数学建模—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·利通期末）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据正方形纸板和8长方形纸板的数量列方程组即可．
2．（2025七下·杭州月考）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱”可将物品的价格表示为11x-8；根据“如果每人出9钱，就少了12钱”可将物品的价格表示为9x+12，进而根据物品的价格为y，即可列出方程组.
3．（2024七下·万州期中） 《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意列方程：
.
故答案为：A.
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题中的两个相等关系“大和尚的个数+小和尚的个数=100，大和尚吃的馒头的个数+小和尚吃的馒头的个数=100”即可列方程组.
4．（2024七下·渝中期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”已知一托等于5尺，若设竿长为x尺，绳索长为y尺，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵索比竿子长一托，∴x-y=5；
∵对折索子来量竿，却比竿子短一托，∴；
因此，列方方程组如下：
；
故答案为：D．
【分析】 设竿长为x尺，绳索长为y尺， 根据“ 索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托 ”建立二元一次方程即可．
5．（2024七下·易县期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为x，物价为y钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为x，物价为y钱．
由题意得： ；
故答案为：B.
【分析】 设人数为x，物价为y钱． 由“ 每人出9钱，会多出5钱 ”可得方程9x-y=5；由“ 每人出8钱，又差2钱 ”可得方程y-8x=2，即得方程组.
6．（2024七下·开化期中）图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】由题意得，
解得，
∴阴影部分面积是，
故选：B．
【分析】观察图形2知，长方形的长可表示为，宽可能表示为，则可分别求出的值，再利用大长方形的面积与4个小长方形的面积差即可求出阴影部分面积．
7．（2024七下·浙江期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录：
记录 天平左边 天平右边 状态
记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡
记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡
记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡
记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（ ）枚
A．6 B．7 C．8 D．11
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克．
根据题意，得，
解得，
∴枚壹元硬币重6克，1枚伍角硬币重4克．
设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚，
则，
解得，
∵和均为正整数，
∴当时，值最大，此时．
故选：B．
【分析】
先依据记录1和记录2可列出关于一元硬币和伍角硬币质量的二元一次方程组，可分别求出一枚硬币和伍角硬币的质量，再根据记录3列关于一元硬币和伍角硬币质量的二元一次方程，再不求这个方程的自然数解即可．
8．（2024七下·云南期中） 在全国足球甲级A组的前轮比赛中，某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队胜的场数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设该队胜的场数是x场，平了y场，
由题意得：，解得
故答案为：C.
【分析】由"某队保持连续不败"，则说明该队每场比赛只有胜、平两种结果，设该队胜的场数是x场，平了y场，根据题意可得等量关系：胜场数+平场数=11，胜场得分+平场得分=23，根据等量关系列出二元一次方程组，再求解即可。
9．（2024七下·金华月考）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为何时，与平行（ ）
A．4或10秒 B．10或20秒 C．10或 40秒 D．4或40秒
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
如图① ，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°-(6t)°=100°=t°，
t=4，
此时（180°-60°）÷6=20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°-60°-(6t)°=300°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°-(6t)°=100°-t°，
t=40，
此时（360°-60°）÷6=50，
∴20＜t＜50；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠DCF=(6t)°-（180°-60°+180°）=(6t)°-300°，
∠BAC=t°-100°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°-300°=t°-100°，
t=40，
此时t＞50，
∴此情况不存在，
综上所述，当t的值为4或40时，CD与AB平行.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，根据内错角相等两直线平行，列出算式即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解。
10．（2024七下·北仑期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论I：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意得，，，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴方程组的解为，
∵，
∴当时，，则此时，故结论I正确；
得，
∴，故结论Ⅱ正确；
当时，，此时满足；
当时，则，此时，
∴，，此时满足；
当时，则，
此时，
∴，此时满足，
综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，
故选B．
【分析】
结论I： 先由题意得到关于的方程组，然后解方程组分别求出，此时再利用的值可分别求出的值；
结论Ⅱ：利用的和可得到，显然得出的值为定值；
结论Ⅲ： 由任意实数的0次幂等于1、1的任意次幂等于1，的偶次幂也等于1知，可进行分类讨论即可判断．
二、填空题
11．（2024七下·安陆期中） 如图，，，，则的度数为 .
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∵
∴
∴，
故答案为：30°.
【分析】根据平行线的性质得到：然后根据三角形外角和定理和题目已知信息可得到：，进而即可求解.
12．（2024七下·成都期中）如图，已知，和分别平分和，若，则 度．（用含m的代数式表示）
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，过作，过作，
，
，
，，，，
设，，
，，
和分别平分和，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
；
故答案为：．
【分析】过作，过作，由平行公理的推论可得，设，，根据平行线的性质可得，，代入 整理计算即可解答．
13．（2023七下·泌阳期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】由题意得：，
整理得： ，
故答案为：5．
【分析】
利用大长方形的长的两种表示形式建立等式即可，即．
14．（2024七下·越城期末） 《九章算术》中记载： “今有五雀、六燕， 集称之衡， 雀俱重， 燕俱轻. 一雀一燕交而处， 衡适平. 并燕、雀重一斤. 问燕、雀一枚各重几何 ” 其大意如下： “今有 5 只雀、6 只燕， 分别放一起用衡器称， 聚在一起的雀重， 燕轻. 将 1 只雀、 1 只燕交换位置而放， 两边重量相等. 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤. 问雀、燕各重多少斤 ” 若设雀、燕每只各重 斤、 斤. 根据题意可列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀、燕每只各重 斤、 斤，由题意得，
故答案为：
【分析】设雀、燕每只各重 斤、 斤，根据“雀、燕每只各重 斤、 斤，则 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤 得5x+6y=1，而4只雀和1只燕与5只燕和1只雀重量相等即有4x+y=5y+x”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
15．（2024七下·桑植期中） 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位数字对调，得到的新数比原数大9，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，可列方程组为： ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，原二位数可表示为10x+y，新二位数是10y+x.
依题意，得.
故答案为：.
【分析】设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据“十位上的数字比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到的新两位数比原数小9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
三、解答题
16．（2024七下·新兴期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：
（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：
（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．
【答案】解：（1）
（2），
理由：如图，过点作．
由（1）可得，.
，的平分线相交于点，
，.
∴
，，
∴，
∴∠BAK1+∠AK1G=180°，DCK1+∠CK1G=180°，
∴∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=(∠BAK1+DCK1)+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
又∵∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
∴.
；
（3）由（2），可知．
同理，可得，
，
……
．
故当时，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵，分别是，的平分线，并且相交于点K，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用平行线的性质得，，继而结合角平分线的定义推出，从而三角形的内角和定理可得；
（2）过点作，由（1）得，，由角平分线的概念得，，于是可求得的度数，平行公理和平行线的性质得∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=360°，由周角概念得∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，即可求得∠AK1C的度数，从而可得 ∠AK1C与之间的等量关系 ；
（3）由（2）得，同理得，，继而总结规律可得，从而得解．
17．（2025七下·杭州月考）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元．
（1）两种取暖器各购进多少台？
（2）在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
【答案】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台 ”列出方程x+y=100；根据单价乘以数量等于总价及“购进x台A品牌取暖器的费用+购进y台B品牌取暖器的费用=6600”，列出方程60x+70y=6600，联立两方程，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据每台售价乘以销售数量=总售价及总售价等于进价乘以（1+利润率），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
18．（2024七下·绍兴期中）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(t/辆) 1 3 4
汽车运费(元/辆) 100 250 300
（1）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆；
（2）如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．(每个档次的得分不同，优秀>良好>合格)
车型 甲 乙 丙 总费用 注意：总费用元为优秀 4800元总费用元为良好 总费用元为合格
汽车辆数
【答案】（1）解：设需要x辆甲种车，y辆乙种车，
∴
∴，
∴需要甲13辆，乙16辆；
答：需要甲13辆，乙16辆
（2）解：设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，∴
∴
又∵m，n，均为正整数，
∴或或或或或，
∴共有6种运输方案，所需费用如下表，
车型 甲 乙 丙 总费用 等级
汽车辆数 6 1 13 4750 优秀
5 4 11 4800 良好
4 7 9 4850 良好
3 10 7 4900 良好
2 13 5 4950 合格
1 16 3 5000 合格
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设需要x辆甲种车，y辆乙种车，根据题中的相等关系"每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，运费总共5300元"列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，根据m辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜辆丙种车运送的蔬菜列出关于m、n的方程，再根据m、n、都是正整数，即可求解．
（1）解：设需要x辆甲种车，y辆乙种车，
∴
∴，
∴需要甲13辆，乙16辆．
（2）解：设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，
∴
∴
又∵m，n，均为正整数，
∴或或或或或，
∴共有6种运输方案，所需费用如下表，
车型 甲 乙 丙 总费用 等级
汽车辆数 6 1 13 4750 优秀
5 4 11 4800 良好
4 7 9 4850 良好
3 10 7 4900 良好
2 13 5 4950 合格
1 16 3 5000 合格
19．（2024七下·开化期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，
∴
解得：
∴A款奶茶销售单价是14元，B款奶茶销售单价是16元.
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
∴
∴
∵a，b均为正整数，
∴，
∴共有两种方案.
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，
∵A款加料的奶茶的价格和B款不加料的奶茶的价格一样，都是16元每杯，
∴
∴
又∵m，n和均为正整数，
∴m>0，n>0，3m-m-n>0，
∴
∴
∴
∴班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，根据"买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元"，据此即可列出二元一次方程组解此方程组即可即可求解；
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，则得到结合a，b均为正整数，即可求解；
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，进而得到二元一次方程结合m，n和均为正整数，即可求解.
20．（2024七下·东西湖期中）【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷.
（1）用x，y的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦 公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦 公顷；
（2）建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷
（3）【方案决策】
随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作，连续工作20天，共收割小麦420公顷.为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案.
【答案】（1）(2x+5y)；(3x+2y)
（2）解：依题意可知：
∴
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷；
（3）解：设引进m台大收割机和n台小收割机，依题意可得：
(0.4m+0.2n)×15×20=420
∴2m+n=7
∵m，n为非负整数
∴该方程的自然数解为：，，，
∴共有4种引进收割机的方案.
【知识点】二元一次方程的应用；用字母表示数；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：2台大收割机和5 台小收割机同时工作1h共收割小麦(2x+5y)公顷；
3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦(3x+2y)公顷；
故答案为：(2x+5y)；(3x+2y)；
【分析】（1）根据1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦的公顷数，即可用含x、y的代数式表示出2台大收割机和5台小收割机同时工作1h及3台大收割机和2台小收割机同时工作1h收割小麦的公顷数；
（2）根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设引进m台大收割机，n台小收割机，根据“每台收割机每天工作15h，连续工作20天，共收割小麦420公顷”，可列出关于m，n的二元一次方程，再结合m， n均为非负整数，即可得出共有4种引进收割机的方案.
21．（2024七下·无锡月考）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【答案】（1）15，如图：
（2）解：设：，，
①如图，当时，
，，
故，即；
②当时，
，即，
③当时，，，
，
即，
，即；
答：当时，；当时，；当时，；
（3）解：①当时，由（1）可知，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴；
③当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴；
④当时，，
∴，
∴；
⑤当时，则，
∴，
∴；
综上可得，或或或或．
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，如图：
，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后由角的和差计算即可求解；
（2）设，，在旋转过程中，由题意可分三种情况：①当时，②当时，③当9时，根据平行线的性质并结合角的和差即可求解；
（3）由题意可分五种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别作出图形，根据平行线的性质并结合题意列关于t的方程，解方程即可求解．
22．（2024七下·武汉月考）如图，已知直线．
（1）在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在之间，若，，则__________；
（2）如图2，若平分，延长交于点M，且，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时绕F点以每秒转动1°的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当_________秒时，．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）过G作，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵平分，，
∴设，
过G作，过N作，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意可得，，
∵，，
∴
∴
解得，
如图，根据题意，，
∵，，
∴
∴
解得，
综上所述，或
【分析】（1）过G作，可得，根据平行线的性质即可得到，即，代入数值即可求出的度数；
（2）过G作，过N作，可设，即，依据平行线的性质得到，，结合角的和差关系，即可得到的度数；
（3） 根据旋转的速度，用t表示出角的度数，根据题意即可得到，，根据平行线的性质得到，，，分别列出关于t的方程，解方程即可得到答案．
23．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
1 / 1数学建模—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·利通期末）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州月考）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·万州期中） 《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·渝中期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托．”已知一托等于5尺，若设竿长为x尺，绳索长为y尺，则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·易县期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为x，物价为y钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·开化期中）图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
7．（2024七下·浙江期中）假设同种类每枚硬币的质量相同，仅用一架天平和五个10克的砝码作为工具，小明作了以下记录：
记录 天平左边 天平右边 状态
记录一 5枚壹元硬币和1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡
记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币和1个10克的砝码 平衡
记录三 一袋硬币（袋子重量忽略不计） 5个10克的砝码 平衡
记录三的袋子中装了一定数量的壹元硬币和伍角硬币，那袋子中最多有壹元硬币（ ）枚
A．6 B．7 C．8 D．11
8．（2024七下·云南期中） 在全国足球甲级A组的前轮比赛中，某队保持不败，共积累分．按比赛规则，胜一场得分，平一场得分，那么该队胜的场数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·金华月考）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为何时，与平行（ ）
A．4或10秒 B．10或20秒 C．10或 40秒 D．4或40秒
10．（2024七下·北仑期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（ ）
结论I：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错
二、填空题
11．（2024七下·安陆期中） 如图，，，，则的度数为 .
12．（2024七下·成都期中）如图，已知，和分别平分和，若，则 度．（用含m的代数式表示）
13．（2023七下·泌阳期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．
14．（2024七下·越城期末） 《九章算术》中记载： “今有五雀、六燕， 集称之衡， 雀俱重， 燕俱轻. 一雀一燕交而处， 衡适平. 并燕、雀重一斤. 问燕、雀一枚各重几何 ” 其大意如下： “今有 5 只雀、6 只燕， 分别放一起用衡器称， 聚在一起的雀重， 燕轻. 将 1 只雀、 1 只燕交换位置而放， 两边重量相等. 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤. 问雀、燕各重多少斤 ” 若设雀、燕每只各重 斤、 斤. 根据题意可列方程组为 .
15．（2024七下·桑植期中） 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位数字对调，得到的新数比原数大9，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，可列方程组为： ．
三、解答题
16．（2024七下·新兴期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：
（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：
（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．
17．（2025七下·杭州月考）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元．
（1）两种取暖器各购进多少台？
（2）在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
18．（2024七下·绍兴期中）绍兴是个鱼米之乡，物产丰富，每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：(假设每辆车均满载)
车型 甲 乙 丙
汽车运载量(t/辆) 1 3 4
汽车运费(元/辆) 100 250 300
（1）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费5300元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆；
（2）如果打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，且它们的总辆数为20辆，请你设计一种满足条件的运输方案，并求出该方案的总费用．(每个档次的得分不同，优秀>良好>合格)
车型 甲 乙 丙 总费用 注意：总费用元为优秀 4800元总费用元为良好 总费用元为合格
汽车辆数
19．（2024七下·开化期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励.
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元.
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的.
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
20．（2024七下·东西湖期中）【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷.
（1）用x，y的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作1h共收割小麦 公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦 公顷；
（2）建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷
（3）【方案决策】
随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作，连续工作20天，共收割小麦420公顷.为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案.
21．（2024七下·无锡月考）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）当α为______度时，，并在图3中画出相应的图形；
（2）在旋转过程中，试探究与之间的关系；
（3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
22．（2024七下·武汉月考）如图，已知直线．
（1）在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在之间，若，，则__________；
（2）如图2，若平分，延长交于点M，且，当时，求的度数；
（3）在（2）的条件下，若绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时绕F点以每秒转动1°的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当_________秒时，．
23．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据正方形纸板和8长方形纸板的数量列方程组即可．
2．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱”可将物品的价格表示为11x-8；根据“如果每人出9钱，就少了12钱”可将物品的价格表示为9x+12，进而根据物品的价格为y，即可列出方程组.
3．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意列方程：
.
故答案为：A.
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题中的两个相等关系“大和尚的个数+小和尚的个数=100，大和尚吃的馒头的个数+小和尚吃的馒头的个数=100”即可列方程组.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵索比竿子长一托，∴x-y=5；
∵对折索子来量竿，却比竿子短一托，∴；
因此，列方方程组如下：
；
故答案为：D．
【分析】 设竿长为x尺，绳索长为y尺， 根据“ 索比竿子长一托．折回索子去量竿，却比竿子短一托 ”建立二元一次方程即可．
5．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为x，物价为y钱．
由题意得： ；
故答案为：B.
【分析】 设人数为x，物价为y钱． 由“ 每人出9钱，会多出5钱 ”可得方程9x-y=5；由“ 每人出8钱，又差2钱 ”可得方程y-8x=2，即得方程组.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】由题意得，
解得，
∴阴影部分面积是，
故选：B．
【分析】观察图形2知，长方形的长可表示为，宽可能表示为，则可分别求出的值，再利用大长方形的面积与4个小长方形的面积差即可求出阴影部分面积．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设1枚壹元硬币重克，1枚伍角硬币重克．
根据题意，得，
解得，
∴枚壹元硬币重6克，1枚伍角硬币重4克．
设袋子中有壹元硬币枚，伍角硬币枚，
则，
解得，
∵和均为正整数，
∴当时，值最大，此时．
故选：B．
【分析】
先依据记录1和记录2可列出关于一元硬币和伍角硬币质量的二元一次方程组，可分别求出一枚硬币和伍角硬币的质量，再根据记录3列关于一元硬币和伍角硬币质量的二元一次方程，再不求这个方程的自然数解即可．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设该队胜的场数是x场，平了y场，
由题意得：，解得
故答案为：C.
【分析】由"某队保持连续不败"，则说明该队每场比赛只有胜、平两种结果，设该队胜的场数是x场，平了y场，根据题意可得等量关系：胜场数+平场数=11，胜场得分+平场得分=23，根据等量关系列出二元一次方程组，再求解即可。
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
如图① ，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF=100°，∠DCF=60°，
∴∠ACD=180°-60°-(6t)°=120°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠ACD=∠BAC，
即120°-(6t)°=100°=t°，
t=4，
此时（180°-60°）÷6=20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF=360°-60°-(6t)°=300°-(6t)°，
∠BAC=100°-t°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即300°-(6t)°=100°-t°，
t=40，
此时（360°-60°）÷6=50，
∴20＜t＜50；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠DCF=(6t)°-（180°-60°+180°）=(6t)°-300°，
∠BAC=t°-100°，
要使AB//CD，则∠DCF=∠BAC，
即(6t)°-300°=t°-100°，
t=40，
此时t＞50，
∴此情况不存在，
综上所述，当t的值为4或40时，CD与AB平行.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，①AB与CD在EF的两侧时，分别表示出∠ACD与∠BAC，根据内错角相等两直线平行，列出算式即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，分别表示出∠DCF与∠BAC，根据同位角相等两直线平行，列出算式即可求解。
10．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意得，，，
得，解得，
把代入①得，解得，
∴方程组的解为，
∵，
∴当时，，则此时，故结论I正确；
得，
∴，故结论Ⅱ正确；
当时，，此时满足；
当时，则，此时，
∴，，此时满足；
当时，则，
此时，
∴，此时满足，
综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误，
故选B．
【分析】
结论I： 先由题意得到关于的方程组，然后解方程组分别求出，此时再利用的值可分别求出的值；
结论Ⅱ：利用的和可得到，显然得出的值为定值；
结论Ⅲ： 由任意实数的0次幂等于1、1的任意次幂等于1，的偶次幂也等于1知，可进行分类讨论即可判断．
11．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∵
∴
∴，
故答案为：30°.
【分析】根据平行线的性质得到：然后根据三角形外角和定理和题目已知信息可得到：，进而即可求解.
12．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；猪蹄模型
【解析】【解答】解：如图，过作，过作，
，
，
，，，，
设，，
，，
和分别平分和，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
；
故答案为：．
【分析】过作，过作，由平行公理的推论可得，设，，根据平行线的性质可得，，代入 整理计算即可解答．
13．【答案】5
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】由题意得：，
整理得： ，
故答案为：5．
【分析】
利用大长方形的长的两种表示形式建立等式即可，即．
14．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀、燕每只各重 斤、 斤，由题意得，
故答案为：
【分析】设雀、燕每只各重 斤、 斤，根据“雀、燕每只各重 斤、 斤，则 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤 得5x+6y=1，而4只雀和1只燕与5只燕和1只雀重量相等即有4x+y=5y+x”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
15．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，原二位数可表示为10x+y，新二位数是10y+x.
依题意，得.
故答案为：.
【分析】设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据“十位上的数字比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到的新两位数比原数小9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
16．【答案】解：（1）
（2），
理由：如图，过点作．
由（1）可得，.
，的平分线相交于点，
，.
∴
，，
∴，
∴∠BAK1+∠AK1G=180°，DCK1+∠CK1G=180°，
∴∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=(∠BAK1+DCK1)+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
又∵∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，
∴.
；
（3）由（2），可知．
同理，可得，
，
……
．
故当时，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质；锯齿模型
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵，分别是，的平分线，并且相交于点K，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）利用平行线的性质得，，继而结合角平分线的定义推出，从而三角形的内角和定理可得；
（2）过点作，由（1）得，，由角平分线的概念得，，于是可求得的度数，平行公理和平行线的性质得∠BAK1+∠AK1G+DCK1+∠CK1G=360°，由周角概念得∠AK1C+(∠AK1G+∠CK1G)=360°，即可求得∠AK1C的度数，从而可得 ∠AK1C与之间的等量关系 ；
（3）由（2）得，同理得，，继而总结规律可得，从而得解．
17．【答案】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台 ”列出方程x+y=100；根据单价乘以数量等于总价及“购进x台A品牌取暖器的费用+购进y台B品牌取暖器的费用=6600”，列出方程60x+70y=6600，联立两方程，组成方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据每台售价乘以销售数量=总售价及总售价等于进价乘以（1+利润率），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
18．【答案】（1）解：设需要x辆甲种车，y辆乙种车，
∴
∴，
∴需要甲13辆，乙16辆；
答：需要甲13辆，乙16辆
（2）解：设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，∴
∴
又∵m，n，均为正整数，
∴或或或或或，
∴共有6种运输方案，所需费用如下表，
车型 甲 乙 丙 总费用 等级
汽车辆数 6 1 13 4750 优秀
5 4 11 4800 良好
4 7 9 4850 良好
3 10 7 4900 良好
2 13 5 4950 合格
1 16 3 5000 合格
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设需要x辆甲种车，y辆乙种车，根据题中的相等关系"每天将新鲜蔬菜61吨运往省城杭州，运费总共5300元"列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，根据m辆甲种车运送的蔬菜辆乙种车运送的蔬菜辆丙种车运送的蔬菜列出关于m、n的方程，再根据m、n、都是正整数，即可求解．
（1）解：设需要x辆甲种车，y辆乙种车，
∴
∴，
∴需要甲13辆，乙16辆．
（2）解：设使用m辆甲种车，n辆乙种车，则使用辆丙种车，
∴
∴
又∵m，n，均为正整数，
∴或或或或或，
∴共有6种运输方案，所需费用如下表，
车型 甲 乙 丙 总费用 等级
汽车辆数 6 1 13 4750 优秀
5 4 11 4800 良好
4 7 9 4850 良好
3 10 7 4900 良好
2 13 5 4950 合格
1 16 3 5000 合格
19．【答案】解：（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，
∴
解得：
∴A款奶茶销售单价是14元，B款奶茶销售单价是16元.
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，
∴
∴
∵a，b均为正整数，
∴，
∴共有两种方案.
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，
∵A款加料的奶茶的价格和B款不加料的奶茶的价格一样，都是16元每杯，
∴
∴
又∵m，n和均为正整数，
∴m>0，n>0，3m-m-n>0，
∴
∴
∴
∴班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（任务1）设A款奶茶销售单价是x元，B款奶茶销售单价是y元，根据"买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元"，据此即可列出二元一次方程组解此方程组即可即可求解；
（任务2）设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶，则得到结合a，b均为正整数，即可求解；
（任务3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了n杯，则B款加料的奶茶买了杯，进而得到二元一次方程结合m，n和均为正整数，即可求解.
20．【答案】（1）(2x+5y)；(3x+2y)
（2）解：依题意可知：
∴
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷；
（3）解：设引进m台大收割机和n台小收割机，依题意可得：
(0.4m+0.2n)×15×20=420
∴2m+n=7
∵m，n为非负整数
∴该方程的自然数解为：，，，
∴共有4种引进收割机的方案.
【知识点】二元一次方程的应用；用字母表示数；二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：2台大收割机和5 台小收割机同时工作1h共收割小麦(2x+5y)公顷；
3台大收割机和2台小收割机同时工作1h共收割小麦(3x+2y)公顷；
故答案为：(2x+5y)；(3x+2y)；
【分析】（1）根据1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦的公顷数，即可用含x、y的代数式表示出2台大收割机和5台小收割机同时工作1h及3台大收割机和2台小收割机同时工作1h收割小麦的公顷数；
（2）根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设引进m台大收割机，n台小收割机，根据“每台收割机每天工作15h，连续工作20天，共收割小麦420公顷”，可列出关于m，n的二元一次方程，再结合m， n均为非负整数，即可得出共有4种引进收割机的方案.
21．【答案】（1）15，如图：
（2）解：设：，，
①如图，当时，
，，
故，即；
②当时，
，即，
③当时，，，
，
即，
，即；
答：当时，；当时，；当时，；
（3）解：①当时，由（1）可知，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴；
③当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴；
④当时，，
∴，
∴；
⑤当时，则，
∴，
∴；
综上可得，或或或或．
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，如图：
，
，
，
故答案为：；
【分析】
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后由角的和差计算即可求解；
（2）设，，在旋转过程中，由题意可分三种情况：①当时，②当时，③当9时，根据平行线的性质并结合角的和差即可求解；
（3）由题意可分五种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别作出图形，根据平行线的性质并结合题意列关于t的方程，解方程即可求解．
22．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）过G作，如图1，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵平分，，
∴设，
过G作，过N作，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意可得，，
∵，，
∴
∴
解得，
如图，根据题意，，
∵，，
∴
∴
解得，
综上所述，或
【分析】（1）过G作，可得，根据平行线的性质即可得到，即，代入数值即可求出的度数；
（2）过G作，过N作，可设，即，依据平行线的性质得到，，结合角的和差关系，即可得到的度数；
（3） 根据旋转的速度，用t表示出角的度数，根据题意即可得到，，根据平行线的性质得到，，，分别列出关于t的方程，解方程即可得到答案．
23．【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
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