2025年浙江省七年级下学期期中模拟试卷（2）[范围：1-3章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·北京市期中）下面四个图形中，能由如图经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七下·临清期中）若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3 B．5 C．－3 D．－5
3．（2025七下·上海市月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（2025七下·广东月考）飞秒也叫毫微微秒，简称.1飞秒只有1秒的一千万亿分之一，即秒.130飞秒用科学记数法可表示为（ ）
A．秒 B． 秒
C．秒 D．秒
5．（2024七下·石家庄期末）已知，，则（ ）
A．50 B．45 C．11 D．
6．（2024七下·岳阳期中）若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
7．（2024七下·浙江期中）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为( )
A． B．
C． D．
8．（2025七下·广东月考）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力N的方向与斜面垂直（），摩擦力f的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025七下·广东月考）已知，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．（2024七下·柳州期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·晋源月考）计算： ．
12．（2024七下·徐州期末）如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为 ．
13．（2025七下·金华月考）已知二元一次方程，用含的代数式表示是 ．
14．（2024七下·西湖期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
15．（2024七下·鄱阳期末）如果无理数值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们则称无理数的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则 ．
16．（2024七下·重庆市期末）对于任意一个四位数A，若A的千位数字和百位数字之和为5的倍数，十位数字和个位数字之和为6的倍数，我们称这样的四位数为“五颜六色数”．比如：数字1451，因为，，所以1451是“五颜六色数”，数字2372，因为，，所以2372不是“五颜六色数”．若数字是“五颜六色数”，其中，，，．记，，若是7的倍数，则 ，满足条件的最小的M为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七下·九江）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·泗水期末）（1）解方程组：
（2）解方程组：
19．先化简，再求值：其中
20．（2024七下·西湖期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EFBH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
21．（2024七下·宁江期末）某地区年进出口总额为亿元．年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）．
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
x y
……
（2）已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？
22．（2024七下·新津月考）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
23．（2024七下·普洱期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数；
（3）若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值．
24．（2023七下·忻州期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
（1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】图形的平移
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故答案为：B．
【分析】将代入ax-2y=1，再求出a的值即可。
3．【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；同位角的概念；真命题与假命题
4．【答案】C
【知识点】负整数指数幂；科学记数法表示大于0且小于1的数
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
6．【答案】D
【知识点】完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
∴M＝4xy，
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼
∴10x+3y=77；
∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
∴9x=5y.
∴根据题意可列出方程组；
故答案为：A.
【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质
9．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
10．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（y-）2=y2-2×y×+()2
=y2-y+.
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”进行计算即可求解．
12．【答案】16
【知识点】完全平方公式的几何背景
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：.
【分析】把2x移到等号右边，并把y的系数化为1即可.
14．【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
15．【答案】或或
【知识点】无理数的估值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，，是两个连续正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可以取，2，3，…，，
∵是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，
∴为正整数，
∴a为1~15之间的完全平方数，
∴，，，
∴ 这一无理数的“博雅区间”为或或，
∵是关于、的二元一次方程的一组正整数解，
∴当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
故答案为：或或．
【分析】先利用“和，是连续正整数”，确定的取值范围，再根据为正整数，确定、b的值，最终确定为3组值，分别计算出p即可．
16．【答案】18；
【知识点】平方差公式及应用；加减消元法解二元一次方程组
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
．
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】(1)分别化简乘方，再算乘法后合并项即可；
(2)先化简乘方，再合并同类项即可.
18．【答案】（1）；（2）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
19．【答案】解：
.
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】分别按多项式乘多项式、单项式乘多项式法则分别计算与，然后两者相减实现化简. 最后代入x值计算即可.
20．【答案】（1）证明：，
，
．
，
．
；
（2）解：，
，
平分，
．
，，
，
．
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，即可得到，然后根据等量代换得到，然后根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质求出∠BHC的度数，探后根据角的和差求出∠FHC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解题即可．
21．【答案】（1）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
根据题意可得：
解得：
∴（亿元），（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，再利用“ 进口额增加了，出口额增加了 ”列出代数式即可；
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意列出方程组 ，再求解即可.
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
解得：
∴（亿元），
（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
22．【答案】（1）；
解：（2）由题（1）知：，
．
（3）
（4）由（3）可知，
把，代入得：
．
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，
可得：，
故答案为：
（3）根据题意得：
【分析】（1）观察图，大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
【知识点】解一元一次方程；绝对值的非负性；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（1）根据非负性，得到，，解方程组即可解答；
（2）作，由平行公理的推论可得；设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质建立方程，计算即可解答．
（3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类列出方程：；；计算即可解答．
（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
24．【答案】（1）；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得
（3）解：方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
①＋②×3，得：22x=66，
∴x=3，
把x=3代入②得：y=6×3-16=2，
∴方程组的解为.
故答案为：；.
【分析】（1）设4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于m、n的方程组，解得m、n的值，得新方程组，解之得x、y的值；
（2）令2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为，解出m和n的值代入2x+y=m，x-2y=n，即可求出x和y的值；
（3）先把原方程组化为例题中的形式，根据例题中方程组的解得 ，接着解之得原方程组的解.
1 / 12025年浙江省七年级下学期期中模拟试卷（2）[范围：1-3章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·北京市期中）下面四个图形中，能由如图经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】图形的平移
2．（2022七下·临清期中）若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3 B．5 C．－3 D．－5
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故答案为：B．
【分析】将代入ax-2y=1，再求出a的值即可。
3．（2025七下·上海市月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；同位角的概念；真命题与假命题
4．（2025七下·广东月考）飞秒也叫毫微微秒，简称.1飞秒只有1秒的一千万亿分之一，即秒.130飞秒用科学记数法可表示为（ ）
A．秒 B． 秒
C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】负整数指数幂；科学记数法表示大于0且小于1的数
5．（2024七下·石家庄期末）已知，，则（ ）
A．50 B．45 C．11 D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
6．（2024七下·岳阳期中）若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
【答案】D
【知识点】完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
∴M＝4xy，
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
7．（2024七下·浙江期中）古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵77元钱共买了10斤肉和3斤鱼
∴10x+3y=77；
∵9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，
∴9x=5y.
∴根据题意可列出方程组；
故答案为：A.
【分析】根据“77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可求解.
8．（2025七下·广东月考）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下（），支持力N的方向与斜面垂直（），摩擦力f的方向与斜面平行（）．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
9．（2025七下·广东月考）已知，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
10．（2024七下·柳州期末）如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·晋源月考）计算： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（y-）2=y2-2×y×+()2
=y2-y+.
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”进行计算即可求解．
12．（2024七下·徐州期末）如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为 ．
【答案】16
【知识点】完全平方公式的几何背景
13．（2025七下·金华月考）已知二元一次方程，用含的代数式表示是 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴
故答案为：.
【分析】把2x移到等号右边，并把y的系数化为1即可.
14．（2024七下·西湖期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】
由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
15．（2024七下·鄱阳期末）如果无理数值介于两个连续正整数之间，即满足（其中，是连续正整数），我们则称无理数的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中是关于、的二元一次方程的一组正整数解，则 ．
【答案】或或
【知识点】无理数的估值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，，是两个连续正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可以取，2，3，…，，
∵是关于、的二元一次方程组的一组正整数解，
∴为正整数，
∴a为1~15之间的完全平方数，
∴，，，
∴ 这一无理数的“博雅区间”为或或，
∵是关于、的二元一次方程的一组正整数解，
∴当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
当，时，，，
∴；
故答案为：或或．
【分析】先利用“和，是连续正整数”，确定的取值范围，再根据为正整数，确定、b的值，最终确定为3组值，分别计算出p即可．
16．（2024七下·重庆市期末）对于任意一个四位数A，若A的千位数字和百位数字之和为5的倍数，十位数字和个位数字之和为6的倍数，我们称这样的四位数为“五颜六色数”．比如：数字1451，因为，，所以1451是“五颜六色数”，数字2372，因为，，所以2372不是“五颜六色数”．若数字是“五颜六色数”，其中，，，．记，，若是7的倍数，则 ，满足条件的最小的M为 ．
【答案】18；
【知识点】平方差公式及应用；加减消元法解二元一次方程组
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七下·九江）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
．
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】(1)分别化简乘方，再算乘法后合并项即可；
(2)先化简乘方，再合并同类项即可.
18．（2024七下·泗水期末）（1）解方程组：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
19．先化简，再求值：其中
【答案】解：
.
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】分别按多项式乘多项式、单项式乘多项式法则分别计算与，然后两者相减实现化简. 最后代入x值计算即可.
20．（2024七下·西湖期中）如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．
（1）求证：EFBH；
（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．
【答案】（1）证明：，
，
．
，
．
；
（2）解：，
，
平分，
．
，，
，
．
．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，即可得到，然后根据等量代换得到，然后根据同旁内角互补，两直线平行得到结论即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质求出∠BHC的度数，探后根据角的和差求出∠FHC的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补解题即可．
21．（2024七下·宁江期末）某地区年进出口总额为亿元．年进出口总额比年有所增加，其中进口额增加了，出口额增加了．（注：进出口总额进口额出口额）．
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式完成下表中两个空白处：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
x y
……
（2）已知年进出口总额比年增加了亿元，求年进口额和出口额分别是多少亿元？
【答案】（1）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）解：设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
根据题意可得：
解得：
∴（亿元），（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，再利用“ 进口额增加了，出口额增加了 ”列出代数式即可；
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意列出方程组 ，再求解即可.
（1）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，根据题意可得，
年进口额为亿元，
年出口额为亿元，
填表如下：
年份 进口额（亿元） 出口额（亿元） 进出口总额（亿元）
2022 x y
2023 ……
（2）设年进口额为x亿元，出口额为y亿元，
解得：
∴（亿元），
（亿元）
答：年进口额和出口额分别是亿元和亿元．
22．（2024七下·新津月考）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
[知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（3）根据图，写出一个代数恒等式：______；
（4）已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）；
解：（2）由题（1）知：，
．
（3）
（4）由（3）可知，
把，代入得：
．
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）用两种方法表示出个长方形的面积：即大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积，
可得：，
故答案为：
（3）根据题意得：
【分析】（1）观察图，大正方形面积减中间小正方形面积等于个长方形面积；
（2）灵活利用上题得出的结论，灵活计算求解．
（3）利用两种方式求解长方体的体积，得出关系式．
（4）利用上题得出得关系式，进行变换，即可求出答案.
23．（2024七下·普洱期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光线自顺时针转动至便立即回转，探照灯B射出的光线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光线的转动速度是/秒，探照灯B射出的光线的转动速度是/秒，且a，b满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光线到达之前，两探照灯射出的光束交于点C，若，求的度数；
（3）若探照灯B射出的光线先转动36秒后，探照灯A射出的光线才开始转动，设光线转动时间为t秒，当两探照灯的光线互相平行即时，求t的值．
【答案】（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
【知识点】解一元一次方程；绝对值的非负性；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】
（1）根据非负性，得到，，解方程组即可解答；
（2）作，由平行公理的推论可得；设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质建立方程，计算即可解答．
（3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类列出方程：；；计算即可解答．
（1）解：∵．
∴，．
∴，；
（2）解：作，
∵，
∴，
设A灯转动时间为t秒，
则，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当时，
由题意得，
解得；
②当时，
解得；
综上所述，当或两探照灯的光束互相平行．
24．（2023七下·忻州期末）综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
（1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得
（3）解：方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
①＋②×3，得：22x=66，
∴x=3，
把x=3代入②得：y=6×3-16=2，
∴方程组的解为.
故答案为：；.
【分析】（1）设4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于m、n的方程组，解得m、n的值，得新方程组，解之得x、y的值；
（2）令2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为，解出m和n的值代入2x+y=m，x-2y=n，即可求出x和y的值；
（3）先把原方程组化为例题中的形式，根据例题中方程组的解得 ，接着解之得原方程组的解.
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