浙教版（2024）数学七年级下册5.4 分式的加减 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025·高州模拟）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式的加减法法则计算即可解答．
2．（2024八上·恩平期末）计算的结果等于（ ）
A． B．a C．1 D．
【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】利用分式的加法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再将分子相加）分析求解即可.
3．（2024八上·石家庄期中）下列选项正确的是（ ）
A．分式的最简公分母是
B．
C．
D．分式 中的a，b同时扩大2倍值不变
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；最简公分母
【解析】【解答】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意，A错误；
B．，原说法错误，不符合题意，B错误；
C．，原说法正确，符合题意，C正确；
D．分式中的a，b同时扩大2倍变为，即分式中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查最简公分母和分式的性质，根据5次方包含2次方可得：A中两个分式的最简公分母为，据此可判断A选项；根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以一个不为0的代数式，分式的值不变，可得：，据此可判断B选项；据分式的基本性质：分式的分子和分母同时除以一个不为0的代数式，分式的值不变，可得：，据此可判断C选项；利用分式的基本性质计算可得分式中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，据此可判断D选项.
4．（2024八上·昌平期中）将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】，所以．
故选：A．
【分析】本题考查等式的性质.先对等式右边进行通分可得：，再利用等式的性质进行变形可得：，据此可选出答案.
5．（2023九下·赵县模拟）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（ ）
化简： 解：原式 ………………①通分 ……………………②合并同类项 ……………………③提公因式 ………………………………④约分
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】①不是通分，而是同分母分式的加减法，故说法错误．
故选：A．
【分析】运用分式的加减法判断即可解题．
6．（2024八上·斗门期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母为 ．
【答案】
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【解答】 解：分式和进行通分，它们的最简公分母为.
故答案为：6a2b.
【分析】最简公分母含有数字和字母部分，数字部分取两个分母的最小公倍数，字母部分含所有字母并取字母的最大指数，据此求解即可.
7．（2024九下·浙江模拟）某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水 吨．（用含，的代数式表示）
【答案】
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（吨，
现在比原来每天节约用水吨；
故答案为：．
【分析】根据题意分别写出原来每天用水量减去现在每天用水量即可．
8．（2024八上·昌平期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的减法.根据同分母分式相减，分母不变，分子相减可得：原式，再进括号展开可得：原式，再进行计算可求出答案.
二、能力提升
9．（2024八上·怀化期末）已知 ，那么的值为 （ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】A
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：，，
∴，
故答案为：A．
【分析】先求出，，然后化为，再整体代入解题．
10．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（ ）
A．186 B．188 C．190 D．192
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
11．（2024·巴东模拟）为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“+”、“-”、“×”、“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为，则所加的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】A
【知识点】分式的加减法；分式的乘法；分式的除法
【解析】【解答】A、∵+==，∴A符合题意；
B、∵-=，∴B不符合题意；
C、∵×=，∴C不符合题意；
D、∵÷=，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用分式的加、减、乘、除的计算方法分别计算并判断即可.
12．（2023八上·余杭开学考）已知分式，，其中，则与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对A化简，利用分式的通分对B化简，即可比较与的关系.
13．（2024·内江）已知实数a，b满足，那么的值为 .
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案为：1.
【分析】将1=ab代入分式，然后进行化简即可.
14．（2024·瑞安竞赛）已知，则值等于 ．
【答案】
【知识点】完全平方式；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：.
【分析】先利用分组分解法把原式表示成两个非负数的和，由于这两个非负数和为0，则可求出的值，又因为所求代数式的每一个分式都是连续两个自然数积的倒数，其实质可表示成这两个连续自然的倒数的差，从而可以简化计算.
15．一项工作由甲单独做，需a天完成；如果甲、乙两人合做，则可提前2天完成。乙每天可完成这项工作的几分之几
【答案】解：.
答：乙每天可完成这项工作的.
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据工作总量除以工作时间等于工作效率可得甲独做的效率为“”，甲乙两人和做的效率为“”，然后根据乙独做的效率等于甲乙和做的效率减去甲独做的效率列出式子，进而利用异分母分式减法法则计算即可得出答案.
16．台风中心距A市s千米，正以6千米/时的速度向A市移动。救援车队从B市出发前往A市，速度为台风中心移动速度的4倍。已知A，B两地的路程为3s千米，救援车队能否在台风中心到来前赶到A市
【答案】解：∵台风中心到达A市需要的时间是小时，
救援车队到达A市需要的时间是小时，
∴救援车队到达A市比台风中心到达A市需要的时间少，
∴救援车队能在台风中心到来前赶到A市。
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据路程除以速度等于时间分别表示出台风中心及救援车队到达A市的时间，再利用作差法比较两个时间的大小即可判断得出答案.
三、拓展创新
17．（2024九上·重庆市开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，，，
∴，故①正确
②∵
∴
∴
∵
故②正确
③ 由①②可得分别是以3和6为周期的数列
∵
当为奇数时：
上式
∵
∴
当为偶数时：
上式
∵
∴
∴ 对于任意正整数，都成立
故③正确.
故选：D．
【分析】
①按照规定，依次把代入求出a2，再代入求出a3，同理求出a4，a5即可
②根据，分别求出可以发现Tn是以6为周期的数列，且
，然后根据循环规律进行计算即可
③先根据①②得出：，再进行k是奇数还是偶数进行分类讨论，代入①②计算的结果，进行计算即可.
18．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
19．（2024八上·温州期末）已知，求证：
（1）三个数中必有两数之和为零；
（2）对于任意奇数，均有．
【答案】（1）证明：，..
.
，
∴，
或或，
∴三个数中必有两数之和为0；
（2）证明：中必有一个为0，不妨设，则.
为奇数，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）去分母化为整式，分解因式可得，即可得到或或，解题即可；
（2）由（1）结论不妨设，然后代入可以得到，再利用解答即可．
（1）证明：，.
.
.
，
∴，
或或，
∴三个数中必有两数之和为0；
（2）证明：中必有一个为0，
不妨设，则.
为奇数，
，
，
，
，
，
∴．
1 / 1浙教版（2024）数学七年级下册5.4 分式的加减 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025·高州模拟）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·恩平期末）计算的结果等于（ ）
A． B．a C．1 D．
3．（2024八上·石家庄期中）下列选项正确的是（ ）
A．分式的最简公分母是
B．
C．
D．分式 中的a，b同时扩大2倍值不变
4．（2024八上·昌平期中）将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九下·赵县模拟）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（ ）
化简： 解：原式 ………………①通分 ……………………②合并同类项 ……………………③提公因式 ………………………………④约分
A．① B．② C．③ D．④
6．（2024八上·斗门期末）对分式和进行通分，它们的最简公分母为 ．
7．（2024九下·浙江模拟）某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为天，现在比原来每天节约用水 吨．（用含，的代数式表示）
8．（2024八上·昌平期中）计算：．
二、能力提升
9．（2024八上·怀化期末）已知 ，那么的值为 （ ）
A．4 B． C．2 D．0
10．（2025八下·嘉兴月考）实数满足，则（ ）
A．186 B．188 C．190 D．192
11．（2024·巴东模拟）为了练习分式的化简，张老师让同学们在分式和中间加上“+”、“-”、“×”、“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简，若化简的结果为，则所加的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
12．（2023八上·余杭开学考）已知分式，，其中，则与的关系是 （ ）
A． B． C． D．
13．（2024·内江）已知实数a，b满足，那么的值为 .
14．（2024·瑞安竞赛）已知，则值等于 ．
15．一项工作由甲单独做，需a天完成；如果甲、乙两人合做，则可提前2天完成。乙每天可完成这项工作的几分之几
16．台风中心距A市s千米，正以6千米/时的速度向A市移动。救援车队从B市出发前往A市，速度为台风中心移动速度的4倍。已知A，B两地的路程为3s千米，救援车队能否在台风中心到来前赶到A市
三、拓展创新
17．（2024九上·重庆市开学考）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
18．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
19．（2024八上·温州期末）已知，求证：
（1）三个数中必有两数之和为零；
（2）对于任意奇数，均有．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式的加减法法则计算即可解答．
2．【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：C.
【分析】利用分式的加法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再将分子相加）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；最简公分母
【解析】【解答】解：A．分式的最简公分母是，原说法错误，不符合题意，A错误；
B．，原说法错误，不符合题意，B错误；
C．，原说法正确，符合题意，C正确；
D．分式中的a，b同时扩大2倍变为，即分式中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，原说法错误，不符合题意，D错误；
故选：C．
【分析】本题考查最简公分母和分式的性质，根据5次方包含2次方可得：A中两个分式的最简公分母为，据此可判断A选项；根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以一个不为0的代数式，分式的值不变，可得：，据此可判断B选项；据分式的基本性质：分式的分子和分母同时除以一个不为0的代数式，分式的值不变，可得：，据此可判断C选项；利用分式的基本性质计算可得分式中的a，b同时扩大2倍值变为原来的2倍，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】，所以．
故选：A．
【分析】本题考查等式的性质.先对等式右边进行通分可得：，再利用等式的性质进行变形可得：，据此可选出答案.
5．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】①不是通分，而是同分母分式的加减法，故说法错误．
故选：A．
【分析】运用分式的加减法判断即可解题．
6．【答案】
【知识点】分式的通分；最简公分母
【解析】【解答】 解：分式和进行通分，它们的最简公分母为.
故答案为：6a2b.
【分析】最简公分母含有数字和字母部分，数字部分取两个分母的最小公倍数，字母部分含所有字母并取字母的最大指数，据此求解即可.
7．【答案】
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（吨，
现在比原来每天节约用水吨；
故答案为：．
【分析】根据题意分别写出原来每天用水量减去现在每天用水量即可．
8．【答案】解：
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的减法.根据同分母分式相减，分母不变，分子相减可得：原式，再进括号展开可得：原式，再进行计算可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：，，
∴，
故答案为：A．
【分析】先求出，，然后化为，再整体代入解题．
10．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵
∴，，
=
化简：原式
∵a+b+c=57
∴原式=135+57=192，
故选：D．
【分析】通过等量代换，可得，同理可得，，将原式变形，分母利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解，化简计算即可.
11．【答案】A
【知识点】分式的加减法；分式的乘法；分式的除法
【解析】【解答】A、∵+==，∴A符合题意；
B、∵-=，∴B不符合题意；
C、∵×=，∴C不符合题意；
D、∵÷=，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用分式的加、减、乘、除的计算方法分别计算并判断即可.
12．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对A化简，利用分式的通分对B化简，即可比较与的关系.
13．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ab=1，
∴原式=
故答案为：1.
【分析】将1=ab代入分式，然后进行化简即可.
14．【答案】
【知识点】完全平方式；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：.
【分析】先利用分组分解法把原式表示成两个非负数的和，由于这两个非负数和为0，则可求出的值，又因为所求代数式的每一个分式都是连续两个自然数积的倒数，其实质可表示成这两个连续自然的倒数的差，从而可以简化计算.
15．【答案】解：.
答：乙每天可完成这项工作的.
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据工作总量除以工作时间等于工作效率可得甲独做的效率为“”，甲乙两人和做的效率为“”，然后根据乙独做的效率等于甲乙和做的效率减去甲独做的效率列出式子，进而利用异分母分式减法法则计算即可得出答案.
16．【答案】解：∵台风中心到达A市需要的时间是小时，
救援车队到达A市需要的时间是小时，
∴救援车队到达A市比台风中心到达A市需要的时间少，
∴救援车队能在台风中心到来前赶到A市。
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据路程除以速度等于时间分别表示出台风中心及救援车队到达A市的时间，再利用作差法比较两个时间的大小即可判断得出答案.
17．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，，，，
∴，故①正确
②∵
∴
∴
∵
故②正确
③ 由①②可得分别是以3和6为周期的数列
∵
当为奇数时：
上式
∵
∴
当为偶数时：
上式
∵
∴
∴ 对于任意正整数，都成立
故③正确.
故选：D．
【分析】
①按照规定，依次把代入求出a2，再代入求出a3，同理求出a4，a5即可
②根据，分别求出可以发现Tn是以6为周期的数列，且
，然后根据循环规律进行计算即可
③先根据①②得出：，再进行k是奇数还是偶数进行分类讨论，代入①②计算的结果，进行计算即可.
18．【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
19．【答案】（1）证明：，..
.
，
∴，
或或，
∴三个数中必有两数之和为0；
（2）证明：中必有一个为0，不妨设，则.
为奇数，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）去分母化为整式，分解因式可得，即可得到或或，解题即可；
（2）由（1）结论不妨设，然后代入可以得到，再利用解答即可．
（1）证明：，.
.
.
，
∴，
或或，
∴三个数中必有两数之和为0；
（2）证明：中必有一个为0，
不妨设，则.
为奇数，
，
，
，
，
，
∴．
1 / 1
