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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破五：因式分解中定义新运算问题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．，，故推断正确；
B．，，故推断不正确；
C．，，故推断不正确；
D．，，故推断不正确．
故选：A．
【题组训练2】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ．
【答案】
【详解】解：，均为正整数，
，，，，…，
，，，，…，
，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
第9个智慧优数是，
故答案为：．
【题组训练3】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第7个智慧优数是 ．
【答案】24
【详解】解：，均为正整数，
，，，，…，
，，，，…，
，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
第7个智慧优数是，
故答案为：．
【题组训练4】定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
(1)若，，则，的“和积数”_____；
(2)若，，求，的“和积数”；
(3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)c的值为或(3)
【详解】（1）解：由题意得：，
∴的“和积数”c为；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
∵，，，
∴，
∴或，
当时，，
当时，，
综上所述，c的值为或；
（3）解：由题意得：，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题组训练5】数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题．
(1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________；
(2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”．
【答案】(1)和，
(2)的值为6或，多项式的“对称值”为或
【详解】（1）解：，
当或时，，
多项式的“零值”为和，
“对称值”为，
故答案为：和，；
（2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等，
多项式是完全平方式，
即，
当时，多项式可化为，
，“零值”为和，“对称值”为；
当时，多项式可化为，
，“零值”为和，“对称值”为，
综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或．
【题组训练6】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知，则__________；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值；
【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值．
【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4）
【详解】（1）解：，
是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：，
，，
，
故答案为：1；
（3）解：
，
为“完美数”，
，
；
（4）解：，
，
，
，
当时，的最小值为．
【题组训练7】定义：若一个整数能表示成（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；
再如：因为，所以也是“完美数”．
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完美数”；
(2)已知（x，y是整数），k是常数，要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
(3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”．
【答案】(1)2或5或8（写一个即可），是；(2)；(3)见解析．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，，
故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，
∵，
故53是“完美数”，
故答案为：2或5或8（写一个即可）；是；
（2）解：，
，
为“完美数”，
，
；
（3）证明：设，则有
是“完美数”．
【题组训练8】定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．
【答案】(1)110；990(2)见解析
【详解】（1）解：设和谐数百位上的数是a，十位上的数为b，个位上的数为c，
由题意，得，
要想求最小的和谐数，就是a最小时，a最小是1，
b最小是，
此时c最小是0，
所以最小的“和谐数”时110；
最大的“和谐数”，就是a最大时，a最大是9，
十位上b最大是9，
此时，
所以最大的“和谐数”是990．
由题意可得：最小的“和谐数”是110，最大的“和谐数”是990；
故答案为：110；990；
（2）解：设这个“和谐数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），
由题意，得，
∴“和谐数”为，则有：
，
∵a，b是整数，
∴是整数，
∴任意“和谐数”一定能被11整除．
【题组训练9】定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”．
定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数．
(1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”；
(2)证明：任意一个“久久数”能被99整除；
(3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数．
【答案】(1)是，不是(2)见解析
(3)1584、2475、3564、4851、6336
【详解】（1）解：，，
是“久久数”，
，
不是“久久数”，
故答案为：是，不是；
（2）证明：由题意得：，，
，
任意一个“久久数”都是的倍数；
（3）解：，
，
为完全平方数，
为完全平方数，
、、、，且均为整数，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
当时，，此时：，
这种四位数的个数共有个，分别为1584、2475、3564、4851、6336．
【题组训练10】若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”．
(1)请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余；
(2)已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”．
【答案】(1)6不是，39是；证明见解析
(2)，或，
【详解】（1）解：设点表示的数为，则，，
数．
令，
，
，
不能被整除，
不是“尼尔数”；
令，
，
，
是能被整除的自然数，
是“尼尔数”；
令是自然数，
，
而，
所有“尼尔数”一定被除余；
（2）解：设这两个“尼尔数”分别是，、都是自然数，
根据题意，得，
整理，得．
、都是自然数，
，或，
解得，或，
当时，，，
当时，，．
故这两个“尼尔数”是，或，．
【题组训练11】定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，
例如：
；
；
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)化简：；
(3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的积．
【答案】(1)，，； (2) (3)
【详解】（1）解：，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：
；
（3）解：，
．
【题组训练12】阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；
(2)若关于的多项式关于对称，则__________；
(3)代数式 的对称轴是__________．
【答案】(1)；对称轴为； (2)6；(3)．
【详解】（1）解：
＝
＝．
∴该多项式的对称轴为；
（2）∵，
∴对称轴为，
∵关于的多项式关于对称，
∴，
即，
（3）∵
，
∴对称轴为．
【题组训练13】某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系：
．．．．．．
我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题：
(1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________；
(2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)能，，
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：，；
（2）能，
由题意，设，
则：，
∴，解得，
∴．
【题组训练14】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
(1)若，，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)如果，，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”；
(3)已知，且a，b的“如意数”，求b．（用含x的式子表示）
【答案】(1)；(2)见解析(3)．
【详解】（1）解：；
（2）解：
，
；
（3）解：由题意，
，
，
∴．
【题组训练15】定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”．
(1)若，求的“和积数”；
(2)若，求的“和积数”；
(3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)的值为或(3)
【详解】（1）解：由题意得：，
的“和积数”为；
（2）解：由题意得：，
，
，
或，
当时，，
当时，，
综上所述，的值为或；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
．
【题组训练16】定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”．
(1)若，，求的“和积数”；
(2)若，，求的“和积数”；
(3)已知，且的“和积数”，求．（用含的式子表示）
【答案】(1)；(2)或；(3)时，为任意数；时，．
【详解】（1）由题意得，
∴所求的“和积数”为；
（2）由题意， ，
∵，，
∴，
∴，
∴或；
（3）由题意，，
∵， ，
∴，
当时，即时，
变为，，
此时，为任意数；
当时，即时，
由可得，
，
∴，
综上，时，为任意数；时，．
【题组训练17】【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，
∴；
（2）∵
，
又∵，
∴，，
∴；
（3）当时，S是完美数，
理由如下：
，
，
∵x，y是整数，
∴，也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴，
∴．
【题组训练18】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题；
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式：______；
（2）若可配方成（m、n为常数），则______．
探究问题；
（3）已知，则______．
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8，理由见解析
【详解】解：（1）由题意，得：；
故答案为：；
（2）∵，
∴；
∴；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（4），理由如下：
，
∵S为“完美数”，
∴，
∴．
【题组训练19】定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：
①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为 ．
②计算： ， ．
(2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b．
(3)如果一个“迥异数”的十位数字是x，个位数字是，另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值．
【答案】(1)①31， ②5， ，(2)(3)6或8
【详解】（1）①对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”，
“迥异数”为31，
故答案为：31；
②，
，
故答案为：5， ，
（2），
，
，
（3），
解得：，
，，
，
且x为正整数，
，7，8，
当时，，，
当时，，（不符合题意，舍去），
当时，，，
综上所述：x为6或8
【题组训练20】定义：关于的多项式和，当时，的值记为，当时，的值记为，若存在整数，对于任意的实数，都有，称多项式是多项式的衍生多项式，称为衍生系数．
例如：是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式．
(1)直接写出的值： ；
(2)是否存在整数，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2(2)不存在整数，使得，理由见解析
【详解】（1）解：根据题意得：，
即，
∴；
故答案为：2
（2）解：不存在整数，使得，理由如下：
由（1）得：，
即，
∴，
∴不存在整数，使得．
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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破五：因式分解中定义新运算问题（20道）
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】设m、n是实数，定义一种新运算：．下面四个推断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练2】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ．
【题组训练3】定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第7个智慧优数是 ．
【题组训练4】定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
(1)若，，则，的“和积数”_____；
(2)若，，求，的“和积数”；
(3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）．
【题组训练5】数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题．
(1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________；
(2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”．
【题组训练6】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知，则__________；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值；
【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值．
【题组训练7】定义：若一个整数能表示成（a，b都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；
再如：因为，所以也是“完美数”．
(1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完美数”；
(2)已知（x，y是整数），k是常数，要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
(3)如果数m，n都是“完美数”，，试说明是“完美数”．
【题组训练8】定义：如果一个三位数的百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“和谐数”．如264，因为它的百位数字2与个位数字4之和等于十位数字6，所以264是“和谐数”．
(1)最小的“和谐数”是______，最大的“和谐数”是______；
(2)试说明“和谐数”一定能被11整除．
【题组训练9】定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”．
定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数．
(1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”；
(2)证明：任意一个“久久数”能被99整除；
(3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数．
【题组训练10】若将自然数中能被整除的数，在数轴上的对应点称为“倍点”，取任意的一个“倍点”，到点距离为的点所对应的数分别记为，，定义：若数，则称数为“尼尔数”，例如：若所表示的数为，则，，那么，若所表示的数为，则，，那么，所以，是“尼尔数”．
(1)请直接判断和是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被除余；
(2)已知两个“尼尔数”的差是，求这两个“尼尔数”．
【题组训练11】定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，
例如：
；
；
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)化简：；
(3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的积．
【题组训练12】阅读以下材料：
我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；
(2)若关于的多项式关于对称，则__________；
(3)代数式 的对称轴是__________．
【题组训练13】某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系：
．．．．．．
我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题：
(1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________；
(2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由．
【题组训练14】定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
(1)若，，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)如果，，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”；
(3)已知，且a，b的“如意数”，求b．（用含x的式子表示）
【题组训练15】定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”．
(1)若，求的“和积数”；
(2)若，求的“和积数”；
(3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）．
【题组训练16】定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”．
(1)若，，求的“和积数”；
(2)若，，求的“和积数”；
(3)已知，且的“和积数”，求．（用含的式子表示）
【题组训练17】【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（，为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（、为常数），求的值；
(3)解决问题：已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出的值，并说明理由．
【题组训练18】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题；
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式：______；
（2）若可配方成（m、n为常数），则______．
探究问题；
（3）已知，则______．
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【题组训练19】定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
(1)填空：
①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为 ．
②计算： ， ．
(2)如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b．
(3)如果一个“迥异数”的十位数字是x，个位数字是，另一个“迥异数”的十位数字是，个位数字是2，且满足，请直接写出满足条件的x的值．
【题组训练20】定义：关于的多项式和，当时，的值记为，当时，的值记为，若存在整数，对于任意的实数，都有，称多项式是多项式的衍生多项式，称为衍生系数．
例如：是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为1，
是的衍生多项式，衍生系数为，
是的衍生多项式，衍生系数为2
已知多项式是的衍生多项式．
(1)直接写出的值： ；
(2)是否存在整数，使得，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．
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