第四章因式分解同步练习（含解析）

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第四章因式分解同步练习浙教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
B．x（x+1）＝x2+x
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2
2．把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．3m B．mn C．3mn D．mn2
3．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣x2﹣y2 B．x2﹣5y2 C．x2+4y2 D．﹣x2+y2
5．如果a﹣b＝3，ab＝7，那么a2b﹣ab2的值是（　　）
A．﹣21 B．﹣10 C．21 D．10
6．把多项式﹣7ab﹣14abx+49aby分解因式，提公因式﹣7ab后，另一个因式是（　　）
A．1+2x﹣7y B．1﹣2x﹣7y C．﹣1+2x+2y D．﹣1﹣2x+7y
7．把多项式m2（a﹣3）+m（3﹣a）分解因式等于（　　）
A．（a﹣3）（m2+m） B．（a﹣3）（m2﹣m）
C．m（a﹣3）（m﹣1） D．m（a﹣3）（m+1）
8．把多项式x2+ax﹣2分解因式，结果是（x+1）（x+b），则a，b的值为（　　）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
9．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．已知a＝2024x+2021，b＝2024x+2022，c＝2024x+2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
12．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
13．若m﹣n＝﹣2，且m+n＝5，则m2﹣n2＝　 ．
14．已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为 　 　．
15．将多项式（a﹣3）2﹣（2a﹣6）因式分解的结果是 　 　．
16．分解因式：（a+1）2﹣2a﹣2＝　 　．
17．分解因式x（x﹣2）+（2﹣x）的结果是　 　．
18．若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　 　．
三、解答题
19．将下列各式分解因式：
①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
20．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）；
（2）5a2b﹣10ab2+5b3．
21．因式分解：
（1）15a2b4+5a2b2；
（2）﹣2a4+4a2﹣2；
（3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y）．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是 　 　；
（2）分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2023的结果是 　 　；
（3）利用（2）中结论计算：5+52+53+…+52023．
23．因式分解：
（1）（a+4）（a﹣1）﹣3a；
（2）27x2y﹣36xy2+12y3．
24．先阅读下面材料，再解决问题：
已知x2+bx+c＝0．在求关于x的代数式的值时，可将x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c．就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”．
例如：已知x2+2x﹣4＝0，求代数式x2（x+4）的值．
解：∵x2+2x﹣4＝0，
∴x2＝﹣2x+4．
∴原式＝（﹣2x+4）（x+4）＝﹣2x2﹣8x+4x+16＝﹣2x2﹣4x+16＝﹣2（﹣2x+4）﹣4x+16＝4x﹣8﹣4x+16＝8．
∴x2（x+4）＝8．
请用“降次代换法”，完成下列各小题：
（1）若x2+x﹣15＝0，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 　 　．
（2）若x2+5x+1＝0，则代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为 　 　．
（3）已知x2+2x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3+12x2+8x+3的值．
25．阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：
（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝　 　，A＝0；
（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；
（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
第四章因式分解同步练习浙教版2024—2025学年七年级下册
一、选择题
1．【解答】解：A、是因式分解，符合题意；
B、是整式的乘法，不符合题意；
C、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意；
D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：公因式是3mn，把9mn+6mn2分解因式，应提取的公因式是3mn，
故选：C．
3．【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．
故选：A．
4．【解答】解：A、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解因式；
B、x2﹣5y2不能用平方差公式分解因式；
C、x2+4y2不能用平方差公式分解因式；
D、﹣x2+y2＝y2﹣x2是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
故选：D．
5．【解答】解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝7×3＝21，
故选：C．
6．【解答】解：﹣7ab﹣14abx+49aby
＝﹣7ab（1+2x﹣7y）．
故选：A．
7．【解答】解：原式＝m2（a﹣3）﹣m（a﹣3）
＝m（a﹣3）（m﹣1），
故选：C．
8．【解答】解：x2+ax﹣2＝（x+1）（x+b）＝x2+（1+b）x+b，
所以a＝1+b，b＝﹣2，
解得a＝﹣1，b＝﹣2．
故选：D．
9．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）＝c（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
即△ABC的是等腰三角形．
故选：A．
10．【解答】解：∵a＝2024x+2021，b＝2024x+2022，c＝2024x+2023，
∴a﹣b＝2024x+2021﹣2024x﹣2022＝﹣1，b﹣c＝2024x+2022﹣2024x﹣2023＝﹣1，a﹣c＝2024x+2021﹣2024x﹣2023＝﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
11．【解答】解：依题意，
由a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
可得（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）c＝0，
所以（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
因为a，b，c为△ABC三边，
所以a+b＞c，
所以a+b﹣c＞0，
所以只能a﹣b＝0，
所以a＝b，可以判断△ABC的形状，
所以△ABC为等腰三角形，
故选：C．
12．【解答】解：∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc，
∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状为等边三角形．
故选：B．
二、填空题
13．【解答】解：∵m﹣n＝﹣2，且m+n＝5，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝﹣2×5＝﹣10，
故答案为：﹣10．
14．【解答】解：∵x+y＝10，xy＝1，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝1×10
＝10．
15．【解答】解：（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣3﹣2）
＝（a﹣3）（a﹣5）．
故答案为：（a﹣3）（a﹣5）．
16．【解答】解：原式＝（a+1）2﹣2（a+1）
＝（a+1）（a+1﹣2）
＝（a+1）（a﹣1），
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
17．【解答】解：x（x﹣2）+（2﹣x）
＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．
18．【解答】解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；
故答案为：4．
三、解答题
19．【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2﹣16）
＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9
＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9
＝（m﹣n+3）2．
20．【解答】解：（1）原式＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2；
（2）原式＝5b（a2﹣2ab+b2）
＝5b（a﹣b）2．
21．【解答】解：（1）15a2b4+5a2b2
＝5a2b2（3b2+1）；
（2）﹣2a4+4a2﹣2
＝﹣2（a4﹣2a2+1）
＝﹣2（a2﹣1）2
＝﹣2（a+1）2（a﹣1）2；
（3）25（a+3b）2（x+y）+9（3a﹣b）2（﹣x﹣y）
＝25（a+3b）2（x+y）﹣9（3a﹣b）2（x+y）
＝（x+y）[25（a+3b）2﹣9（3a﹣b）2]
＝（x+y）[5（a+3b）+3（3a﹣b）][5（a+3b）﹣3（3a﹣b）]
＝（x+y）（14a+12b）（18b﹣4a）
＝4（x+y）（7a+6b）（9b﹣2a）．
22．【解答】解：（1）由题干计算步骤可得分解因式的方法是提公因式法，
故答案为：提公因式法；
（2）原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2022]
＝（1+x）2[1+x+x（x+1）+…+x（x+1）2021]
…
＝（1+x）2024，
故答案为：（1+x）2024；
（3）原式＝×4（5+52+53+…+52023）
＝×（4×5+4×52+4×53+…+4×52023）
＝×（1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52023）﹣
＝﹣
＝．
23．【解答】解：（1）（a+4）（a﹣1）﹣3a
＝a2﹣a+4a﹣4﹣3a
＝a2﹣4
＝（a+2）（a﹣2）；
（2）27x2y﹣36xy2+12y3
＝3y（9x2﹣12xy+4y2）
＝3y（3x﹣2y）2．
24．【解答】解：（1）（x+4）（x﹣3）＝x2+x﹣12，
∵x2+x﹣15＝0，
∴x2＝15﹣x，
∴x2+x﹣12＝15﹣x+x﹣12＝15﹣12＝3，
∴代数式（x+4）（x﹣3）的值为3．
故答案为：3；
（2）∵x2+5x+1＝0，
∴x2＝﹣5x﹣1
x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）
＝x（﹣5x﹣1+5x）+x2+6x﹣7
＝﹣x+（﹣5x﹣1）+6x﹣7
＝﹣6x+6x﹣7﹣1
＝﹣8，
∴代数式x（x2+5x）+（x+7）（x﹣1）的值为﹣8．
故答案为：﹣8；
（3）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣2x，
2x4+8x3+12x2+8x+3
＝2（1﹣2x）2+8x（1﹣2x）+12x2+8x+3
＝2（1﹣4x+4x2）+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝2﹣8x+8x2+8x﹣16x2+12x2+8x+3
＝5+4x2+8x
＝5+4（1﹣2x）+8x
＝5+4﹣8x+8x
＝9，
∴2x4+8x3+12x2+8x+3的值为9．
25．【解答】解：（1）由题意，得，当x+m＝0时，A＝0，
∴x＝﹣m时，a＝0，
故答案为：﹣m；
（2）由题意得x﹣2是x2+kx﹣14的一个因式，
∴x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
∴x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5；
（3）由题意得x+2，x﹣1是4x3+ax2﹣7x+b的一个因式，
∴x+2，x﹣1能整除4x3+ax2﹣7x+b，
∴x+2＝0，x﹣1＝0，
当x+2＝0时即x＝﹣2时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴4a+b＝18①，
当x﹣1＝0即x＝1时，4x3+ax2﹣7x+b＝0，
∴a+b＝3②，
①﹣②得3a＝15，
解得：a＝5，
∴b＝﹣2．
26．【解答】由a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
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