(共33张PPT)
（浙教版）七年级
下
4.2提取公因式法
因式分解
第4章
“四”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。
2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。
3.进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用。
新知导入
一幢房屋一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成(如图)。若把该墙面设计成长方形,面积保持不变，且底边长仍为a,则高度应为多少
新知讲解
任务一：公因式
由m(a+b)=ma+mb,
可知ma+mb=m(a+b)。
ma，mb有什么特点？
有相同因式m
2ab，4abc呢？
有相同因式2ab
新知讲解
pa+pb+pc
相同因式p
问题：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
新知讲解
公因式：
一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫作这个多项式各项的公因式。
例如：m是多项式ma+mb各项的公因式,
2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式。
新知讲解
找 3x 2 – 6 xy 的公因式。
系数：
最大公因数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是3x
指数：
相同字母的最低次数
1
问题：如何确定一个多项式的公因式？
新知讲解
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
新知讲解
任务二：提取公因式法分解因式
由m(a+b)=ma+mb,
可知ma+mb=m(a+b)。
应用这一事实,怎样把多项式2ab+4abc分解因式
2ab+4abc
＝2ab 1+2ab 2c
＝2ab（1+2c）
ma+mb
相同因式
m
2ab+4abc
相同因式
2ab
新知讲解
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
提取公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法.
新知讲解
例1 把下列各式分解因式:
(1) 2x3＋6x2 ； (2) 3pq3＋15p3q；
(3) －4x2＋8ax＋2x ；(4) －3ab＋6abx－9aby.
解：(1) 2x3＋6x2＝2x2(x＋3).
(2) 3pq3＋15p3q＝3pq(q2＋5p2).
(3)－4x2＋8ax＋2x＝－2x(2x－4a－1).
(4)－3ab＋6abx－9aby＝－3ab(1－2x＋3y).
当多项式第一项的系数是负数时，可以先提出负号，但要注意括号里的各项都要变号。
新知讲解
提取公因式法的一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
新知讲解
注意：
1.公因式要提尽。分解因式的最后结果中，每个因式中不能含有同类项和公因式。
2.某项提出莫漏1。当多项式中某一项恰好与公因式相同时，该项提取公因式后剩下的应为1。
3.首项有负常提负。多项式第一项系数为负时，一般提出负号，且各项都变号。
新知讲解
例2 把2(a-b)2-a+b分解因式.
分析：把-a+b变形成-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把(a-b)看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b).
解: 2(a-b) -a+b=2(a-b) -(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1)。
在求解时,我们把-a+b加上括号,变形成-(a-b),而不改变-a+b的值,这种方法叫作添括号。
新知讲解
添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.多项式8x2y4-12xy2z的公因式为 ( )
A. 4x2y2 B. 4xyz C. 4x2y4 D. 4xy2
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2)
B．2(a2－2a)
C．a(2a－4)
D．(a－2)(a＋2)
A
3．分解因式:
(1) 6ab-8b2;(2) -2x3y2+8x2y2-x3y3;
(3) (9x+y)(2y-x)-(3x+2y)(x-2y);(4) x2(a-1)+x(1-a).
解： (1) 2b(3a-4b)
(2) -x2y2(2x-8+xy)
(3) 3(2y-x)(4x+y)
(4) x(a-1)(x-1)
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1
B．x2＋x＋1
C．x2－x－1
D．x2＋x－1
B
5．长、宽分别为a,b的长方形的周长为20,面积为16,则a2b+ab2的值为 .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
160
【综合拓展类作业】
课堂练习
6. 利用提取公因式法说明:对于任意正整数n,2n+4-2n必有一个因数30.
解：因为2n+4-2n=2n×(24-1)=2n×15=2n-1×2×15=30×2n-1,
所以对于任意正整数n,2n+4-2n必有一个因数30
课堂总结
1.公因式：
一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫作这个多项式各项的公因式。
2.提取公因式：
如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法.
课堂总结
3.提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式；
（2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
4.添括号法则：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
板书设计
1.公因式：
2.提取公因式法分解因式：
课题：4.2提取公因式法
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．将多项式2a2－4ab因式分解应提取的公因式是( )
A．a
B．2a
C．2ab
D．4a2b
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．将多项式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提取公因式y(a-b)后,另一个因式为( )
A. x2-x+1 B. x2+x+1
C. x2-x-1 D. x2+x-1
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3．因式分解：
(1)m(m－n)＋3n(n－m)；(2)6a(b－a)2－3(a－b)3.
解：(1) m(m－n)＋3n(n－m)
＝m(m－n)－3n(m－n)＝(m－n)(m－3n)．
(2) 6a(b－a)2－3(a－b)3＝6a(a－b)2－3(a－b)3
＝3(a－b)2(2a－a＋b)＝3(a－b)2(a＋b)．
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
4.把多项式a3b4-abnc(n为正整数)分解因式时,提取的公因式为ab4,则n的值可能为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
A
5.若实数a,b满足a=5-2b,a2b+2ab2=-10,则ab的值是( )
A. -2 B. 2 C. -50 D. 50
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
6.已知a，b，c满足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ca＋c＋a＝3，求(a＋1)(b＋1)(c＋1)的值(a，b，c均为正数)．
解：由题意，得ab＋a＋b＝3，
∴(a＋1)(b＋1)＝4.
同理可得(b＋1)(c＋1)＝4，(a＋1)(c＋1)＝4.
∴[(a＋1)(b＋1)(c＋1)]2＝4×4×4＝64.
∵a，b，c均为正数，∴(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝8.
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2
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分课时教学设计
《4.2提取公因式法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是提取公因式法。要求学生能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。学生在经历探索多项式各项公因式的过程，体会数学化归思想。本节课的学习为下面学习用乘法公式分解因式作铺垫。
学习者分析 学生在小学时已经学习了关于把一个数分解为若干因数的乘积的知识，之后又系统学习了整式乘法的相关知识，对于本堂课的学习有了一定基础。同时七年级的学生具有好动、好间、好奇的心理特征，课堂上教师应该发挥引导者的作用，由浅入深的启发诱导，让学生多动脑、动手、动口，提高学生学习的积极性和主动性。
教学目标 1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。 2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。 3.进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用。
教学重点 掌握用提公因式法把多项式分解因式.
教学难点 正确地确定多项式的最大公因式.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 一幢房屋一面墙的形状由一个长方形和一个三角形组成(如图)。若把该墙面设计成长方形,面积保持不变，且底边长仍为a,则高度应为多少 学生活动1： 学生动脑进行思考.活动意图说明： 通过设置问题，从身边浅显的问题出发，激起学生求知的兴趣，即体现数学知识源于生活，又能很好地激发学生学习的兴趣。环节二：公因式教师活动2： 由m(a+b)=ma+mb, 可知ma+mb=m(a+b)。 ma，mb有什么特点？ 有相同因式m 2ab，4abc呢？ 有相同因式2ab 问题：观察下列多项式，它们有什么共同特点？ 公因式： 一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫作这个多项式各项的公因式。 例如：m是多项式ma+mb各项的公因式, 2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式。 问题：如何确定一个多项式的公因式？ 正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 学生活动2： 学生思考并回答问题. 学生理解公因式的概念。 学生掌握正确找出多项式的公因式的步骤。 活动意图说明： 通过设置问题，让学生发现、总结得出公因式的概念，提高学生的观察及总结归纳能力；通过实际例题，让学生总结出找出多项式的公因式的步骤，培养学生的逻辑思考及归纳能力。环节三：提取公因式法分解因式教师活动3： 由m(a+b)=ma+mb, 可知ma+mb=m(a+b)。 应用这一事实,怎样把多项式2ab+4abc分解因式 2ab+4abc ＝2ab 1+2ab 2c ＝2ab（1+2c） 提取公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法. 例1 把下列各式分解因式: (1) 2x3＋6x2 ； (2) 3pq3＋15p3q； (3) －4x2＋8ax＋2x ；(4) －3ab＋6abx－9aby. 解：(1) 2x3＋6x2＝2x2(x＋3). (2) 3pq3＋15p3q＝3pq(q2＋5p2). (3)－4x2＋8ax＋2x＝－2x(2x－4a－1). (4)－3ab＋6abx－9aby＝－3ab(1－2x＋3y). 当多项式第一项的系数是负数时，可以先提出负号，但要注意括号里的各项都要变号。 提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式； （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式. 注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式. 注意： 1.公因式要提尽。分解因式的最后结果中，每个因式中不能含有同类项和公因式。 2.某项提出莫漏1。当多项式中某一项恰好与公因式相同时，该项提取公因式后剩下的应为1。 3.首项有负常提负。多项式第一项系数为负时，一般提出负号，且各项都变号。 例2 把2(a-b)2-a+b分解因式. 分析：把-a+b变形成-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把(a-b)看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b). 解: 2(a-b) -a+b=2(a-b) -(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)。 在求解时,我们把-a+b加上括号,变形成-(a-b),而不改变-a+b的值,这种方法叫作添括号。 添括号法则： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.学生活动3： 学生思考回答问题. 学生理解提取公因式法的概念。 学生独立完成例题，并举手展示答案。 学生与教师一起总结提取公因式法的一般步骤。 学生完成例题，相互交流答案。 学生通过例题，在教师的引导下总结出添括号法则。 活动意图说明： 通过实际例子，让学生总结出提公因式法的概念，培养学生的总结能力；展示例题，让学生加强对提公因式法的理解与掌握，提高运算能力，通过例题，得出提公因式法的步骤及添括号法则，培养学生的总结归纳能力。
板书设计 课题：4.2提取公因式法 1.公因式： 2.提取公因式法分解因式：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.多项式8x2y4-12xy2z的公因式为 ( D ) A. 4x2y2 B. 4xyz C. 4x2y4 D. 4xy2 2.把2a2－4a因式分解的最终结果是( A ) A．2a(a－2) B．2(a2－2a) C．a(2a－4) D．(a－2)(a＋2) 3．分解因式: (1) 6ab-8b2;(2) -2x3y2+8x2y2-x3y3; (3) (9x+y)(2y-x)-(3x+2y)(x-2y);(4) x2(a-1)+x(1-a). 解： (1) 2b(3a-4b) (2) -x2y2(2x-8+xy) (3) 3(2y-x)(4x+y) (4) x(a-1)(x-1) 选做题： 4.多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( B ) A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1 C．x2－x－1 D．x2＋x－1 5.长、宽分别为a,b的长方形的周长为20,面积为16,则a2b+ab2的值为 160 . 【综合拓展类作业】 6. 利用提取公因式法说明:对于任意正整数n,2n+4-2n必有一个因数30. 解：因为2n+4-2n=2n×(24-1)=2n×15=2n-1×2×15=30×2n-1, 所以对于任意正整数n,2n+4-2n必有一个因数30.
课堂总结 1.公因式： 一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫作这个多项式各项的公因式。 2.提取公因式： 如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法. 3.提取公因式法的一般步骤： （1）确定应提取的公因式； （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式. 4.添括号法则： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．将多项式2a2－4ab因式分解应提取的公因式是( B ) A．a B．2a C．2ab D．4a2b 2．将多项式x2y(a-b)-xy(b-a)+y(a-b)提取公因式y(a-b)后,另一个因式为( B ) A. x2-x+1 B. x2+x+1 C. x2-x-1 D. x2+x-1 3．因式分解： (1)m(m－n)＋3n(n－m)；(2)6a(b－a)2－3(a－b)3. 解：(1) m(m－n)＋3n(n－m) ＝m(m－n)－3n(m－n)＝(m－n)(m－3n)． (2) 6a(b－a)2－3(a－b)3＝6a(a－b)2－3(a－b)3 ＝3(a－b)2(2a－a＋b)＝3(a－b)2(a＋b)． 选做题： 4．把多项式a3b4-abnc(n为正整数)分解因式时,提取的公因式为ab4,则n的值可能为( A ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5．若实数a,b满足a=5-2b,a2b+2ab2=-10,则ab的值是( A ) A. -2 B. 2 C. -50 D. 50 【综合拓展类作业】 6.已知a，b，c满足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ca＋c＋a＝3，求(a＋1)(b＋1)(c＋1)的值(a，b，c均为正数)． 解：由题意，得ab＋a＋b＝3， ∴(a＋1)(b＋1)＝4. 同理可得(b＋1)(c＋1)＝4，(a＋1)(c＋1)＝4. ∴[(a＋1)(b＋1)(c＋1)]2＝4×4×4＝64. ∵a，b，c均为正数，∴(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝8.
教学反思 本节课要求学生能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式. 使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解。 培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册、第4章
课标要求 【内容要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。【学业要求】能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章主要内容：（1）因式分解的意义；（2）提取公因式法；（3）用乘法公式分解因式。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生已经熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好根底，由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底.所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。学生已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识.对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以与要求分解彻底等是又一个难点。
单元目标 教学目标1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。2.会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）。3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。(二)教学重点、难点教学重点：能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进展因式分解。教学难点：分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义1课时4.2提取公因式法1课时4.3用乘法公式分解因式2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解的意义1.了解因式分解的概念。2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。1.了解因式分解的概念。2.知道因式分解与整式的乘法的区别与联系3.会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。任务一：设置问题，引出新课任务二：因式分解任务三：因式分解与整式乘法的关系4.2提取公因式法1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。3.进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用。1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。任务一：设置问题，引出新课任务二：公因式任务三：提取公因式法分解因式4.3用乘法公式分解因式（第1课时）1.会用平方差公式分解因式，进一步掌握因式分解的一般步骤；2.培养学生逆向思维能力，进一步体会整体、转化思想的应用.1.掌握因式分解平方差公式。2.会用平方差公式分解因式，进一步掌握因式分解的一般步骤。任务一：设置问题，引出新课任务二：用平方差公式分解因式4.3用乘法公式分解因式（第2课时）1.理解完全平方公式的特点；2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．1.理解完全平方公式的特点；2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．任务一：设置问题，引出新课任务二：用完全平方公式分解因式
《第4章 》因式分解 单元教学设计
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