20；13
（2）解：设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①∵xy=8，x+y=6，
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×8=20.
②∵x(5-x)=6，
∴x2=5x-6，
∴x2+(5-x)2=2x2-10x+25
=2(5x-6)-10x+25
=13.
故答案为：①20，②13.
【分析】（1）本题需要在了解完全平公式基础上加以变式由（a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=（a+b)2-2ab
（2）本题需要学生对完全平方公式有深入的了解，灵活变换.
11．【答案】（1）否
（2）解：方程组的解为
点是“可爱点”，
解得，
，
解得．
（3）解：方程组的解为，
点是“可爱点”，
解得，
，
化简得，
为正整数，
或或或．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）令，
解得，
m-n=8≠6，
所以A（7，1）不是“可爱点”；
故答案为：否；
【分析】（1）列出方程组求解点A对应的m，n值，然后通过m，n值之差是否为6进行判断是否为“可爱点”；
（2）通过解方程以t表示出x，y，再根据点B符合“可爱点”的条件，列出并求解关于t的一元一次方程，即可计算出t值；
（3）解题思路与（2）一致，只是最后得出关于a，b的二元一次方程后，需结合条件“正整数a，b”，解出所有符合该条件的a，b值.
12．【答案】（1）解：对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，即，
解得：；
（2）
（3）解：依题意，令则原方程组为，
即
得， 解得：，
得，， 解得：
∴
得，，
解得：
得，， 解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组；归纳与类比
【解析】【解答】解：（2）∵方程组的解是，
∴，解得：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题中的材料可令，，则原方程组可化为关于m、n的二元一次方程组，解之求出m、n的值，把m、n的值代入，计算可求解；
（2）根据题中的材料可得，解这个方程组即可求解；
（3）根据题中的材料可令m=x+y，n=x-y，则原方程组可化为，解方程组求出m、n的值，把m、n的值代入m=x+y，n=x-y，计算可求解.
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