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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破三：因式分解的应用之最值问题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值
．可知当时，有最小值．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值．
【题组训练2】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：
．
∵，，∴当时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
(2)若代数式，求M的最小值；
(3)已知，求代数式的值．
【题组训练3】阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)用配方法因式分解：；
(3)求的最小值．
【题组训练4】先阅读材料内容，再解决问题：
①若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
②已知x为实数，求的最小值．
解：∵
而
∴有最小值2
(1)若，求的值；
(2)设、为实数，求的最小值．
【题组训练5】上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
当时， 的值最小，最小值是0，
当 时，的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
(2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【题组训练6】“形如的式子称为完全平方式”．如果，个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，请利用配方法解决下列问题：
(1)判断代数式与0的大小关系；
(2)用一段长为40米的篱笆围成一个长方形菜园，设长方形的一边长为米．
①用含的式子表示菜园的面积：__________平方米；
②请说明当取何值时，菜园的面积最大，最大面积是多少平方米？
【题组训练7】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知，则__________；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值；
【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值．
【题组训练8】解答下列各题：
(1)分解因式：；
(2)若a，b()都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足，，求S的最小值．
【题组训练9】我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以
但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式．
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以
所以当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中的值．
【题组训练10】浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________________________．
(2)求代数式的最大值．
(3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【题组训练11】我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：
(1)分解因式：________．
(2)求代数式的最小值：
，
对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________．
请完成上面的填空．
(3)根据材料解决下列问题：
①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________．
②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值．
【题组训练12】下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式
任务：
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
(3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值．
【题组训练13】阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例分解因式：；
又例如：求代数式的最小值．
，
又当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)多项式有最小值为1，求出k值；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值．
【题组训练14】【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：
②求的最小值．
．
，
，
即的最小值为．
【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题．
(1)用配方法分解因式：；
(2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．
①用含有的代数式表示．
②当为何值时，的值最大，最大值是多少？
【题组训练15】对于多项式可以直接用公式法分解因式为的形式，但对于多项式就不能直接用公式法了，此时我们可以在多项式中先加上，使其成为完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像上面这样分解因式的方法叫做添项法．
(1)利用上述方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值，并求出此时的值．
【题组训练16】先阅读下列材料，再解答问题：
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：．
(2)若，求：①；②的值．
(3)已知x是实数，若，请你利用配方法求出M的最小值．
【题组训练17】配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由．
②已知实数，满足，求的最小值．
【题组训练18】阅读理解并解答：
我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
(1)例如：①，
是非负数，即，，
则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是，
②，
是非负数，即，，
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______；
(2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；
(3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(4)知识拓展：若，求的最小值．
【题组训练19】（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整数且，求的值；
（2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值．
【题组训练20】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当x为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)当 ， 时，多项式有最小值，最小值是 ．
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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破三：因式分解的应用之最值问题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值
．可知当时，有最小值．
根据阅读材料，利用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最值，并求出这个最值．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值20
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
当时，多项式有最大值20．
【题组训练2】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：
．
∵，，∴当时，代数式M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ；
(2)若代数式，求M的最小值；
(3)已知，求代数式的值．
【答案】(1)4；(2)；(3)．
【详解】（1）解：∵
故答案为：
（2）解：
；
∵，
∴，
∴，
∴M的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴且且，
解得：，，，
∴．
【题组训练3】阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)用配方法因式分解：；
(3)求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【题组训练4】先阅读材料内容，再解决问题：
①若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
②已知x为实数，求的最小值．
解：∵
而
∴有最小值2
(1)若，求的值；
(2)设、为实数，求的最小值．
【答案】(1)(2)3
【详解】（1）解：∵
∴
∴，
∴，
∴
（2）解：∵
而，
∴有最小值3
【题组训练5】上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
当时， 的值最小，最小值是0，
当 时，的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
(2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)3，3(2)大，(3)
【详解】（1）解：；
而
当时， 的值最小，最小值是0，
；
∴当时，有最小值3；
（2）解：，
而，
当时， 的值最大，最大值是0，
；
∴当时有最大值；
（3）解：∵，
，
，
∴当 时， 的最小值为．
【题组训练6】“形如的式子称为完全平方式”．如果，个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，请利用配方法解决下列问题：
(1)判断代数式与0的大小关系；
(2)用一段长为40米的篱笆围成一个长方形菜园，设长方形的一边长为米．
①用含的式子表示菜园的面积：__________平方米；
②请说明当取何值时，菜园的面积最大，最大面积是多少平方米？
【答案】(1)
(2)①；②当时，菜园的面积最大，最大面积是平方米
【详解】（1）解：
，
∵，则，
∴，即；
（2）解：①设长方形的一边长为米，则长方形的宽为米，
则菜园的面积为：平方米；
②，
∵，则，
∴；
∴当时，菜园的面积最大，最大面积是平方米．
【题组训练7】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知，则__________；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值；
【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值．
【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4）
【详解】（1）解：，
是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：，
，，
，
故答案为：1；
（3）解：
，
为“完美数”，
，
；
（4）解：，
，
，
，
当时，的最小值为．
【题组训练8】解答下列各题：
(1)分解因式：；
(2)若a，b()都是正整数且满足，求的值；
(3)若a，b为实数且满足，，求S的最小值．
【答案】(1)；(2)8；(3)6．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
∵,,
∴,
∴,
∴,
解得，
故．
（3）解：由，得，
∴
，
∵，
∴，当且仅当时成立，
∴S的最小值为6．
【题组训练9】我们知道形如的二次三项式可以分解因式为，所以
但小明在学习中发现，对于还可以使用以下方法分解因式．
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：求代数式的最小值．
解：．
因为，所以
所以当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中的值．
【答案】(1)①；②
(2)当时，多项式有最大值，最大值为11
(3)
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：由题意得，
，
，
，
当时，多项式有最大值11．
（3）解：，
∴，
配方得，
解得：．
【题组训练10】浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________________________．
(2)求代数式的最大值．
(3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【答案】(1) (2)17
(3)当，时，该多项式有最小值，这个最小值为
【详解】（1）解：
；
（2）解：因为
，
所以当时，的值最大，最大值是17.
（3）
，
取等号时，有，
解得，
所以当，时，该多项式有最小值，这个最小值为．
【题组训练11】我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变（恒等变形）．这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：
(1)分解因式：________．
(2)求代数式的最小值：
，
对于代数式，无论x取何值，都大于或等于0，再加上，则，故的最小值为________．
请完成上面的填空．
(3)根据材料解决下列问题：
①分解因式：【请仿照（1）进行解答】________．
②多项式是否有最大值？若有，请求出最大值．
【答案】(1) (2) (3)①；②5
【详解】（1）解：；
（2）解：根据题意：的最小值为；
（3）解：①原式
；
②
，
对于代数式，无论x取何值，都小于或等于0，再加上5，则，故的最大值为5．
【题组训练12】下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式
任务：
(1)小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(2)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
(3)由平方的非负性可知有最小值，请求出最小值．
【答案】(1)不彻底，(2)(3)
【详解】（1）解：不彻底，
设．
原式
；
故答案为：；
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设，
原式
，
最小值为．
【题组训练13】阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例分解因式：；
又例如：求代数式的最小值．
，
又当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)多项式有最小值为1，求出k值；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求出边长C的最小值．
【答案】(1)(2)(3)边长的最小值为5
【详解】（1）
；
（2）∵
∵
∴
∴的最小值为
∵多项式有最小值为1，
∴
∴；
（3）∵
∴，
∴，
∵的三边长a、b、c都是正整数，
∴
∴
∴
∵c是正整数，
∴边长C的最小值为5．
【题组训练14】【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法分解因式：
②求的最小值．
．
，
，
即的最小值为．
【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题．
(1)用配方法分解因式：；
(2)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为．
①用含有的代数式表示．
②当为何值时，的值最大，最大值是多少？
【答案】(1)(2)①；②当时，的值最大，最大值是
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴的面积为；．
②由①知，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是．
【题组训练15】对于多项式可以直接用公式法分解因式为的形式，但对于多项式就不能直接用公式法了，此时我们可以在多项式中先加上，使其成为完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，于是有：．像上面这样分解因式的方法叫做添项法．
(1)利用上述方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值，并求出此时的值．
【答案】(1)(2)最小值是3
【详解】（1）
；
（2），
∵，
∴当时，多项式有最小值，
∴当时，多项式有最小值，最小值是3．
【题组训练16】先阅读下列材料，再解答问题：
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：．
(2)若，求：①；②的值．
(3)已知x是实数，若，请你利用配方法求出M的最小值．
【答案】(1)(2)13；97(3)1
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
，
∵，
∴原式；
∵
∴原式；
（3）解：∵，
，
∴当时，M有最小值1．
【题组训练17】配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由．
②已知实数，满足，求的最小值．
【答案】(1)①③
(2)①当时，为“完美数”，理由见解析；②
【详解】（1）解：∵，
∴29是“完美数”，
∵，
∴13是“完美数”，
故答案为：①③；
（2）①当时，为“完美数”，理由如下：，
当时完全平方数时，即，
即时，是“完美数”；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【题组训练18】阅读理解并解答：
我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
(1)例如：①，
是非负数，即，，
则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是，
②，
是非负数，即，，
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______；
(2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；
(3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(4)知识拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)，3(2)2，1(3)1，大，3(4)
【详解】（1）解：∵，
∴这个代数式的最小值是，此时，
∴这个代数式取得最小值时，相应的的值是，
故答案为：，3．
（2）解：
，
∵是非负数，即，
∴，
∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为1，
故答案为：2，1．
（3）解：
，
∵是非负数，即，
∴，
∴当，即时，有最大值，最大值为3，
故答案为：1，大，3．
（4）解：，
，
则
，
∵是非负数，即，
∴，
∴的最小值为．
【题组训练19】（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整数且，求的值；
（2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值．
【答案】（1）①；②19；（2）
【详解】解：（1）①
；
②，
，
，都是正整数，
，都是整数，且，
又，
，或，
解得或（不合题意，舍去），
；
（2），
，
，
，，
，
整式的最小值为．
【题组训练20】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)当x为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)当 ， 时，多项式有最小值，最小值是 ．
【答案】(1)
(2)当时，有最小值，最小值是
(3)， 5
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
当时，有最小值，最小值是．
（3）解：
当时，有最小值，最小值是5．
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