数学抽象—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·深圳期中）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·沈阳期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登，如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024七下·黔东南期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为( )
A． B． C． D．
4．（2024七下·宝安期中）为了保护视力，某公司推出了一款护眼台灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经测试发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 这是小亮绘制的潜望镜原理示意图， 两个平面镜的镜面 与 平行， 入射光线 与出射光线 平行． 若入射光线 与镜面 的夹角 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·揭西月考）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）度．
A．56 B．66 C．98 D．104
7．（2023七下·固始期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
8．（2021七下·仙居期末）在螳螂的示意图中，AB∥DE，∠ABC＝126°，∠CDE＝70°，则∠BCD＝（ ）
A．14° B．16° C．18° D．20°
二、填空题
9．（2024七下·南海月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若，则的度数为 .
10．（2024七下·福田期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度．
11．（2024七下·江南期末）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波速平行射入接收天线，经反射聚集到焦点，则的度数为
12．（2024七下·义乌期中） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，
（1）当∠EFH＝60°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，此时∠ABC＝ 度．
13．（2023七下·石景山期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．
三、解答题
14．（2024七下·乌鲁木齐期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
15．（2024七下·衡阳期末）图1是一辆滑轮摄影轨道车，图为其侧面示意图固定在底座于点是轨道车的“手臂”，可通过改变的度数调节车的高度在调节过程中，放摄像机的杆始终平行于．
（1）如图，调节轨道车的“手臂”，使，此时，求的度数．
（2）若图，求的度数之和．
16．（2023七下·岳池期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．
17．（2023七下·东阿期末）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如下图①，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．
（1）已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图①中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．
智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB
请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程．
（2）类比思考：
①在图②中，∠APC与∠A、∠C之间的数量关系为 ；
②如图③，已知AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的数量关系为 ．
（3）解决问题：善思小组提出：如图④⑤，AB∥CD，AF、CF分别平分∠BAP、∠DCP．请分别求出图④、图⑤中，∠AFC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
18．（2024七下·义乌月考）根据以下素材， 探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 ，座垫尺寸为 . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要， 某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现， 工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 ， 宽为 . (裁切时不计损耗)
（1）【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费， 请你设计出一张该板材的所有栽切方法
（2）【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成多少张学生椅
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠CFP=110°，∠P=15°，
∴∠PDF=∠CFP-∠P=110°-15°=95°
∵AB||CD，
∴∠ABP=∠PDF=95°.
故答案为：B.
【分析】由三角形外角性质得∠PDF=∠CFP-∠P=95°，进而根据两直线平行，同位角相等，得∠ABP=∠PDF=95°.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1+∠2=85°+85°=170°，∴不能说明a∥b，此选项不符合题意；
B、∵∠3+∠4=95°+85°=180°，∴a∥b，此选项符合题意；
C、∵∠1=85，∠3=95°，∴∠1≠∠3，不能说明a∥b，此选项不符合题意；
D、∵∠4+∠2=85°+85°=170°，∴不能说明a∥b，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同旁内角互补两直线平行可判断求解；
B、根据同旁内角互补两直线平行可判断求解；
C、根据内错角相等两直线平行可判断求解；
D、根据同旁内角互补两直线平行可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=70°，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠ABC）=55°，
故答案为：B。
【分析】根据AB∥CD求出∠ABC的度数，根据AC平分∠MAB，结合平行线的性质证明∠BAC=∠ACB，再利用三角形的内角和定理求解即可。
4．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】本题考查平行线的性质的判定，过作，得到，由，推得，得到，求得，结合，即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：∠2=∠1=40°10'，
∴∠5=180°-∠1-∠2=99°40'.
∵AB∥CD，
∴∠6=∠5=99°40'.
故答案为：C.
【分析】由入射角等于出射角可知∠2=∠1，结合已知∠1=40°10'，可知∠2=∠1=40°10'。再由∠1+∠2+∠5=180°，可知∠5=99°40'。再由AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。可得∠6=∠5=99°40'.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，作，根据平行线的性质得到，，再由对顶角相等得到 的度数.
7．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH∥AB，
∴∠HFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°，
∵ CG∥EF ， ∠AGC＝80° ，
∴∠EFA=∠AGC＝80° ，
∴∠EFH=∠EFA-∠HFA=80° -30°=50°，
∵FH∥AB， AB∥CD ，
∴FH∥CD ，
∴∠DEF=180°-∠EFH=130°；
故答案为：C.
【分析】过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD ，利用平行线的性质可得∠HFA=180°-∠BAG=30°，由CG∥EF可得∠EFA=∠AGC＝80° ，从而求出∠EFH=∠EFA-∠HFA=50°，再利用平行线的性质可得∠DEF+∠EFH=180°，据此即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长CD交AB于点M，如图所示：
∵∠ABC=126°，
∴∠CBM=180°-126°=54°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE=∠M=70°，
∵∠M为△CBM的外角，
∴∠BCD=∠M-∠CBM=16°，
故答案为：B.
【分析】延长CD交AB于点M，先由题意得到∠CBM的度数，再根据平行线的性质即可得到∠CDE=∠M=70°，最后根据三角形外角的性质即可求解.
9．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过∠2的顶点N作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠3+∠BNM=180°，∠1=∠MNF=25°，
∴∠BNM=180°-155°=25°，
∴∠2=∠BNM+∠MNF=25°+25°=50°.
故答案为：50°.
【分析】过∠2的顶点N作MN∥AB，利用已知可推出AB∥CD∥MN，利用两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，可求出∠MNF，∠BNM的度数；然后根据∠2=∠BNM+∠MNF，代入计算可求出∠2的度数.
10．【答案】74
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD且∠1=106°，
∴∠BAC=∠1=106°，
∵AB∥EO，
∵∠AOE=∠BAC=106°，
∴∠2=180°-∠AOE=74°.
故答案为：74．
【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的定义；先根据“两直线平行，同位角相等”得到∠BAC=∠1=106°，再由“两直线平行，内错角相等”得到∠AOE=∠BAC=106°，最后邻补角的定义求得∠2=74°.
11．【答案】82
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过O作，
∵，
∴，又，，
∴，，
∴，
故答案为：82．
【分析】过O作OH∥AB，则OH∥CD∥AB，根据平行线的性质得到∠BPH=∠ABO=37°，∠COH=∠DCO=45°，进而可求解．
12．【答案】（1）120
（2）160
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）延长CB，HG，相交于点K，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：120
（2）延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：160
【分析】（1）延长CB，HG，相交于点K，根据平行线的性质即可得到，进而即可得到∠ABK的度数，从而即可求解；
（2）延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，先根据平行线的性质得到，进而结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点D作DH⊥AB于点H，
∵DE//AB，DH⊥AB，
∴DH⊥DE，
∴∠EDH=90°，
∵∠EDC=150°，
∴∠CDH=∠EDC-∠EDH=60°，
∵DH⊥AB， CB⊥AB，
∴CD//DH，
∴∠GCB=∠CGH=60°，
故答案为：60.
【分析】根据题意先求出DH⊥DE，再求出∠CDH=∠EDC-∠EDH=60°，最后根据平行线的判定与性质计算求解即可。
14．【答案】（1）证明：∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND，
∴OE//DM.
（2）解：AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB//CD，
∴∠BOD=∠ODC=30°，
∵∠AOF+∠BOD=180° ，
∴∠AOF= 150°，
∵OE平分∠AOF，
∴.
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF= 105° .
∵OE//DM，
∴∠ANM=∠BOE= 105°.
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE=∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质求得∠BOD，再根据邻补角的定义可求出∠AOF.根据角平分线的定义和角的和差求出∠BOE，于是可利用平行线的性质求出∠ANM的度数.
15．【答案】（1）解：如图，过点作，且点在的下方．
，，
．
，
，
，
．
，，
，
．
（2）解：如图，过点作，且点在的下方．
，
．
由可得，
．
，
，
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）通过过拐点C作已知直线的平行线，进而利用平行线的性质将逐一求角往目标角靠拢求解即可；
（2）同理过拐点作平行线联系已知条件角与问题角的关系，此时需推理角度关系，不熟练的情况可以通过设元进行表示角度关系更为直观理解.
16．【答案】解：方法一：如图1，延长交于点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
方法二：如图2，过点作，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即．
（任选一种方法说明即可）
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】延长交于点，利用邻补角求出，根据平行线的性质可得，再利用三角形的内角和及等量代换可得.
17．【答案】（1）解：过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，
∴∠APC＝∠A+∠C；
（2）解：∠APC+∠A+∠C＝360°；α+β-γ＝180°；
（3）解：如图④，∠AFC∠APC；理由如下：
过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图④所示：
∴∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF＝∠PAF，
∴∠AFM∠BAP，
∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，FM∥CD，
∴∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF＝∠PCF，
∴∠CFM∠DCP，
∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP），
∴∠AFC∠APC，
故答案为：∠AFC∠APC；
如图⑤，∠AFC＝180°∠APC；理由如下：
过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图⑤所示：
∴∠APH＝∠MAP，∠AFQ＝∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF＝∠PAF，
∴2∠AFQ＝∠BAP，
∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，FQ∥CD，
∴∠CPH＝∠NCP，∠CFQ＝∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF＝∠PCF，
∴2∠CFQ＝∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP＝180°，∠DCP+∠NCP＝180°，
∴2∠AFQ+∠APH＝180°，2∠CFQ+∠CPH＝180°，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH＝360°，即2∠AFC+∠APC＝360°，
∴∠AFC＝180°∠APC．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（2）①过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ+∠A=180°，∠CPQ+∠C=180°，
∵∠APC=∠APQ+∠CPQ，
∴∠APQ+∠A+∠CPQ+∠C=∠APC+∠A+∠C＝360°
②过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，
∴∠AMQ+α=180°，∠QMD=γ ，
∵∠AMQ+∠QMD=∠β ，
∴∠AMQ+α=β-∠QMD+α =β-γ+α=180°
α+β-γ＝180°。
【分析】（1）由PQ∥AB，AB∥CD得出PQ∥CD，由平行线的性质得出 ∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C ，从而推出 ∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C ，即可得出结论；
（2）①由PQ∥AB，AB∥CD得PQ∥CD，由平行线的性质得出∠APQ+∠A=180°、∠CPQ+∠C=180°，从而推出∠APC+∠A+∠C＝360°，得出结论；
②由AB∥CD，MQ∥AB得出MQ∥CD，由平行线的性质得出∠AMQ+α=180°，∠QMD=γ，从而推出结论α+β-γ＝180°得出答案；
（3）①作图由平行线的性质得出 ∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF ，由角平分线的性质得出∠BAF＝∠PAF从而得出 ∠AFM∠BAP ，同理可得 ∠CFM∠DCP ，再通过转换得出 ∠AFC∠APC ；
②作图由平行线的性质得出 ∠APH＝∠MAP，∠AFQ＝∠BAF ，由角平分线的性质得出 ∠BAF＝∠PAF从而得出 2∠AFQ＝∠BAP ，由 PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD 得出 PH∥CD，FQ∥CD ，由平行线的性质得出 ∠CPH＝∠NCP，∠CFQ＝∠DCF ，由角平分线的性质得出 ∠DCF＝∠PCF 从而得出 2∠CFQ＝∠DCP ，推理得出答案即可。
18．【答案】（1）解：设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，
根据题意得：15x+35y=240，
∴y=，
∵x、y为非负整数，
∴x=9，y=3或x=2，y=6或x=16，y=0（舍）
∴①裁切靠背9张， 座垫3张，②裁切靠背2张， 座垫6张.
（2）解：=240（张）
∴ 该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成240张学生椅.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，根据题意得：15x+35y=240，求出x、y的非负整数解即可；
（2）直接列式，再计算即可.
1 / 1数学抽象—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2024七下·深圳期中）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠CFP=110°，∠P=15°，
∴∠PDF=∠CFP-∠P=110°-15°=95°
∵AB||CD，
∴∠ABP=∠PDF=95°.
故答案为：B.
【分析】由三角形外角性质得∠PDF=∠CFP-∠P=95°，进而根据两直线平行，同位角相等，得∠ABP=∠PDF=95°.
2．（2024七下·沈阳期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登，如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1+∠2=85°+85°=170°，∴不能说明a∥b，此选项不符合题意；
B、∵∠3+∠4=95°+85°=180°，∴a∥b，此选项符合题意；
C、∵∠1=85，∠3=95°，∴∠1≠∠3，不能说明a∥b，此选项不符合题意；
D、∵∠4+∠2=85°+85°=170°，∴不能说明a∥b，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同旁内角互补两直线平行可判断求解；
B、根据同旁内角互补两直线平行可判断求解；
C、根据内错角相等两直线平行可判断求解；
D、根据同旁内角互补两直线平行可判断求解.
3．（2024七下·黔东南期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=70°，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠ABC）=55°，
故答案为：B。
【分析】根据AB∥CD求出∠ABC的度数，根据AC平分∠MAB，结合平行线的性质证明∠BAC=∠ACB，再利用三角形的内角和定理求解即可。
4．（2024七下·宝安期中）为了保护视力，某公司推出了一款护眼台灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经测试发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【分析】本题考查平行线的性质的判定，过作，得到，由，推得，得到，求得，结合，即可得到答案．
5．如图， 这是小亮绘制的潜望镜原理示意图， 两个平面镜的镜面 与 平行， 入射光线 与出射光线 平行． 若入射光线 与镜面 的夹角 ， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：∠2=∠1=40°10'，
∴∠5=180°-∠1-∠2=99°40'.
∵AB∥CD，
∴∠6=∠5=99°40'.
故答案为：C.
【分析】由入射角等于出射角可知∠2=∠1，结合已知∠1=40°10'，可知∠2=∠1=40°10'。再由∠1+∠2+∠5=180°，可知∠5=99°40'。再由AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。可得∠6=∠5=99°40'.
6．（2023七下·揭西月考）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）度．
A．56 B．66 C．98 D．104
【答案】A
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】如图，作，根据平行线的性质得到，，再由对顶角相等得到 的度数.
7．（2023七下·固始期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点F作FH∥AB，
∴∠HFA=180°-∠BAG=180°-150°=30°，
∵ CG∥EF ， ∠AGC＝80° ，
∴∠EFA=∠AGC＝80° ，
∴∠EFH=∠EFA-∠HFA=80° -30°=50°，
∵FH∥AB， AB∥CD ，
∴FH∥CD ，
∴∠DEF=180°-∠EFH=130°；
故答案为：C.
【分析】过点F作FH∥AB，则FH∥AB∥CD ，利用平行线的性质可得∠HFA=180°-∠BAG=30°，由CG∥EF可得∠EFA=∠AGC＝80° ，从而求出∠EFH=∠EFA-∠HFA=50°，再利用平行线的性质可得∠DEF+∠EFH=180°，据此即可求解.
8．（2021七下·仙居期末）在螳螂的示意图中，AB∥DE，∠ABC＝126°，∠CDE＝70°，则∠BCD＝（ ）
A．14° B．16° C．18° D．20°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长CD交AB于点M，如图所示：
∵∠ABC=126°，
∴∠CBM=180°-126°=54°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE=∠M=70°，
∵∠M为△CBM的外角，
∴∠BCD=∠M-∠CBM=16°，
故答案为：B.
【分析】延长CD交AB于点M，先由题意得到∠CBM的度数，再根据平行线的性质即可得到∠CDE=∠M=70°，最后根据三角形外角的性质即可求解.
二、填空题
9．（2024七下·南海月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若，则的度数为 .
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过∠2的顶点N作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠3+∠BNM=180°，∠1=∠MNF=25°，
∴∠BNM=180°-155°=25°，
∴∠2=∠BNM+∠MNF=25°+25°=50°.
故答案为：50°.
【分析】过∠2的顶点N作MN∥AB，利用已知可推出AB∥CD∥MN，利用两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，可求出∠MNF，∠BNM的度数；然后根据∠2=∠BNM+∠MNF，代入计算可求出∠2的度数.
10．（2024七下·福田期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度．
【答案】74
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD且∠1=106°，
∴∠BAC=∠1=106°，
∵AB∥EO，
∵∠AOE=∠BAC=106°，
∴∠2=180°-∠AOE=74°.
故答案为：74．
【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的定义；先根据“两直线平行，同位角相等”得到∠BAC=∠1=106°，再由“两直线平行，内错角相等”得到∠AOE=∠BAC=106°，最后邻补角的定义求得∠2=74°.
11．（2024七下·江南期末）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波速平行射入接收天线，经反射聚集到焦点，则的度数为
【答案】82
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过O作，
∵，
∴，又，，
∴，，
∴，
故答案为：82．
【分析】过O作OH∥AB，则OH∥CD∥AB，根据平行线的性质得到∠BPH=∠ABO=37°，∠COH=∠DCO=45°，进而可求解．
12．（2024七下·义乌期中） 如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，
（1）当∠EFH＝60°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，此时∠ABC＝ 度．
【答案】（1）120
（2）160
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；邻补角
【解析】【解答】解：（1）延长CB，HG，相交于点K，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：120
（2）延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：160
【分析】（1）延长CB，HG，相交于点K，根据平行线的性质即可得到，进而即可得到∠ABK的度数，从而即可求解；
（2）延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q，先根据平行线的性质得到，进而结合题意即可求解。
13．（2023七下·石景山期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点D作DH⊥AB于点H，
∵DE//AB，DH⊥AB，
∴DH⊥DE，
∴∠EDH=90°，
∵∠EDC=150°，
∴∠CDH=∠EDC-∠EDH=60°，
∵DH⊥AB， CB⊥AB，
∴CD//DH，
∴∠GCB=∠CGH=60°，
故答案为：60.
【分析】根据题意先求出DH⊥DE，再求出∠CDH=∠EDC-∠EDH=60°，最后根据平行线的判定与性质计算求解即可。
三、解答题
14．（2024七下·乌鲁木齐期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数．
【答案】（1）证明：∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM，
∴∠AOE=∠AND，
∴OE//DM.
（2）解：AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB//CD，
∴∠BOD=∠ODC=30°，
∵∠AOF+∠BOD=180° ，
∴∠AOF= 150°，
∵OE平分∠AOF，
∴.
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF= 105° .
∵OE//DM，
∴∠ANM=∠BOE= 105°.
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE=∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质求得∠BOD，再根据邻补角的定义可求出∠AOF.根据角平分线的定义和角的和差求出∠BOE，于是可利用平行线的性质求出∠ANM的度数.
15．（2024七下·衡阳期末）图1是一辆滑轮摄影轨道车，图为其侧面示意图固定在底座于点是轨道车的“手臂”，可通过改变的度数调节车的高度在调节过程中，放摄像机的杆始终平行于．
（1）如图，调节轨道车的“手臂”，使，此时，求的度数．
（2）若图，求的度数之和．
【答案】（1）解：如图，过点作，且点在的下方．
，，
．
，
，
，
．
，，
，
．
（2）解：如图，过点作，且点在的下方．
，
．
由可得，
．
，
，
．
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）通过过拐点C作已知直线的平行线，进而利用平行线的性质将逐一求角往目标角靠拢求解即可；
（2）同理过拐点作平行线联系已知条件角与问题角的关系，此时需推理角度关系，不熟练的情况可以通过设元进行表示角度关系更为直观理解.
16．（2023七下·岳池期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．
【答案】解：方法一：如图1，延长交于点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
方法二：如图2，过点作，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即．
（任选一种方法说明即可）
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】延长交于点，利用邻补角求出，根据平行线的性质可得，再利用三角形的内角和及等量代换可得.
17．（2023七下·东阿期末）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如下图①，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APC与∠A，∠C之间的数量关系．
（1）已知AB∥CD，点P不在直线AB和直线CD上，在图①中，智慧小组发现：∠APC＝∠A+∠C．
智慧小组是这样思考的：过点P作PQ∥AB
请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程．
（2）类比思考：
①在图②中，∠APC与∠A、∠C之间的数量关系为 ；
②如图③，已知AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的数量关系为 ．
（3）解决问题：善思小组提出：如图④⑤，AB∥CD，AF、CF分别平分∠BAP、∠DCP．请分别求出图④、图⑤中，∠AFC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C，
∴∠APC＝∠A+∠C；
（2）解：∠APC+∠A+∠C＝360°；α+β-γ＝180°；
（3）解：如图④，∠AFC∠APC；理由如下：
过点P作PQ∥AB，过点F作FM∥AB，如图④所示：
∴∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF＝∠PAF，
∴∠AFM∠BAP，
∵PQ∥AB，FM∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，FM∥CD，
∴∠CPQ＝∠DCP，∠CFM＝∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF＝∠PCF，
∴∠CFM∠DCP，
∴∠APC＝∠BAP+∠DCP，∠AFC∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP），
∴∠AFC∠APC，
故答案为：∠AFC∠APC；
如图⑤，∠AFC＝180°∠APC；理由如下：
过点P作PH∥AB，过点F作FQ∥AB，延长BA到M，延长DC到N，如图⑤所示：
∴∠APH＝∠MAP，∠AFQ＝∠BAF，
∵AF平分∠BAP，
∴∠BAF＝∠PAF，
∴2∠AFQ＝∠BAP，
∵PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD，
∴PH∥CD，FQ∥CD，
∴∠CPH＝∠NCP，∠CFQ＝∠DCF，
∵CF平分∠DCP，
∴∠DCF＝∠PCF，
∴2∠CFQ＝∠DCP，
∵∠BAP+∠MAP＝180°，∠DCP+∠NCP＝180°，
∴2∠AFQ+∠APH＝180°，2∠CFQ+∠CPH＝180°，
∴2∠AFQ+∠APH+2∠CFQ+∠CPH＝360°，即2∠AFC+∠APC＝360°，
∴∠AFC＝180°∠APC．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】（2）①过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠APQ+∠A=180°，∠CPQ+∠C=180°，
∵∠APC=∠APQ+∠CPQ，
∴∠APQ+∠A+∠CPQ+∠C=∠APC+∠A+∠C＝360°
②过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，
∴∠AMQ+α=180°，∠QMD=γ ，
∵∠AMQ+∠QMD=∠β ，
∴∠AMQ+α=β-∠QMD+α =β-γ+α=180°
α+β-γ＝180°。
【分析】（1）由PQ∥AB，AB∥CD得出PQ∥CD，由平行线的性质得出 ∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C ，从而推出 ∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C ，即可得出结论；
（2）①由PQ∥AB，AB∥CD得PQ∥CD，由平行线的性质得出∠APQ+∠A=180°、∠CPQ+∠C=180°，从而推出∠APC+∠A+∠C＝360°，得出结论；
②由AB∥CD，MQ∥AB得出MQ∥CD，由平行线的性质得出∠AMQ+α=180°，∠QMD=γ，从而推出结论α+β-γ＝180°得出答案；
（3）①作图由平行线的性质得出 ∠APQ＝∠BAP，∠AFM＝∠BAF ，由角平分线的性质得出∠BAF＝∠PAF从而得出 ∠AFM∠BAP ，同理可得 ∠CFM∠DCP ，再通过转换得出 ∠AFC∠APC ；
②作图由平行线的性质得出 ∠APH＝∠MAP，∠AFQ＝∠BAF ，由角平分线的性质得出 ∠BAF＝∠PAF从而得出 2∠AFQ＝∠BAP ，由 PH∥AB，FQ∥AB，AB∥CD 得出 PH∥CD，FQ∥CD ，由平行线的性质得出 ∠CPH＝∠NCP，∠CFQ＝∠DCF ，由角平分线的性质得出 ∠DCF＝∠PCF 从而得出 2∠CFQ＝∠DCP ，推理得出答案即可。
18．（2024七下·义乌月考）根据以下素材， 探索完成任务.
如何设计板材裁切方案？
素材1
图 1 中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 ，座垫尺寸为 . 图 2 是靠背与座垫的尺寸示意图.
素材2
因学校需要， 某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现， 工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫. 已知该板材长为 ， 宽为 . (裁切时不计损耗)
（1）【拟定裁切方案】若要不造成板材浪费， 请你设计出一张该板材的所有栽切方法
（2）【确定搭配数量】若该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成多少张学生椅
【答案】（1）解：设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，
根据题意得：15x+35y=240，
∴y=，
∵x、y为非负整数，
∴x=9，y=3或x=2，y=6或x=16，y=0（舍）
∴①裁切靠背9张， 座垫3张，②裁切靠背2张， 座垫6张.
（2）解：=240（张）
∴ 该工厂购进 50 张该型号板材， 能制作成240张学生椅.
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【分析】（1）设一张板材裁切靠背x张， 座垫y张，根据题意得：15x+35y=240，求出x、y的非负整数解即可；
（2）直接列式，再计算即可.
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