第四章因式分解（A卷）单元测试（含解析）

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第四章因式分解（A卷）单元测试浙教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m
B．
C．n（a+b）＝na+nb
D．x2+2x+1＝（x+1）2
2．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
3．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．若a+b＝0，ab＝﹣11，则a2+b2的值是（　　）
A．﹣11 B．11 C．﹣22 D．22
5．化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025
6．若a+x2＝2021，b+x2＝2022，c+x2＝2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如果x﹣2是ax2﹣bx+2的一个因式，则2a﹣b的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2＝bc﹣ac，则△ABC为（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．分解因式：3ay2﹣3ax2＝　 　 ．
10．若分解因式：x2+3x＝x（x+k），则k的值为　 　 ．
11．若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　 　 ．
12．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2025＝　 　
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．分解因式：
（1）a2b﹣4a2b2+ab．
（2）m3﹣4m．
14．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法．
（1）结合图1、图2试着分解因式：a2+3ab+2b2＝ 　 　 ；
（2）类比上述用纸片拼图分解因式的方法：
①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形；
②你的拼图共用了 　 　 张A纸片，　 　 张B纸片，　 　 张C纸片；
③结合你的拼图过程，分解因式3a2+4ab+b2＝ 　 　 ．
15．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
16．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b．
（1）观察图形，把多项式2a2+5ab+2b2进行因式分解；
（2）若这张大长方形纸板的周长为78cm，图中空白部分的面积为120cm2，求图中阴影部分的面积．
17．阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例1：因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）
例2：若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2﹣16x+60；
（2）求代数式﹣x2+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+4b+6c﹣13，试判断三角形的形状．
18．一个四位数M，它的千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，且ad≠0．
（1）用含a、b、c、d的代数式表示M；
（2）如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个数M可以被3整除，为什么？
（3）若M各个数位的数字之和为4的倍数，称这样的数为“瓷韵数”，如6235，6+2+3+5＝16＝4×4，所以6235是“瓷韵数”；如2573，2+5+7+3＝17，17不是4的倍数，所以2573不是“瓷韵数”．“瓷韵数”M中，a+b+c＝2d﹣2，交换M的千位与个位数字得到新四位数M1，记，若的值为整数，求M的最大值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
2．【解答】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2+b2＝b2﹣a2，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
C、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2﹣2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：B．
3．【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，
∴
xy（x2+2xy+y2）
xy（x+y）2
＝﹣2．
故选：A．
4．【解答】解：由条件可知（a+b）2＝a2+b2+2ab＝0，
∵ab＝﹣11，
∴a2+b2+2×（﹣11）＝0，
∴a2+b2＝22，
故选：D．
5．【解答】解：原式＝﹣22025+22026
＝22025×（﹣1+2）
＝22025；
故选：D．
6．【解答】解：由题意知，a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝3．
故选：D．
7．【解答】解：由条件可知当x＝2时，ax2﹣bx+2＝4a﹣2b+2＝0，
解得：2a﹣b＝﹣1，
故选：B．
8．【解答】解：a2﹣b2＝bc﹣ac，
（a+b）（a﹣b）＝﹣c（a﹣b），
∵a+b≠﹣c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b．
∴△ABC为等腰三角形．
故选：A．
二、填空题
9．【解答】解：3ay2﹣3ax2
＝3a（y2﹣x2）
＝3a（y﹣x）（y+x），
故答案为：3a（y﹣x）（y+x）．
10．【解答】解：由题意得，x（x+3）＝x（x+k）
∴k＝3，
故答案为：3．
11．【解答】解：∵2a﹣b＝﹣3，ab＝2，
∴2a2b﹣ab2的
＝ab（2a﹣b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2025
＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2025
＝2x×1﹣3x2+4x﹣2025
＝﹣3x2+6x﹣2025
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2025
＝﹣3﹣2025
＝﹣2028，
故答案为：﹣2028．
三、解答题
13．【解答】解：（1）原式＝ab（a﹣4ab+1）；
（2）原式＝m（m2﹣4）
＝m（m+2）（m﹣2）．
14．【解答】解：（1）a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
故答案为：（a+2b）（a+b）；
（2）①如图：
②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片；
故答案为：3，1，4；
③由条件可得3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）；
故答案为：（3a+b）（a+b）．
15．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x2﹣2xy+y2）﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）△ABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：
a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，
（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝0，
（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
16．【解答】解：（1）由题意得，
大正方形的面积为a2 cm2，小正方形的面积为b2 cm2，小长方形的面积为ab cm2，
∴2a2+5ab+2b2为大长方形的面积，
∵大长方形的长为（2a+b）厘米，宽为（2b+a）厘米，
∴大长方形的面积为（2a+b）（2b+a）平方厘米，
∴2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（2b+a），
故答案为：（2a+b）（2b+a）；
（2）∵这张大长方形纸板的周长为78cm，空白部分的面积为120cm2，
∴5ab＝120，2（2a+b+2b+a）＝78，
∴ab＝24，a+b＝13，
∴阴影部分的面积为：
2a2+2b2
＝2（a2+b2）
＝2[（a+b）2﹣2ab]
＝2×（132﹣2×24）
＝2×（169﹣48）
＝242（cm2），
答：图中阴影部分的面积为242cm2．
17．【解答】解：（1）原式＝x2﹣16x+64﹣4
＝（x﹣8）2﹣22
＝（x﹣8﹣2）（x﹣8+2）
＝（x﹣10）（x﹣6）．
（2）原式＝﹣（x2﹣14x）+10
＝﹣（x2﹣14x+72﹣72）+10
＝﹣（x﹣7）2+49+10
＝﹣（x﹣7）2+59；
∵﹣（x﹣7）2≤0，
∴﹣（x﹣7）2+59≤59，
∴代数式﹣x2+14x+10的最大值为59，此时x＝7．
（3）∵a2+2b2+c2＝2ab+4b+6c﹣13，
∴（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴a＝b＝2，c＝3，
∴△ABC是等腰三角形．
18．【解答】解：（1）∵一个四位数M，千位上数字为a，百位上数字为b，十位上数字为c，个位上数字为d，
∴M可表示为1000a+100b+10c+d；
（2）这个数M可以被3整除，理由如下：
M＝1000a+100b+10c+d
＝999a+a+99b+b+9c+c+d
＝（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）
＝3×（333a+33b+3c）+（a+b+c+d），
∵a+b+c+d能被3整除，3×（333a+33b+3c）也能被3整除，
∴M能被3整除；
（3）∵M＝1000a+100b+10c+d，
∴M1＝1000d+100b+10c+a，
∴M﹣M1＝（1000a+100b+10c+d）﹣（1000d+100b+10c+a）＝999（a﹣d），
∴，
∵M是“瓷韵数”，
∴a+b+c+d＝4k（k为整数），
又∵a+b+c＝2d﹣2，
∴2d﹣2+d＝4k，
∴3d﹣2＝4k，
即，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，1≤d≤9且a，b，c，d为整数，
∴当 k＝1时，d＝2；当 k＝4时，d＝6，
∵，要使其值为整数，则a﹣d能被d的整除，
∴①当d＝2时，a﹣d＝1或a﹣d＝2，
∴a＝3或a＝4，
②当d＝6时，a﹣d＝1或2或3或6，若a﹣d＝1，
∴a＝7或8或9或12（a＝12不符题意，舍去），
∴M的最大值时千位数字a＝9，
∵a﹣d＝3，
∴d＝6，
∵a+b+c＝2d﹣2，
∴当d＝6，a＝9时，b+c＝2d﹣2﹣a＝12﹣2﹣9＝1，
∴要使M最大，b＝1，c＝0，
∴M最大值为9106．
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