浙教版（2024）初中数学七年级下册 4.3 用乘法公式分解因式 同步分层练习
一、夯实基础
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。
A． B． C． D．
2．（2024七下·高州月考）已知是完全平方式，则常数k可以取（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·青岛期中）下列各式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
4．（2024七下·岳阳期中）若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
5．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）x2+mx+4是关于x的完全半方式，则m= .
6．（2024九上·斗门期中）请加上一个数配成完全平方式： ．
7．（浙教版（2024）数学七年级下册教材习题4.3用乘法公式分解因式）分解因式：
二、能力提升
8．（2024八上·路北月考）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
10．（2024八下·普宁期末）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？( )
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
11．（2024七下·嘉兴月考）已知4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：①4x﹐②-2x，②3-1，④4x4，其中满足条件的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024·浙江模拟）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
13．（2024八下·武侯期中）若，则代数式的值为 ．
14．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
15．（浙教版（2024）数学七年级下册教材习题4.1因式分解的意义）把相等的代数式用线连起来。
(2-a)(2+a) 2a(a-1) 3a(a+4)
三、拓展创新
16． 已知 ， 那么
17．（2024七下·金东期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是完全平方式，
，
，
故答案为：C．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
3．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：A、(x+y)2= x2+2xy+y2≠x2+y2，A错误；
B、（x+6）（x-6）=x2-36，B错误；
C、（x-y）2=x2-2xy+y2，（y-x）2=y2-2xy+x2，C正确；
D、（3x-y）（-3x+y）=-（3x-y）（3x-y）=-（3x-y）2=-9x2+6xy-y2，D错误；
故答案为：C．
【分析】完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2，平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，根据公式计算可得。
4．【答案】D
【知识点】完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
∴M＝4xy，
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
5．【答案】±4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2＋mx＋4＝x2＋mx＋22，x2＋mx＋4是一个含x的完全平方式，
∴mx＝±2×2x，
解得：m＝±4．
故答案为：±4．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法求出m的值即可.
6．【答案】9
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意可知：；
故答案为：9．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤分析求解即可.
7．【答案】解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提取公因式得到原式为，最后根据平方差公式进行计算即可.
8．【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式的特征逐项判断解题．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
10．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： =（a+b）（a-b），故不符合题意；
=-（x2+y2）， 不能用平方差公式分解， 故符合题意；
=9-x2=（3+x）（3-x），故不符合题意；
=（2m+5n）（2m-5n），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b），据此逐一判断即可.
11．【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：4x2+1 + 4x =
4x2+1 + 4x4 =
4x2+1 -1 =
故①③④成立
故答案为：c.
【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握公式的特点是解决问题的关键.
12．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
∴把密文用因式分解解码后，明文可能是我爱中大，
故答案为：D
【分析】根据题意运用提公因式法和公式法因式分解，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题．
14．【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
15．【答案】解：∵2a2-2a=2a(a-1)；
a2+6a+9=(a+3)2；
4-a2=(2-a)(2+a)；
3a2+12a=3a(a+4)；
∴连线如图所示。
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】①由题意，用提公因式法分解因式；
②由题意，用完全平方公式分解因式；
③由题意，用平方差公式分解因式；
④由题意，用提公因式法分解因式；
根据分解因式的结果连线即可.
16．【答案】49
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
=，
∴x=49.
故答案为：49.
【分析】对等式左边，先提公因式后按平方差公式分解，对比指数求得x.
17．【答案】解：
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
【分析】（1）分析10以内各自然数平方的尾数特征，发现2与5的平方和恰好是29；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示成一个完全平方式与常数和的形式；
（3）先把常数项5表示成1与4的和，则恰好能把等式左边表示成两个完全平方式的和，由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，可分别求出的值，则可求；
（4）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，可先把常数表示成的形式，则由“完美数”的概念知，S是两个完全平方式的和，则（k－13）等于0 ；
（5）由于等于，由平方式的非负性可知其有最小值1．
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一、夯实基础
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．（2024七下·高州月考）已知是完全平方式，则常数k可以取（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是完全平方式，
，
，
故答案为：C．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
3．（2024七下·青岛期中）下列各式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式
【解析】【解答】解：A、(x+y)2= x2+2xy+y2≠x2+y2，A错误；
B、（x+6）（x-6）=x2-36，B错误；
C、（x-y）2=x2-2xy+y2，（y-x）2=y2-2xy+x2，C正确；
D、（3x-y）（-3x+y）=-（3x-y）（3x-y）=-（3x-y）2=-9x2+6xy-y2，D错误；
故答案为：C．
【分析】完全平方公式（a+b)2=a2+2ab+b2，平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，根据公式计算可得。
4．（2024七下·岳阳期中）若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（ ）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
【答案】D
【知识点】完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
∴M＝4xy，
故答案为：D
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
5．（广东省深圳市宝安区海韵学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题）x2+mx+4是关于x的完全半方式，则m= .
【答案】±4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2＋mx＋4＝x2＋mx＋22，x2＋mx＋4是一个含x的完全平方式，
∴mx＝±2×2x，
解得：m＝±4．
故答案为：±4．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法求出m的值即可.
6．（2024九上·斗门期中）请加上一个数配成完全平方式： ．
【答案】9
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意可知：；
故答案为：9．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤分析求解即可.
7．（浙教版（2024）数学七年级下册教材习题4.3用乘法公式分解因式）分解因式：
【答案】解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提取公因式得到原式为，最后根据平方差公式进行计算即可.
二、能力提升
8．（2024八上·路北月考）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式的特征逐项判断解题．
9．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
10．（2024八下·普宁期末）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？( )
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： =（a+b）（a-b），故不符合题意；
=-（x2+y2）， 不能用平方差公式分解， 故符合题意；
=9-x2=（3+x）（3-x），故不符合题意；
=（2m+5n）（2m-5n），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b），据此逐一判断即可.
11．（2024七下·嘉兴月考）已知4x2+1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式：①4x﹐②-2x，②3-1，④4x4，其中满足条件的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：4x2+1 + 4x =
4x2+1 + 4x4 =
4x2+1 -1 =
故①③④成立
故答案为：c.
【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握公式的特点是解决问题的关键.
12．（2024·浙江模拟）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示：
密文 … 8 …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
∴把密文用因式分解解码后，明文可能是我爱中大，
故答案为：D
【分析】根据题意运用提公因式法和公式法因式分解，进而即可求解。
13．（2024八下·武侯期中）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
∴
．
故答案为：．
【分析】利用平方差公式因式分解，然后整体代入计算解题．
14．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
15．（浙教版（2024）数学七年级下册教材习题4.1因式分解的意义）把相等的代数式用线连起来。
(2-a)(2+a) 2a(a-1) 3a(a+4)
【答案】解：∵2a2-2a=2a(a-1)；
a2+6a+9=(a+3)2；
4-a2=(2-a)(2+a)；
3a2+12a=3a(a+4)；
∴连线如图所示。
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】①由题意，用提公因式法分解因式；
②由题意，用完全平方公式分解因式；
③由题意，用平方差公式分解因式；
④由题意，用提公因式法分解因式；
根据分解因式的结果连线即可.
三、拓展创新
16． 已知 ， 那么
【答案】49
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵
=，
∴x=49.
故答案为：49.
【分析】对等式左边，先提公因式后按平方差公式分解，对比指数求得x.
17．（2024七下·金东期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________；
（2）若可配方成（、为常数），则__________；
【探究问题】
（3）已知，则__________；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【拓展结论】
（5）已知实数、满足，求的最小值．
【答案】解：
（4）当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数；
（5）∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为1
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴；
故答案为：-12.
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故答案为：-1.
【分析】（1）分析10以内各自然数平方的尾数特征，发现2与5的平方和恰好是29；
（2）当一个二次三项式的二次项系数为1时，可把常数项表示成一次项系数一半的平方与另一个常数的和，从而把这个整式表示成一个完全平方式与常数和的形式；
（3）先把常数项5表示成1与4的和，则恰好能把等式左边表示成两个完全平方式的和，由于两个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，可分别求出的值，则可求；
（4）由于完全平方公式的展开式是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍，可先把常数表示成的形式，则由“完美数”的概念知，S是两个完全平方式的和，则（k－13）等于0 ；
（5）由于等于，由平方式的非负性可知其有最小值1．
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