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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破四：因式分解的应用之整除类问题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】若m为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【答案】A
【详解】解：，
，
，
，
为自然数，
的值总能被3整除，
故选：
【题组训练2】当n为自然数时，一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【答案】D
【详解】解：
为自然数
所以一定能被8整除，
故选D
【题组训练3】对于任意整数n，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除
C．能被8整除 D．能被5整除
【答案】C
【详解】解：
，
为任意整数，
，既能被2整除又能被4整除，
又∵、是连续整数，
∴、必有一个是偶数，
∴能被8整除，即能被8整除，
故选：C．
【题组训练4】已知可以被在之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．2、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
即可以被在7和9两个10以内的整数整除，
则这两个数分别为7、9，
故选：D．
【题组训练5】一个四位数，如果它的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个四位数为“友谊数”，将“友谊数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位数字去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数3921．∵，∴3921不是“友谊数”，又如四位数2739，∵，∴2739是“友谊数”，．若是“友谊数”，则 ；若对于“友谊数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最小值时，“友谊数”的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：①是“友谊数”，
，
，
；
②“友谊数”，
设，
，
，
，
当取得最小值时，，，
，
，
，
“友谊数”的最大值是，
故答案为：①；②．
【题组训练6】甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n，然后乙根据n的值计算代数式的值．
(1)填空：
①_________；
②_________；
③_________．
(2)求证：总能被6整除．
【答案】(1)(2)详见解析
【详解】（1）解：①；
②；
③．
故答案为：6，24，120．
（2）证明：，
是正整数，且，n，是三个连续整数，
其中至少存在一个偶数，能被2整除，一个能被3整除的数，
能被6整除．
即总能被6整除．
【题组训练7】一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
（1）能被9整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
小明的证明思路 因为 ① ② ③ 又因为代数式③，都能被3整除， 所以能被3整除
(1)能被9整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
【答案】(1)能被9整除，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：能被9整除，理由为：
，
能被9整除；
（2）解：
，
，都能被3整除，
就能被3整除，
故答案为：；；．
【题组训练8】大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”．
(1)试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差；
(2)求证：任意的“偶像数”都能被4整除．
【答案】(1)20，(2)见解析
【详解】（1）“偶像数”20
（2）设两个连续偶数分别为和，其中n为自然数
为自然数
为整数
能够被4整除
即任意的“偶像数”都能被4整除
【题组训练9】【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务．
我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除．
任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除．
【答案】见解析
【详解】证明：根据题意，得这个四位数为．
．
因为能被3整除，也能被3整除，所以这个四位数能被3整除．
【题组训练10】把一个各个数位均不为0的正整数，重新排列各数位上的数字，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为．例如，357的差数，2133的差数．
(1) ， ；
(2)若一个两位数，一个三位数，（其中，，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数，当m的个位数字的3倍与的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中的最大值．
【答案】(1)396，4086； (2)396．
【详解】（1），
，
故答案为：396，4086；
（2）根据题意，∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∵为11的倍数
∴，22，33
解得：或
∴，，
，，
∴的最大值为396；
【题组训练11】规定：正整数P如果能写成（m、n均为正整数，且），则称为“平方差数”，其中m、n为的一个平方差变形，在的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以9和7是32的最佳平方差变形，所以．
(1)求；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为，，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
【答案】(1)1013 (2)34
【详解】（1）解：∵．
，
；
（2）能被7整除，，
或，
或或或，
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，此时不是平方差数，不符合题意；
当，时，，
，
．
，
的最小值为34．
【题组训练12】下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）．
(1)求m，n的值；
(2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除．
【答案】(1)，(2)见解析
【详解】（1）解：，，，
，
，
，
，
，由①得：，
把代入②得：，
；
（2）解：∵ ，
，，
，
∵x为正整数，
∴为整数，
∴代数式总能被5整除．
【题组训练13】“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为
(1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）；
(2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解： 当时，，
多项式必有一个因式，
设，
，
比较同类项的系数得：，，
由，解得：，
由，解得：，
；
（2）解：多项式既能被整除，又能被整除，
多项式必有因式和，
当或时，，
当时，，
整理得：①，
当时，，
整理得：②，
①②，得：，
，
将代入②，得：．
，．
【题组训练14】观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的____倍；
(2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．
【答案】(1)19(2)见解析(3)余数为5，理由见解析
【详解】（1）解：，
即的结果是3的倍，
故答案为：；
（2）解：偶数为，比大5的数为，
∴，
∵为整数，
∴能被5整除，
∴比大5的数与的平方差能被5整除；
（3）解：余数为，理由如下：
设这个数为，比大5的数为，
∴，
∵，
∴被10整除的余数是，
即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是．
【题组训练15】请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题：
(1)求证：能被整除；
(2)已知多项式能整除，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）解：∵
，
∴能被整除；
（2）解：设除以等于，
则，
∴，，，
∴，，，
∴．
【题组训练16】（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除；
（2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除．
【答案】（1）见详解；（2）能，验证见详解
【详解】（1）证明：
能被9整除
能被9整除，
能被9整除，
这个数能被9整除；
（2）能被9整除
能被9整除．
【题组训练17】定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”．
定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数．
(1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”；
(2)证明：任意一个“久久数”能被99整除；
(3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数．
【答案】(1)是，不是(2)见解析(3)1584、2475、3564、4851、6336
【详解】（1）解：，，
是“久久数”，
，
不是“久久数”，
故答案为：是，不是；
（2）证明：由题意得：，，
，
任意一个“久久数”都是的倍数；
（3）解：，
，
为完全平方数，
为完全平方数，
、、、，且均为整数，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
这种四位数的个数共有个，分别为1584、2475、3564、4851、6336．
18．一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以．
(1)= ；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
【答案】(1)130(2)34
【详解】（1）．
∵，
∴，
故答案为：．
（2）∵能被7整除，，
∴或，
∴或或或，
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意；
当，时，，
∵，
∴．
∵，
∴的最小值为34．
【题组训练19】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如45的“诚勤数”为425；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如45的“立达数”为47．
(1)求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
(2)若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)所求两位数为68或59
【详解】（1）解：设A的十位数字为a，个位数字为b，则，它的“诚勤数”为它的“立达数”为
∴
∵a为整数
∴是整数，则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
（2）解：设，，（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），
∴
则B的“立达数”为，
∴
整理，得：
∵，
∴，，，，
经检验：86、77、95不符合题意，舍去
∴所求两位数为68或59．
【题组训练20】定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由．
【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析
(2)“和谐数”能被8整除，理由见解析
(3)是 “和谐数”，理由见解析
【详解】（1）解：设，
解得，
∴40是“和谐数”；
（2）解：“和谐数”能被8整除，
理由：
，
∵k是正整数，
∴能被8整除，
∴能被8整除，
∴“和谐数”能被8整除；
（3）解：∵是“和谐数”，
∴，
∴，
∴．
∵是“和谐数”，即是“和谐数”，
∴可设，其中k为正整数，
∴，
∴，
∴
．
∵k为正整数，
∴和为两个连续正奇数，
∴为“和谐数”．
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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破四：因式分解的应用之整除类问题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】若m为自然数，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除
【题组训练2】当n为自然数时，一定能（ ）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【题组训练3】对于任意整数n，都（ ）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除
C．能被8整除 D．能被5整除
【题组训练4】已知可以被在之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．2、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9
【题组训练5】一个四位数，如果它的各数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个四位数为“友谊数”，将“友谊数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位数字去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数3921．∵，∴3921不是“友谊数”，又如四位数2739，∵，∴2739是“友谊数”，．若是“友谊数”，则 ；若对于“友谊数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最小值时，“友谊数”的最大值是 ．
【题组训练6】甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n，然后乙根据n的值计算代数式的值．
(1)填空：
①_________；
②_________；
③_________．
(2)求证：总能被6整除．
【题组训练7】一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；也可以表示成，一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
（1）能被9整除吗？请说明理由；
（2）小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
小明的证明思路 因为 ① ② ③ 又因为代数式③，都能被3整除， 所以能被3整除
(1)能被9整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
【题组训练8】大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”．
(1)试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差；
(2)求证：任意的“偶像数”都能被4整除．
【题组训练9】【代数推理】阅读下列材料，并完成相应任务．
我们已经知道，能被3整除的数的特征是这个数的各个数位上数的和是3的倍数．证明如下： 已知：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除． 求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为． ． ∵能被3整除，也能被3整除， ∴这个三位数能被3整除．
任务：一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，d，若 能被3整除，求证：这个四位数也能被3整除．
【题组训练10】把一个各个数位均不为0的正整数，重新排列各数位上的数字，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为．例如，357的差数，2133的差数．
(1) ， ；
(2)若一个两位数，一个三位数，（其中，，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数，当m的个位数字的3倍与的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中的最大值．
【题组训练11】规定：正整数P如果能写成（m、n均为正整数，且），则称为“平方差数”，其中m、n为的一个平方差变形，在的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以9和7是32的最佳平方差变形，所以．
(1)求；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为，，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
【题组训练12】下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）．
(1)求m，n的值；
(2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除．
【题组训练13】“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为
(1)分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）；
(2)已知多项式既能被整除，又能被整除，求m、n的值（方法任意）
【题组训练14】观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的____倍；
(2)设偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
(3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由．
【题组训练15】请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题：
(1)求证：能被整除；
(2)已知多项式能整除，求的值．
【题组训练16】（1）设是一个四位数（表示千位上的数字，表示百位上的数字，表示十位上的数字，表示个位上的数字），若可以被9整除，请你证明这个数也可以被9整除；
（2）用问题（1）的结论，验证一下2025能否被9整除．
【题组训练17】定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”．
定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数．
(1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”；
(2)证明：任意一个“久久数”能被99整除；
(3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数．
18．一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以．
(1)= ；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
【题组训练19】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如45的“诚勤数”为425；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如45的“立达数”为47．
(1)求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；
(2)若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值．
【题组训练20】定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由．
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