(共30张PPT)
（浙教版）七年级
下
4.1因式分解的意义
因式分解
第4章
“四”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.了解因式分解的概念。
2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。
新知导入如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法 新知讲解
任务一：因式分解
前面我们学过整式的乘法,
例如两个整式x和x-y相乘的积是x-xy,即x(x-y)=x2-xy。
根据等式的性质,可得x-xy=x(x-y)。
像这样把多项式x 一xy转化为两个整式x与x一y的积的形式,是一种重要的代数式变形。
新知讲解
a(a+1)= a2+a=
(a+b)(a-b)= a2-b2=
(a+1)2= a2+2a+1=
a2+a
a2-b2
(a+b)(a-b)
a2+2a+1
(a+1)2
a(a+1)
整式的乘法
多项式转化为几个整式的积
请观察下面两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？
整式的积
多项式
多项式
整式的积
新知讲解
因式分解：
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
注意：１．变形对象：多项式
２．变形结果：几个整式的积
新知讲解
任务二：因式分解与整式乘法的关系
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征是？
左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是方向相反的变形，即
可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法,检验因式分解的正确性。
新知讲解
因式分解与整式乘法的关系：
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是
积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。
即：多项式 整式的积
新知讲解
例 检验下列因式分解是否正确。
(1) x2y-xy2=xy(x-y);
(2) 2x -1=(2x+1)(2x-1);
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)。
分析:检验因式分解是否正确,只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。
新知讲解
例 检验下列因式分解是否正确。
(1) x2y-xy2=xy(x-y);
(2) 2x -1=(2x+1)(2x-1);
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)。
解:(1) 因为xy(x-y)=xy·x-xy·y=x2y-xy2,所以该因式分解正确;
(2)因为(2x+1)(2x-1)=4x -1≠2x2-1,所以该因式分解不正确;
(3)因为(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2,所以该因式分解正确。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列式子的变形是因式分解的为( )
A. x2-5x+6=x(x-5)+6 B. x2-5x+5=x2-5(x-1)
C. (x-2)(x-3)=x2-5x+6 D. x2-6x+9=(x-3)2
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.已知多项式x2－kx＋6因式分解后有一个因式为x－3，则k的值为( )
A．－5 B．5 C．－6 D．6
B
3．简便方法计算下面各题:
(1) -27×5.6+79×(-5.6)+0.6×56;
(2) 39×37-13×34.
解： (1) 原式=-27×5.6-79×5.6+6×5.6=5.6×(-27-79+6)
=5.6×(-100)=-560
(2) 原式=39×37-13×3×33=39×37-39×27
=39×(37-27)=39×10=390
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图)．根据图示可以验证的等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
A
5.若多项式x2+px-6分解因式的结果为(x+m)(x+n),其中m,n为整数,则符合条件的p的值有 个.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4
【综合拓展类作业】
课堂练习
6. 阅读材料:
已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式及m的值.
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n).
所以x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.
所以解得
所以另一个因式为x-7,m的值为-21.
【综合拓展类作业】
课堂练习
仿照材料中的方法解答下面的问题:
(1) 已知二次三项式x2-5x+a有一个因式为x-2,求另一个因式及a的值;
(2) 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值.
解：(1) 设另一个因式为x+b,则x2-5x+a=(x-2)(x+b).
所以x2-5x+a=x2+(b-2)x-2b.所以解得
所以另一个因式为x-3,a的值为6
【综合拓展类作业】
课堂练习
仿照材料中的方法解答下面的问题:
(1) 已知二次三项式x2-5x+a有一个因式为x-2,求另一个因式及a的值;
(2) 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值.
解：(2) 设另一个因式为x+c,则2x2+3x-k=(2x-5)(x+c).
所以2x2+3x-k=2x2+(2c-5)x-5c.所以解得
所以另一个因式为x+4,k的值为20
课堂总结
1.因式分解：
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
2.因式分解与整式乘法的关系：
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。
即：多项式 整式的积
板书设计
1.因式分解：
2.因式分解与整式乘法的关系：
课题：4.1因式分解的意义
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．下列代数式变形中，哪一项是分解因式？( )
A．a(a－2)＝a2－2a
B．m2－4－n＝(m＋2)(m－2)－n
C．9x2－6x＋2＝(3x－1)2＋1
D．y2＋2y＋1＝(y＋1)2
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．下列多项式分解因式的结果为-(2a+b)·(2a-b)的是( )
A. 4a2-b2 B. 4a2+b2 C. -4a2-b2 D. -4a2+b2
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝－3
B
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
4.若多项式M+81b4分解因式的结果为(4a2+9b2)(2a+3b)(3b-2a),则M等于( )
A. 16a4 B. -16a4 C. 4a2 D. -4a2
B
5.若4a2+kab+9b2分解因式的结果为(2a-3b)2,则k的值为 .
-12
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
6.将多项式x2－3x＋2分解因式：x2－3x＋2＝(x－2)(x－1)，说明多项式x2－3x＋2有一个因式为x－1，还可知：当x－1＝0时，x2－3x＋2＝0.
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式x2＋kx－8有一个因式为x－2，求k的值；
【综合拓展类作业】
作业布置
解：（1）令x－2＝0，即当x＝2时，
4＋2k－8＝0，解得k＝2；
6.将多项式x2－3x＋2分解因式：x2－3x＋2＝(x－2)(x－1)，说明多项式x2－3x＋2有一个因式为x－1，还可知：当x－1＝0时，x2－3x＋2＝0.
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(2)若x＋2，x－1是多项式2x3＋ax2＋7x＋b的两个因式，求a，b的值．
【综合拓展类作业】
作业布置
解：（2）令x＝－2，则－16＋4a－14＋b＝0①，
令x＝1，则2＋a＋7＋b＝0②，
由①②得a＝13，b＝－22.
Thanks!
2
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分课时教学设计
《4.1因式分解的意义》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是因式分解的概念及因式分解与整式的乘法的关系。因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系，因式分解是后续学习分式。一元二次方程、二次函数等知识的基础，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础.分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用.
学习者分析 因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形，七年级学生好奇心强，对新内容感兴趣，但学习急于求成，第一次接触时在理解还不够深入，学生有时会出现因式分解后又后反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。在教学中教师要对他们进行学法指导，尤其要对他们进行数学学习方法和数学思想的培养。
教学目标 1.了解因式分解的概念。 2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。
教学重点 理解因式分解的概念。
教学难点 理解因式分解与整式乘法的关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc 学生活动1： 学生动脑进行思考，积极举手回答.活动意图说明： 通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：因式分解教师活动2： 前面我们学过整式的乘法, 例如两个整式x和x-y相乘的积是x-xy,即x(x-y)=x2-xy。 根据等式的性质,可得x-xy=x(x-y)。 像这样把多项式x 一xy转化为两个整式x与x一y的积的形式,是一种重要的代数式变形。 请观察下面两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系？ 因式分解： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。 注意：１．变形对象：多项式 ２．变形结果：几个整式的积学生活动2： 学生听讲. 学生小组合作，思考回答。 学生理解因式分解的概念。 活动意图说明： 通过观察、归纳、辨析等认知活动，认识到从多项式到整式的积的形式的合理性，初步形成因式分解的概念。环节三：因式分解与整式乘法的关系教师活动3： 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是方向相反的变形，即 可以用整式的乘法运算来帮助我们寻找因式分解的方法,检验因式分解的正确性。 x2-1 =(x+1)(x-1)等式的特征是 左边是多项式，右边是几个整式的乘积 因式分解与整式乘法的关系： 整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是 积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。 即：多项式 整式的积 例 检验下列因式分解是否正确。 (1) x2y-xy2=xy(x-y); (2) 2x -1=(2x+1)(2x-1); (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)。 分析:检验因式分解是否正确,只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等。 解:(1) 因为xy(x-y)=xy·x-xy·y=x2y-xy2,所以该因式分解正确; (2)因为(2x+1)(2x-1)=4x -1≠2x2-1,所以该因式分解不正确; (3)因为(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2,所以该因式分解正确。学生活动3： 学生小组合作交流，思考. 学生与教师一起总结因式分解与整式乘法的关系。 学生独立完成例题，举手展示答案。 活动意图说明： 通过实际例子，让学生体会并总结因式分解与整式乘法的关系，提高学生的观察，总结归纳能力；通过例题，检验学生对因式分解的掌握程度，提高学生的运算能力。
板书设计 课题：4.1因式分解的意义 1.因式分解： 2.因式分解与整式乘法的关系：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列式子的变形是因式分解的为( D ) A. x2-5x+6=x(x-5)+6 B. x2-5x+5=x2-5(x-1) C. (x-2)(x-3)=x2-5x+6 D. x2-6x+9=(x-3)2 2.已知多项式x2－kx＋6因式分解后有一个因式为x－3，则k的值为( B ) A．－5 B．5 C．－6 D．6 3．简便方法计算下面各题: (1) -27×5.6+79×(-5.6)+0.6×56; (2) 39×37-13×34. 解： (1) 原式=-27×5.6-79×5.6+6×5.6=5.6×(-27-79+6) =5.6×(-100)=-560 (2) 原式=39×37-13×3×33=39×37-39×27 =39×(37-27)=39×10=390 选做题： 4.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图)．根据图示可以验证的等式是( A ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a2－ab＝a(a－b) 5.若多项式x2+px-6分解因式的结果为(x+m)(x+n),其中m,n为整数,则符合条件的p的值有 4 个. 【综合拓展类作业】 6. 阅读材料: 已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式及m的值. 解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n). 所以x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. 所以解得 所以另一个因式为x-7,m的值为-21. 仿照材料中的方法解答下面的问题: (1) 已知二次三项式x2-5x+a有一个因式为x-2,求另一个因式及a的值; (2) 已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式及k的值. 解：(1) 设另一个因式为x+b,则x2-5x+a=(x-2)(x+b). 所以x2-5x+a=x2+(b-2)x-2b.所以解得 所以另一个因式为x-3,a的值为6 (2) 设另一个因式为x+c,则2x2+3x-k=(2x-5)(x+c). 所以2x2+3x-k=2x2+(2c-5)x-5c.所以解得 所以另一个因式为x+4,k的值为20
课堂总结 1.因式分解： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系： 整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形。 即：多项式 整式的积
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列代数式变形中，哪一项是分解因式？( D ) A．a(a－2)＝a2－2a B．m2－4－n＝(m＋2)(m－2)－n C．9x2－6x＋2＝(3x－1)2＋1 D．y2＋2y＋1＝(y＋1)2 2．下列多项式分解因式的结果为-(2a+b)·(2a-b)的是( D ) A. 4a2-b2 B. 4a2+b2 C. -4a2-b2 D. -4a2+b2 3．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( B ) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3 选做题： 4．若多项式M+81b4分解因式的结果为(4a2+9b2)(2a+3b)(3b-2a),则M等于( B ) A. 16a4 B. -16a4 C. 4a2 D. -4a2 5．若4a2+kab+9b2分解因式的结果为(2a-3b)2,则k的值为 -12 . 【综合拓展类作业】 6.将多项式x2－3x＋2分解因式：x2－3x＋2＝(x－2)(x－1)，说明多项式x2－3x＋2有一个因式为x－1，还可知：当x－1＝0时，x2－3x＋2＝0. 利用上述阅读材料解答以下两个问题： 若多项式x2＋kx－8有一个因式为x－2，求k的值； (2)若x＋2，x－1是多项式2x3＋ax2＋7x＋b的两个因式，求a，b的值． 解：（1）令x－2＝0，即当x＝2时， 4＋2k－8＝0，解得k＝2； （2）令x＝－2，则－16＋4a－14＋b＝0①， 令x＝1，则2＋a＋7＋b＝0②， 由①②得a＝13，b＝－22.
教学反思 学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系.分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续一一分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径.分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用.根据本节课内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，培养学生的创新能力，我采用演示、讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学，呈现知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，使数学教学成为学生“探索、发现、再发现、创造”的过程.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册、第4章
课标要求 【内容要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。【学业要求】能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章主要内容：（1）因式分解的意义；（2）提取公因式法；（3）用乘法公式分解因式。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生已经熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好根底，由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底.所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。学生已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识.对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以与要求分解彻底等是又一个难点。
单元目标 教学目标1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。2.会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）。3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。(二)教学重点、难点教学重点：能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进展因式分解。教学难点：分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义1课时4.2提取公因式法1课时4.3用乘法公式分解因式2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解的意义1.了解因式分解的概念。2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。1.了解因式分解的概念。2.知道因式分解与整式的乘法的区别与联系3.会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。任务一：设置问题，引出新课任务二：因式分解任务三：因式分解与整式乘法的关系4.2提取公因式法1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。3.进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用。1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。任务一：设置问题，引出新课任务二：公因式任务三：提取公因式法分解因式4.3用乘法公式分解因式（第1课时）1.会用平方差公式分解因式，进一步掌握因式分解的一般步骤；2.培养学生逆向思维能力，进一步体会整体、转化思想的应用.1.掌握因式分解平方差公式。2.会用平方差公式分解因式，进一步掌握因式分解的一般步骤。任务一：设置问题，引出新课任务二：用平方差公式分解因式4.3用乘法公式分解因式（第2课时）1.理解完全平方公式的特点；2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．1.理解完全平方公式的特点；2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．任务一：设置问题，引出新课任务二：用完全平方公式分解因式
《第4章 》因式分解 单元教学设计
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