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二元一次方程组 单元专项提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 满足方程组 ，则 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．﹣2
2．九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、全价咨几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为人，金价为钱，根据题意列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)+②×2
4．已知 ，那么 的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔 支，铅笔 支，根据题意，可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
6．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．小岚与小律现在的年龄分别为x岁、y岁，且x，y的关系式为3（x+2）=y，下列关于两人年龄的叙述正确是（ ）
A．两年后，小律年龄是小岚年龄的3倍
B．小岚现在年龄是小律两年后年龄的3倍
C．小律现在年龄是小岚两年后年龄的3倍
D．两年前，小岚年龄是小律年龄的3倍
8．一个人步行从A地出发，匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去.二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者的速度之比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
9．已知二元一次方程2x+3y﹣2=0，当x，y的值互为相反数时，x、y的值分别为（ ）
A．2，﹣2 B．﹣2，2 C．3，﹣3 D．﹣3，3
10．已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知方程5x＋3y＝1，改写成用含x的式子表示y的形式 ．
12．已知方程4x+3y＝12，用x的代数式表示y为 .
13．解方程组 ，小明正确解得 ，小丽只看错了c解得 ，则当x=﹣1时，代数式ax2﹣bx+c的值为 ．
14．某班有30名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去690元，其中甲种票每张25元，乙种票每张20元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组 ．
15．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有 组.
16．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）．
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组
（1）
（2）
18．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 300 400 500
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
19．已知关于x，y的方程组的解满足x＜2y，求k的非负整数值．
20．阅读以下内容：已知，满足，且求的值．
（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组再求的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值．
丙同学：先解方程组，再求的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 ▲ 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
21．甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30 000元，已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%．问甲、乙两公司各有多少人？
22．某医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械，甲器械每台2万元，乙器械每台5万元今年厂方给经销部规定了24万元的营销任务，那么该经销部要想完成任务，有哪些销售方案可选择（即甲、乙器械各销售几台）？若乙器械的利润是甲器械的3倍，要使获得利润较高，你觉得选择哪个方案更好些？
23．一个被墨水污染的方程组如下： ，小刚回忆说：这个方程组的解是 ，而我求出的解是 ，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．
24． 星期天， 小明和同学们共 8 人去郊游， 途中， 小明用 20 元钱去买可乐和奶茶， 已知可乐 2 元一杯， 奶茶 3 元一杯， 20 元钱刚好用完． 求可乐和奶茶各有多少杯． 如果设可乐有 杯， 奶茶有 杯：
（1） 请列出方程， 并探究有哪几种购买方式．
（2）每人至少一杯饮料，有哪几种购买方式？
25．小明为练习书法，去商店购买书法用品，购买发票上有部分信息不慎被墨汁污染导致无法看清，如下表所示：
名称 单价(元) 数量 金额(元)
墨水 15 ■(瓶) ■
毛笔 40 ■(支) ■
字帖 ■ 2(本) 90
合计 5(件) 185
请解答下列问题：
（1）小明购买墨水和毛笔的数量各是多少
（2）若小明再次购买墨水和字帖两种用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案
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二元一次方程组 单元专项提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 满足方程组 ，则 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．﹣2
【答案】A
【解析】【解答】解：
由①×2+②得， ，
解得：
把 代入①得， ，
当 ， 时，
另外方法：
由①+②得，
故答案为：A
【分析】先解方程组求出a、b的值，再代入求出 的值；本题还可以用加减消元法直接求出．
2．九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、全价咨几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为人，金价为钱，根据题意列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
3．利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2
B．要消去x，可以将①×3+②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5+②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)+②×2
【答案】D
【解析】【解答】解：要消去y，可以将①×3+②×5，故A，C不符合题意；
要消去x，可以将①×(－5)+②×2 ，故B不符合题意；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】观察系数特点，可知要消去y，可以将①×3+②×5，可对A，C作出判断；要消去x，可以将①×(－5)+②×2，可对B，D作出判断.
4．已知 ，那么 的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】 ，
①-②得，
x-y=-1.
故答案为：A.
【分析】观察方程组，利用第一个方程减去第二个方程即可求解.
5．买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔 支，铅笔 支，根据题意，可得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设钢笔x只，铅笔y只，根据题意得：
故答案为：D．
【分析】直接根据题目中给出的铅笔和钢笔只数的2个信息列出二元一次方程组即可。
6．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
7．小岚与小律现在的年龄分别为x岁、y岁，且x，y的关系式为3（x+2）=y，下列关于两人年龄的叙述正确是（ ）
A．两年后，小律年龄是小岚年龄的3倍
B．小岚现在年龄是小律两年后年龄的3倍
C．小律现在年龄是小岚两年后年龄的3倍
D．两年前，小岚年龄是小律年龄的3倍
【答案】C
【解析】【解答】解：由分析可得正确叙述是：小律现在年龄是小岚两年后年龄的3倍．
故选C．
【分析】这个方程反映了小岚与小律现在的年龄分别为x岁、y岁之间的关系，（x+2）表示小岚两年后年龄，3（x+2）表示小岚两年后年龄的3倍．因而这个方程表示：小律现在年龄是小岚两年后年龄的3倍．
8．一个人步行从A地出发，匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发，匀速向A地驶去.二人在途中相遇，骑车者立即把步行者送到B地，再向A地驶去，这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者的速度与步行者的速度之比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【答案】B
9．已知二元一次方程2x+3y﹣2=0，当x，y的值互为相反数时，x、y的值分别为（ ）
A．2，﹣2 B．﹣2，2 C．3，﹣3 D．﹣3，3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x，y的值互为相反数，
∴x=﹣y，
把它代入方程2x+3y﹣2=0，
解得：y=2，
∴x=﹣2．
故选B．
【分析】由题意得x=﹣y，把它代入方程2x+3y﹣2=0，解出y的值，继而能求出x的值．
10．已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知方程5x＋3y＝1，改写成用含x的式子表示y的形式 ．
【答案】
【解析】【解答】
，
，
．
故答案是
．
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的解法求出y的值即可。
12．已知方程4x+3y＝12，用x的代数式表示y为 .
【答案】y=
【解析】【解答】解：4x+3y＝12，
解得：
故答案为：
【分析】先移项、然后将y的系数化为1即可.
13．解方程组 ，小明正确解得 ，小丽只看错了c解得 ，则当x=﹣1时，代数式ax2﹣bx+c的值为 ．
【答案】6.5
【解析】【解答】解：把 代入方程组 得： ，
解②得：c=5，
把 代入ax+by=6得：﹣2a+b=6③，
由①和③组成方程组 ，
解得：a=﹣1.5，b=3，
当x=﹣1时，ax2﹣bx+c=﹣1.5×（﹣1）2﹣3×（﹣1）+5=6.5，
故答案为：6.5．
【分析】先将小明求的方程组的解代入方程组，求出c的值，再将小丽求得的解代入方程组中的第一个方程，然后建立方程组，求出方程组的解，然后将a、b的值代入代数式求值。
14．某班有30名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去690元，其中甲种票每张25元，乙种票每张20元，设购买了甲种票x张，乙种票y张，由此可列出方程组 ．
【答案】
【解析】【解答】设购买了甲种票x张，乙种票y张，根据等量关系“甲种票张数＋乙种票张数＝学生人数”和“甲种票花费的钱数＋乙种票花费的钱数＝购票共花去的费用”，列出二元一次方程组得 .
故答案是： .
【分析】设购买了甲种票x张，乙种票y张，根据等量关系“甲种票张数+乙种票张数=学生人数”和“甲种票花费的钱数+乙种票花费的钱数=购票共花去的费用”，列出二元一次方程组即可求解．
15．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有 组.
【答案】3
【解析】【解答】解：方程2x+3y=12，
解得：y=- x+4，
当x=0时，方程变形为3y=12，解得y=4；
当x=3时，方程变形为6+3y=12，解得y=2；
当x=6时，方程变形为12+3y=12，解得y=0；
∴关于x，y的二元一次方程2x+3y=12的非负整数解有3组： 、 和 .
故答案为：3.
【分析】首先用含x的式子表示出y，然后分x=0、3、6分别求出y的值，据此可得二元一次方程的非负整数解.
16．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为 （斛：古量器名，容量单位）．
【答案】
三、解答题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
18．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 300 400 500
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】（1）需甲车型8辆，需车型10辆
（2）甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3；
（3）方案的运费是6500元
19．已知关于x，y的方程组的解满足x＜2y，求k的非负整数值．
【答案】解：两个方程相加得x=k+3，
两个方程相减得，y=3，
∵x＜2y，
∴k+3＜6，
解得k＜3，
∴k的非负整数值0，1，2．
【解析】【分析】先解方程组得出xy的值，再根据x＜2y，求出k的取值范围，再得出k的非负整数值即可．
20．阅读以下内容：已知，满足，且求的值．
（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组再求的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值．
丙同学：先解方程组，再求的值．
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 ▲ 同学的思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】解：乙；
甲同学：解得
把代入，得
解得：=4
乙同学：
①+②得
，即：
∵
∴
解得=4
丙同学：
解得
把代入得
解得=4
综合上述，甲的解法比较繁琐，计算量大，乙同学的做法比较巧，计算量也小，所以我选乙.
故答案为：乙
【解析】【分析】利用加减消元法和代入消元法求解二元一次方程组的方法求解即可。
21．甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30 000元，已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%．问甲、乙两公司各有多少人？
【答案】解：设甲公司有x人，乙公司有y人．
依题意有： ，
解得： ，
经检验： 是原方程组的解．
答：甲公司300人，乙公司250人
【解析】【分析】本题的等量关系是：甲公司的人均捐款+20=乙公司的人均捐款．
甲公司的人数=乙公司的人数×（1+20%）．根据这两个等量关系可得出方程组求解．
22．某医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械，甲器械每台2万元，乙器械每台5万元今年厂方给经销部规定了24万元的营销任务，那么该经销部要想完成任务，有哪些销售方案可选择（即甲、乙器械各销售几台）？若乙器械的利润是甲器械的3倍，要使获得利润较高，你觉得选择哪个方案更好些？
【答案】解：设分别销售甲、乙两种医疗器械x、y台，
由题意得，2x+5y=24，
∵2x与24都是偶数，
∴5y也是偶数，
∴y=2时，x=7，
y=4时，x=2，
故，销售方案为：方案一，销售甲器械7台，乙器械2台，
方案二，销售甲器械2台，乙器械4台；
设甲器械每台的利润为a万元，则乙器械每台的利润为3a万元，
方案一利润，7a+2 3a=13a，
方案二利润，2a+4 3a=14a，
∵13a＜14a，
∴选择方案二更好些.
【解析】【分析】设分别销售甲、乙两种医疗器械x、y台，由题意可得相等关系：甲医疗器械的销售额+乙医疗器械的销售额=24，根据相等关系列方程，由x、y都是整数可求得x、y的值；再分别计算每一种销售方案的利润，比较两种方案的利润即可判断求解.
23．一个被墨水污染的方程组如下： ，小刚回忆说：这个方程组的解是 ，而我求出的解是 ，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．
【答案】解：设被滴上墨水的方程组为 ，
由小刚所说，知 和 都是原方程组中第一个方程ax+by=2的解，
则有 ，
解之，得 ．
又因方程组的解是 ，
所以3m+14=8，
m=﹣2．
故所求方程组为
【解析】【分析】设方程组为 ，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将 代入第二方程得到m的值，即可得出答案．
24． 星期天， 小明和同学们共 8 人去郊游， 途中， 小明用 20 元钱去买可乐和奶茶， 已知可乐 2 元一杯， 奶茶 3 元一杯， 20 元钱刚好用完． 求可乐和奶茶各有多少杯． 如果设可乐有 杯， 奶茶有 杯：
（1） 请列出方程， 并探究有哪几种购买方式．
（2）每人至少一杯饮料，有哪几种购买方式？
【答案】（1）解：列方程为 。
．
.
当 时， ； 当 时， ；
当 时， ； 当 时， ；
即有 4 种则买方式：
①购买 10 林可乐和 0 杯奶茶；
②购买 7 杯可乐和 2 杯奶茶；
③购买 4 杯可乐和 4 杯奶茶；
④则买 1 杯可乐和 6 杯奶茶．
（2）解：有 2 种购买方式：
①购买 7 杯可乐和 2 杯奶茶；
②购买 4 杯可乐和 4 杯奶茶．
【解析】【分析】（1）按题干等量关系“可乐总价钱+奶茶总价钱=20元”，结合所设x、y，列出方程. 再根据x、y必然非负整数以及y必然能整除2（由方程易知）列出所有的解、购买方式；
（2）每人至少一杯饮料，可得到关系式为：可乐杯数+奶茶杯数≥8，然后从（1）所得的结果中选择符合该关系式的购买方式即可.
25．小明为练习书法，去商店购买书法用品，购买发票上有部分信息不慎被墨汁污染导致无法看清，如下表所示：
名称 单价(元) 数量 金额(元)
墨水 15 ■(瓶) ■
毛笔 40 ■(支) ■
字帖 ■ 2(本) 90
合计 5(件) 185
请解答下列问题：
（1）小明购买墨水和毛笔的数量各是多少
（2）若小明再次购买墨水和字帖两种用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案
【答案】（1）解：设小明购买墨水x瓶，购买毛笔y支，
解得：，
∴小明购买墨水1瓶，购买毛笔2支，
（2）解：由题意得到字帖的单价为45元，
设再次购买墨水x瓶，字帖y本，
∴
∴
∵x和y均为正整数，
∴当时，
当时，
当时，
∴有三种购买方案，方案一：购买1瓶墨水，3本字帖；方案二：购买4 瓶墨水，2 本字帖；
方案三：购买7瓶墨水，1本字帖
【解析】【分析】（1）设小明购买墨水x瓶，购买毛笔y支，根据题意列出方程组，解此方程组即可求解；
（2）由题意得到字帖的单价为45元，设再次购买墨水x瓶，字帖y本，则化简得到然后根据题意求出x和y的值，即可求解.
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