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第1章 相交线与平行线基础题型解题解析
题型目录
一．相交线交点问题
二．对顶角辨析
三．对顶角性质应用
四．三线八角--给角定位置
五．三线八角-- 给定一角位置求另一角
六．三线八角--给出三线定八角
七．三线八角--给角定三线
八．平行线的判定--给出平行线
九．平行线的判定--给定三线
十．平行线的判定--综合判定
十一．平行线的性质--知三线用性质
十二．平行线的性质--定三线用性质
十三．平移--对应边（对应点连线）平行
十四．平移--对应点之间距离相等
一．相交线交点问题
解题解析：n条直线相交，最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）个交点．
1．用归纳策略解答问题：
如图，四条直线l1，l2，l3，l4，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”．
问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程．
【分析】根据四条直线两两相交，最多有6个交点，6＝1+2+3可得规律n条直线两两相交，最多有个交点．
【解答】解：∵四条直线两两相交，最多有6个交点，6＝1+2+3，
∴n条直线两两相交，最多有个交点，
当n＝101时，最多有5050个交点．
2．两条直线相交，最多有1个交点（如图a）；三条直线相交，最多有3个交点（如图b）；四条直线相交，最多有6个交点（如图c）．
（1）五条直线相交，最多有多少个交点？六条直线呢？（请画出图形）
（2）n条直线相交，你知道最多有多少个交点吗？（请说明理由）
【分析】（1）依题意画出五条直线相交，数一数最多交点的个数即可；依题意画出六条直线相交，数一数最多交点的个数即可；
（2）根据三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，五条直线相交，最多有10个交点，六条直线相交，最多有15个交点，以此类推可得出n条直线相交，最多交点的个数．
【解答】解：（1）五条直线相交，最多有10个交点，如图d所示：
六条直线相交，最多有15个交点，如图e所示：
（1）n条直线相交，你知道最多有个交点，理由如下：
三条直线相交，最多有3个交点，则3＝1+2，
四条直线相交，最多有6个交点，而6＝1+2+3，
五条直线相交，最多有10个交点，而10＝1+2+3+4，
六条直线相交，最多有15个交点，而15＝1+2+3+4+5，
…，以此类推，n条直线相交，最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）个交点．
3．同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线呢？n（n为大于1的整数）条呢？
【分析】画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有1+2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）个交点．
二．对顶角辨析
解题解析：两角四边组成两条直线即是对顶角
1．下列各图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可求解．
【解答】解：A．∠1与∠2不属于对顶角，故A选项不符合题意；
B．∠1与∠2不属于对顶角，故B选项符合题意；
C．∠1与∠2属于对顶角，故C选项不符合题意；
D．∠1与∠2不属于对顶角，故D选项不符合题意，
故选：C．
2．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用对顶角的定义判断即可．
【解答】解：利用对顶角的定义可知，只有图C中∠1与∠2是对顶角，
故选：C．
3．下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此判断即可．
【解答】解：A、其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，选项错误，不符合题意；
B、其中一个角的两边分别不是另一个角的两边的反向延长线，选项错误，不符合题意；
C、两个角没有公共顶点，选项错误，不符合题意；
D、两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，选项正确，符合题意．
故选：D．
三．对顶角性质应用
解题解析：遇到对顶角利用相等性质转移求解
1．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝76°，则∠BOD的度数为（ ）
A．144° B．142° C．128° D．104°
【分析】由题意易得∠AOB＝38°，进而问题可求解．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝76°，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝38°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝142°；
故选：B．
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD．若∠AOC＝34°，则∠BOE的大小为（ ）
A．136° B．134° C．126° D．124°
【分析】利用对顶角得出∠BOD＝34°，再利用垂直得∠EOD＝90°，最后利用角度和差即可得．
【解答】解：∵∠AOC＝34°，
∴∠BOD＝34°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠EOD＝34°+90°＝124°，
故选：D．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．65°
【分析】由直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，即可得∠BOD＝∠AOC＝90°﹣35°＝55°．
【解答】解：由直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，
得∠BOD＝∠AOC＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）图中∠AOC的对顶角为 ∠BOD ，∠BOE的邻补角为 ∠AOE ；
（2）若∠AOC＝80°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠AOE的度数．
【分析】（1）根据对顶角的定义，邻补角的定义求解即可．
（2）由对顶角的定义得出∠BOD＝80°，再结合已知条件可得出∠BOE＝32°，最后根据邻补角的定义求解即可．
【解答】解：（1）图中∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；
故答案为：∠BOD，∠AOE；
（2）由条件可知∠BOD＝80°，
∵∠BOE：∠EOD＝2：3且∠BOD＝∠BOE+∠EOD，
∴．
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣32°＝148°．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
【分析】根据图形，利用角的和差和倍数关系，进行求解即可．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°．
∵OE⊥CD，
∴∠AOE+∠AOC＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠AOC＝58°．
四．三线八角--给角定位置
解题解析：给出具体角，确定两角四边，连接公共边（截线），生成三线八角图（F型是同位角，Z型是内错角，n型是同旁内角），确定位置关系
1．∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，据此进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A、∠1和∠2是内错角，故不符合题意；
B、∠1和∠2是同位角，故符合题意；
C、∠1和∠2不是同位角，故不符合题意；
D、∠1和∠2不是同位角，故不符合题意；
故选：B．
2．如图，下列结论不正确的是（ ）
A．∠5与∠6是内错角 B．∠1与∠4是同位角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠2与∠3是同旁内角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的特征，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∠5与∠6是内错角，故A不符合题意；
B、∠1与∠4不是同位角，故B符合题意；
C、∠3与∠4是内错角，故C不符合题意；
D、∠2与∠3是同旁内角，故D不符合题意；
故选：B．
3．如图，直线a，b直线c所截，∠1与∠2是 同旁内角 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）．
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角定义结合图形进行判断，即可解题．
【解答】解：根据题意可知，∠1与∠2是同旁内角．
故答案为：同旁内角．
4．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角；⑤∠2和∠3是对顶角．其中正确的是 ①②③⑤ ．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
【解答】解：①∠A与∠1是同位角，正确；
②∠A与∠B是同旁内角，正确；
③∠4与∠1是内错角，正确；
④∠1与∠3不是同位角，原判断错误；
⑤∠2和∠3是对顶角，正确；
所以判断正确的是①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
5．如图，∠ADE与∠CED是直线AB和直线AC被直线 DE 所截而得到的 内错 角．
【分析】结合图形即可得出答案．
【解答】解：根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是内错角，
∴如图，∠ADE与∠CED是直线AB和直线AC被直线DE所截而得到的内错角，
故答案为：DE；内错．
6．如图，∠B与∠DAB是直线BC和DC被直线 BE 所截形成的角，称它们为 内错 角．
【分析】根据内错角的定义解答即可．
【解答】解：∠B与∠DAB是直线BC和DC被直线BE所截形成的角，称它们为内错角．
故答案为：BE，内错．
五．三线八角-- 给定一角位置求另一角
解题解析：确定一角两边，根据位置（同位角构画F型，内错角构画Z型，同旁内角构画n型）勾画出另一角（注：构画中会有多种情况）
1．如图，下列选项中与∠A是内错角的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【分析】根据内错角的定义进行判断即可．
【解答】解：根据内错角、同位角、同旁内角的定义得：
A、∠1和∠A是同位角，故不符合题意；
B、∠2和∠A不是内错角，故不符合题意；
C、∠3和∠A是内错角，故符合题意；
D、∠4和∠A是同旁内角，故不符合题意．
故选：C．
2．如图中与∠1构成同位角的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据同位角的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，直线a，直线c被直线b所截，∠1与∠2是同位角，
直线a，直线c被直线d所截，∠1与∠3是同位角，
直线a，直线c被直线e所截，∠1与∠4是同位角，
综上所述，与∠1构成同位角的共有3个，
故选：B．
3．如图，∠ABD的同旁内角共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．
【解答】解：∠ABD与∠ADB是直线AB、AD，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠AEB是直线AB、AC，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAE是直线AC、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAD是直线AD、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
故选：D．
4．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角的度数为 80° ．
【分析】由于∠2＝100°，利用邻补角定义可求∠3，而∠3就是∠1的同位角．
【解答】解：∠2＝100°，如图，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝80°，
∴∠1的同位角∠3等于80°，
故答案为：80°．
5．如图，能与∠1构成同位角的有 3 个．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，依此求解即可．
【解答】解：如图所示：
图中的∠NGE，∠NHF，∠MIP均能与∠1构成同位角．
故答案为：3．
六．三线八角--给出三线定八角
解题解析：确定三线，根据位置（同位角构画F型，内错角构画Z型，同旁内角构画n型）勾画出另一角（注：只有一种情况）
1．如图，直线AB，CD被AE所截，则∠A的同旁内角是 ∠AOC ．
【分析】根据同旁内角的定义即可求得．
【解答】解：∵直线AB，CD被AE所截，
∴∠A的同旁内角是∠AOC．
故答案为：∠AOC．
2．如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是 ∠4 ．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是∠4．
故答案为：∠4．
3．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1的同位角是 ∠3 ．
【分析】根据同位角的定义，找到F型，进行判断即可．
【解答】解：由图可知，∠1的同位角是∠3；
故答案为：∠3．
4．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是一对 同旁内角 ．（填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的知识进行判断即可．
【解答】解：∵直线a，b被直线c所截，
∴∠1与∠2是一对同旁内角，
故答案为：同旁内角．
5．如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为M、N，则∠AMN的内错角是 ∠DNM ．
【分析】根据内错角的定义即可得到结论．
【解答】解：根据内错角的定义，观察图片可知，
∠AMN的内错角是∠DNM，
故答案为：∠DNM．
七．三线八角--给角定三线
解题解析：给出具体角，确定两角四边，连接公共边，公共边是截线，另两条是被截线
1．如图，∠1和∠3是直线 AB ， CD 被直线 BD 所截构成的 内错 角．
【分析】根据内错角的定义，结合图形分析即可求解．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
【解答】解：∠1和∠3是直线AB和CD被直线BD所截而成的内错角，
故答案为：AB；CD；BD；内错．
2．如图，∠1与∠2是直线DE和BC被直线 AB 所截得的同位角．∠A与∠3是直线 AC 和 DE 被直线AB所截得的 同位 角．
【分析】结合图形，及同位角的定义，进行填空即可．
【解答】解：∠1与∠2是直线DE和BC被直线AB所截得的同位角．
∠A与∠3是直线AC和DE被直线AB所截得的同位角．
故答案为：AB、AC、DE、同位．
3．如图，∠1的同位角是 ∠DEB ，它们是直线 DF 、 DC 被直线 AE 所截得到的．
【分析】根据同位角的定义解答即可．
【解答】解：∠1的同位角是∠DEB，它们是直线DF、DC被直线AE所截得到的．
故答案为：∠DEB，DF，DC．
4．如图，∠1和∠3是两条直线 AB、AF 被直线ED所截构成的内错角．
【分析】根据内错角的定义进行判断即可．
【解答】解：∠1和∠3是两条直线AB、直线AF被直线ED所截构成的内错角，
故答案为：AB、AF．
5．∠2与∠3是直线 ③ 、 ④ 被直线 ⑤ 所截得的 ⑦ ．（填序号）
（①AB，②AC，③DE，④BC，⑤DF，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）
【分析】根据内错角的概念求解即可．
【解答】解：∠2与∠3是直线DE、BC被直线DF所截得的内错角．
故答案为：③，④，⑤，⑦．
八．平行线的判定--给出平行线
解题解析：已知平行线，先定截线再找八角，得出平行
1．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【解答】解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
B．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD；
D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD．
故选：A．
2．如图，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠DCE＝∠D D．∠B+∠BAD＝180°
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：A．当∠1＝∠3时，不能得到AB∥CD，故A选项错误；
B．当∠2＝∠4时，能得到AB∥CD，故B选项正确；
C．当∠DCE＝∠D时，不能得到AB∥CD，故C选项错误；
D．当∠B+∠BAD＝180°时，不能得到AB∥CD，故D选项错误；
故选：B．
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．
故选：C．
4．如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，HM平分∠GHD交AB于点M，若∠BGE＝54°，∠GHM＝27°，求证：AB∥CD．
【分析】由角平分线定义求出∠GHD＝2∠GHM＝54°，得到∠BGE＝∠GHD，推出AB∥CD．
【解答】证明：∵HM平分∠GHD，∠GHM＝27°，
∴∠GHD＝2∠GHM＝54°，
∴∠BGE＝∠GHD＝54°，
∴AB∥CD．
5．如图，E，F分别是线段AC，AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，CF，ED，若∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D，求证：FC∥ED．
【分析】根据角的和差关系可得∠EBD＝∠FCB，根据等量关系可得∠FCB＝∠D，再根据平行线的判定即可求解．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EBD＝∠FCB，
∵∠EBD＝∠D，
∴∠FCB＝∠D，
∴FC∥ED．
6．如图，∠BAF＝50°，∠ACE＝140°，CD⊥CE，证明：DC∥AB．
【分析】根据已知条件证明∠ACD＝∠CAB，再根据平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵CD⊥CE，
∴∠DCE＝90°．
∵∠ACE＝140°，
∴∠ACD＝360°﹣∠DCE﹣∠ACE＝130°．
又∵∠BAF＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠BAF＝130°，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴DC∥AB．
九．平行线的判定--给定三线
解题解析：确定三线，找到八角，判定平行（同位角，内错角要相等，同旁内角要互补）
1．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1+∠2＝180°
C．∠3+∠4＝180° D．∠2＝∠5
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠3是对顶角，∠1＝∠3不能判定a∥b，故A不符合题意；
B、∠1和∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°不能判定a∥b，故B不符合题意；
C、∠3和∠4是邻补角，∠3+∠4＝180°不能判定a∥b，故C不符合题意；
D、由同位角相等，两直线平行判定a∥b，故D符合题意．
故选：D．
2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．
【解答】解：第一个图形，∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD；故不符合题意；
第二个图形，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，故符合题意；
第三个图形，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD；
第四个图形，∵∠1＝∠2不能得到AB∥CD，
故不符合题意；
故选：C．
3．下列图形中，由∠1＝∠2能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：A、如图，
由∠1＝∠2不能判定AB∥CD
故A不符合题意；
B、由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，
故B符合题意；
C、∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，
故C不符合题意；
D、由∠1＝∠2不能判定AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：B．
4．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：A、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能得到AB∥CD，故不符合题意；
C、由∠1＝∠2，能得到AB∥CD，符合题意；
D、由∠1＝∠2，不能得到AB∥CD，不符合题意，
故选：C．
5．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可．
【解答】解：A、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，不符合题意；
C、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合题意，
故选：D．
十．平行线的判定--综合判定
解题解析：条件上图，确定证明方向（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补），条件往确定方向转移
1．如图，直线AB分别与直线AE直线BF相交于点A、点B，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请说明理由．
【分析】利用∠1＝∠2，同位角相等，可判定AC与BD平行，再证明∠EAB＝∠FBM，同位角相等，可判定AE与BF平行．
【解答】解：AC∥BD，AE∥BF，
理由如下：如图：
∵∠1＝35°，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2，
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行），
∵AC⊥AE，BD⊥BF，
∴∠EAC＝∠EBD＝90°，
∵∠1＝35°，∠2＝35°，
∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2，
∴∠EAB＝∠FBM，
∴AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
2．已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°．
求证：AD∥EF．
【分析】依据∠1＝∠2，即可得到∠ABE＝∠DBC，再根据∠3＝∠ABE，即可得出∠3＝∠DBC，进而判定EF∥BC，依据∠ADC+∠C＝180°，即可判定AD∥BC，进而得到AD∥EF．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠ABE＝∠DBC，
又∵∠3＝∠ABE，
∴∠3＝∠DBC，
∴EF∥BC，
∵∠ADC+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴AD∥EF．
3．已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．求证：AB∥CD．
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题得证．
【解答】证明：∵GH⊥CD，（已知）
∴∠CHG＝90°．（垂直定义）
又∵∠2＝30°，（已知）
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°．（对顶角相等）
又∵∠1＝60°，（已知）
∴∠1＝∠4．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
4．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义 ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝ 2∠2 （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质 ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝ 180° （ 等量代换 ）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行 ）．
【分析】首先根据角平分线的定义可得∠BDC＝2∠1，∠ABD＝2∠2，根据等量代换可得∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC＝180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【解答】证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ 角平分线的定义）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠2（角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 等式的性质）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 等量代换）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行）．
5．如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求证：AB∥EF．
【分析】根据角平分线定义及对顶角性质∠BCE＝∠DCF＝130°，则∠B+∠BCE＝180°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解．
【解答】证明：∵CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，
∴∠DCF＝2∠DCG＝130°，
∴∠BCE＝∠DCF＝130°，
∵∠B＝50°，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴AB∥EF．
6．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴ CE∥BF （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ），
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝ 90 °，
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ），
∴AB∥CD．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换），
∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°，
∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
十一．平行线的性质--知三线用性质
解题解析：根据平行线和已知角确定三线位置，利用性质进行转移求解
1．如图，AB∥CD，若∠1＝62°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．58° B．60° C．52° D．48°
【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝62°，进而可得∠3＝∠2﹣∠ACD＝58°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝62°，
∵∠2＝∠ACD+∠3，
∴∠3＝∠2﹣∠ACD＝120°﹣62°＝58°．
故选：A．
2．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（ ）
A．128° B．138° C．100° D．108°
【分析】先根据平行线性质求出∠A＝∠1＝24°，再根据邻补角的定义求出∠4，最后根据三角形外角性质求出∠3．
【解答】解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝24°，
∴根据平行线性质可得：∠A＝∠1＝24°，
∵∠2＝76°，∠2+∠4＝180°，
∴根据邻补角的定义可得：∠4＝180°﹣∠2＝104°，
∴∠3＝∠4+∠A＝128°．
故选：A．
3．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【分析】由m∥n，根据“两直线平行，同旁内角互补”得到∠1+∠2＝180°，然后把∠1＝105°代入计算即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
而∠1＝105°，
∴∠2＝180°﹣105°＝75°．
故选：D．
4．如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠4 两直线平行，同位角相等 ．
∵∠4＝∠3 对顶角相等 ，
又∠3＝60°（已知），
∴∠1＝∠3＝ 60° （等量代换）．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝ 120° （等式的性质）．
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠4，再利用对顶角相等可得∠4＝∠3，从而可得∠1＝∠3＝ 60°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵a∥b（已知），
∴∠1＝∠4两直线平行，同位角相等，
∵∠4＝∠3对顶角相等，
又∠3＝60°（已知），
∴∠1＝∠3＝ 60°（等量代换）．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝ 120°（等式的性质），
故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60°；120°．
5．如图，AB∥CD，线段MN与AB，CD分别相交于点M，N，NE平分∠CNM，NF平分∠MND，∠AMN＝75°．
（1）求∠CNE的度数；
（2）求证：EN⊥NF．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得：∠MNC＝105°，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；
（2）利用双角平分线的模型进行计算，即可解答．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠AMN+∠MNC＝180°，
∵∠AMM＝75°，
∴∠MNC＝180°﹣∠AMN＝105°，
∵NE为∠MNC的平分线，
∴；
（2）证明：∵NE平分∠CNM，NF平分∠MND，
∴，
∴，
∴∠ENF＝90°，
∴EN⊥NF．
十二．平行线的性质--定三线用性质
解题解析：条件上图，由角定三线，根据三线用平行线性质转移解题
1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝53°，则∠4的度数为 127 度．
【分析】根据内错角相等两直线平行得a∥b，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠4+∠3＝180，
∵∠3＝53°，
∴∠4＝180°﹣53°＝127°．
故答案为：127．
2．如图，直线a⊥c，b⊥c，直线d与直线a，b相交，若∠1＝60°，则∠2度数是 120° ．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵a⊥c，b⊥c，
∴∠3＝90°，∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴a∥b，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝120°，
故答案为：120°．
3．如图，∠1＝∠2，∠DAB＝80°，则∠B＝ 100 度．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝80°，
∴∠B＝100°，
故答案为：100．
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【分析】先根据同位角相等，两直线平行判断出l1∥l2，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴l1∥l2，
∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣125°＝55°．
故选：B．
5．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（ ）
A．60° B．120° C．130° D．80°
【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠3＝60°，
∴∠4＝120°，
故选：B．
6．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4的大小是 120 度．
【分析】先根据平行线的判定定理得出a∥b，再由邻补角的定义求出∠3+∠5的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴a∥b，
∵∠2＝60°，
∴∠3+∠5＝180°﹣60°＝120°，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3+∠5＝120°．
故答案为：120．
十三．平移--对应边（对应点连线）平行
解题解析：平移前后对应边相互平行，利用平行性质解题
1．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．90° D．130°
【分析】根据平移的性质得出l1∥l2，进而得出∠2的度数．
【解答】解：∵将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，
∴l1∥l2，
∵∠1＝50°，
∴∠2的度数是50°．
故选：B．
2．如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（ ）
A．130° B．90° C．65° D．50°
【分析】平移的性质得到CD∥C'D'，根据平行线的性质计算即可．
【解答】解：由平移的性质可知，CD∥C'D'，
则∠1+∠2＝180°，
∵∠2＝130°，
∴∠1＝50°，
故选：D．
3．如图，∠AOB的顶点O在直线MN上，把∠AOB沿着直线MN平移到∠A'O'B'处．若∠AOM＝40°，∠AOB＝90°，则∠B'O'N的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由平移得∠A'O'B'＝∠AOB＝90°，∠A'O'M＝∠AOM＝40°，则可得∠B'O'N＝180°﹣∠A'O'B'﹣∠A'O'M＝50°．
【解答】解：由平移得，∠A'O'B'＝∠AOB＝90°，OA∥O'A'，
∴∠A'O'M＝∠AOM＝40°，
∴∠B'O'N＝180°﹣∠A'O'B'﹣∠A'O'M＝50°．
故选：B．
4．如图，将直线CD向上平移到AB的位置，若∠1＝130°，则D的度数为（ ）
A．130° B．50° C．45° D．35°
【分析】先根据邻补角的定义求出∠2，再根据平行线的性质即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵∠1和∠2是邻补角，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝130°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠2＝50°，
故选：B．
5．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝ 105°
【分析】本题利用平移的性质可求解．
【解答】解：由平移可知∠DEF＝∠ABC＝75°，
∵BE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°．
十四．平移--对应点之间距离相等
解题解析：平移前后对应点之间距离相等（平移距离等于对应点之间的距离）
1．如图，△ABE的周长是18cm，将△ABE向右平移2cm，得到△DCF．求四边形ABFD的周长 22cm ．
【分析】根据平移的性质，得出AD＝EF＝2cm及DF＝AE，据此可解决问题．
【解答】解：由平移可知，
AD＝EF＝2cm，DF＝AE，
所以四边形ABFD的周长为：AB+BF+DF+AD＝AB+BE+EF+AE+AD＝AB+BE+AE+4（cm）．
又因为△ABE的周长是18cm，
即AB+BE+AE＝18cm，
所以四边形ABFD的周长为：18+4＝22（cm）．
故答案为：22cm．
2．如图，在△ABC中，已知AB＝2cm，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 12cm ．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BC+FC+DF，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
∴AD＝CFcm，DF＝AC，
又∵AB＝2cm，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BC+FC+DF2+43＝12cm，
故答案为：12cm．
3．如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF，如果AB＝8，BE＝4，DH＝2，则图中阴影部分的面积为 28 ．
【分析】根据平移的性质得到AB＝DE，S△ABC＝S△DEF，进而得出阴影部分的面积＝S梯形ABEH，根据梯形的面积公式计算即可．
【解答】解：由平移的性质可知，AB＝DE，S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC﹣S△HEC＝S△DEF﹣S△HEC，即阴影部分的面积＝S梯形ABEH，
∵AB＝8，
∴DE＝AB＝8，
∴EH＝DE﹣DH＝6，
∴阴影部分的面积＝S梯形ABEH（6+8）×4＝28，
故答案为：28．
4．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移6个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 20 ．
【分析】根据平移可知AD＝CF＝6，AC＝DF，然后问题可求解．
【解答】解：由平移可知：AD＝CF＝6，AC＝DF，
∵C△ABC＝AB+BC+AC＝8，
∴四边形ABFD的周长为AD+AB+BC+CF+DF＝6+8+6＝20；
故答案为：20．
5．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 同时 先回到洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）．
【分析】根据平移的性质即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将甲所走路线中的横向线段向上平移，纵向线段向左平移，
则平移后甲的路线即为最大网格正方形的上边和左边．
又因为乙所走的路线为最大网格正方形的下边和右边，
所以甲、乙所走路程相等．
又因为它们爬行的速度相等，
所以它们同时回到洞中．
故答案为：同时．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 相交线与平行线基础题型解题解析
题型目录
一．相交线交点问题
二．对顶角辨析
三．对顶角性质应用
四．三线八角--给角定位置
五．三线八角-- 给定一角位置求另一角
六．三线八角--给出三线定八角
七．三线八角--给角定三线
八．平行线的判定--给出平行线
九．平行线的判定--给定三线
十．平行线的判定--综合判定
十一．平行线的性质--知三线用性质
十二．平行线的性质--定三线用性质
十三．平移--对应边（对应点连线）平行
十四．平移--对应点之间距离相等
一．相交线交点问题
解题解析：n条直线相交，最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）个交点．
1．用归纳策略解答问题：
如图，四条直线l1，l2，l3，l4，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”．
问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程．
2．两条直线相交，最多有1个交点（如图a）；三条直线相交，最多有3个交点（如图b）；四条直线相交，最多有6个交点（如图c）．
（1）五条直线相交，最多有多少个交点？六条直线呢？（请画出图形）
（2）n条直线相交，你知道最多有多少个交点吗？（请说明理由）
3．同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线呢？n（n为大于1的整数）条呢？
二．对顶角辨析
解题解析：两角四边组成两条直线即是对顶角
1．下列各图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
三．对顶角性质应用
解题解析：遇到对顶角利用相等性质转移求解
1．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝76°，则∠BOD的度数为（ ）
A．144° B．142° C．128° D．104°
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD．若∠AOC＝34°，则∠BOE的大小为（ ）
A．136° B．134° C．126° D．124°
3．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°，∠BOD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．45° D．65°
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．
（1）图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角为 ；
（2）若∠AOC＝80°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，求∠AOE的度数．
5．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．
四．三线八角--给角定位置
解题解析：给出具体角，确定两角四边，连接公共边（截线），生成三线八角图（F型是同位角，Z型是内错角，n型是同旁内角），确定位置关系
1．∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，下列结论不正确的是（ ）
A．∠5与∠6是内错角 B．∠1与∠4是同位角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠2与∠3是同旁内角
3．如图，直线a，b直线c所截，∠1与∠2是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）．
4．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角；⑤∠2和∠3是对顶角．其中正确的是 ．
5．如图，∠ADE与∠CED是直线AB和直线AC被直线 所截而得到的 角．
6．如图，∠B与∠DAB是直线BC和DC被直线 所截形成的角，称它们为 角．
五．三线八角-- 给定一角位置求另一角
解题解析：确定一角两边，根据位置（同位角构画F型，内错角构画Z型，同旁内角构画n型）勾画出另一角（注：构画中会有多种情况）
1．如图，下列选项中与∠A是内错角的是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
2．如图中与∠1构成同位角的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，∠ABD的同旁内角共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角的度数为 ．
5．如图，能与∠1构成同位角的有 个．
六．三线八角--给出三线定八角
解题解析：确定三线，根据位置（同位角构画F型，内错角构画Z型，同旁内角构画n型）勾画出另一角（注：只有一种情况）
1．如图，直线AB，CD被AE所截，则∠A的同旁内角是 ．
2．如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同位角是 ．
3．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1的同位角是 ．
4．如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2是一对 ．（填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）
5．如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为M、N，则∠AMN的内错角是 ．
七．三线八角--给角定三线
解题解析：给出具体角，确定两角四边，连接公共边，公共边是截线，另两条是被截线
1．如图，∠1和∠3是直线 ， 被直线 所截构成的 角．
2．如图，∠1与∠2是直线DE和BC被直线 所截得的同位角．∠A与∠3是直线 和 被直线AB所截得的 角．
3．如图，∠1的同位角是 ∠DEB ，它们是直线 DF 、 DC 被直线 AE 所截得到的．
4．如图，∠1和∠3是两条直线 被直线ED所截构成的内错角．
5．∠2与∠3是直线 、 被直线 所截得的 ．（填序号）
（①AB，②AC，③DE，④BC，⑤DF，⑥同位角，⑦内错角，⑧同旁内角）
八．平行线的判定--给出平行线
解题解析：已知平行线，先定截线再找八角，得出平行
1．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
2．如图，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4
C．∠DCE＝∠D D．∠B+∠BAD＝180°
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，HM平分∠GHD交AB于点M，若∠BGE＝54°，∠GHM＝27°，求证：AB∥CD．
5．如图，E，F分别是线段AC，AB上一点，点D在BC的延长线上，连接BE，CF，ED，若∠1＝∠2，∠ABC＝∠ACB，∠EBD＝∠D，求证：FC∥ED．
6．如图，∠BAF＝50°，∠ACE＝140°，CD⊥CE，证明：DC∥AB．
九．平行线的判定--给定三线
解题解析：确定三线，找到八角，判定平行（同位角，内错角要相等，同旁内角要互补）
1．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1+∠2＝180°
C．∠3+∠4＝180° D．∠2＝∠5
2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．下列图形中，由∠1＝∠2能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
十．平行线的判定--综合判定
解题解析：条件上图，确定证明方向（同位角相等，内错角相等，同旁内角互补），条件往确定方向转移
1．如图，直线AB分别与直线AE直线BF相交于点A、点B，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？请说明理由．
2．已知：如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°．
求证：AD∥EF．
3．已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．求证：AB∥CD．
4．完成下面的证明：
已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝ （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
5．如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求证：AB∥EF．
6．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ ），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴ （ ），
∴∠AFB＝∠AOE（ ），
∴∠AFB＝90°（ ），
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝ °，
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ ），
∴AB∥CD．（ ）
十一．平行线的性质--知三线用性质
解题解析：根据平行线和已知角确定三线位置，利用性质进行转移求解
1．如图，AB∥CD，若∠1＝62°，∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．58° B．60° C．52° D．48°
2．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝24°，∠2＝76°，则∠3的度数为（ ）
A．128° B．138° C．100° D．108°
3．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
4．如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵a∥b（ ），
∴∠1＝∠4 ．
∵∠4＝∠3 ，
又∠3＝60°（ ），
∴∠1＝∠3＝ （ ）．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝ （ ）．
5．如图，AB∥CD，线段MN与AB，CD分别相交于点M，N，NE平分∠CNM，NF平分∠MND，∠AMN＝75°．
（1）求∠CNE的度数；
（2）求证：EN⊥NF．
十二．平行线的性质--定三线用性质
解题解析：条件上图，由角定三线，根据三线用平行线性质转移解题
1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝53°，则∠4的度数为 度．
2．如图，直线a⊥c，b⊥c，直线d与直线a，b相交，若∠1＝60°，则∠2度数是 ．
3．如图，∠1＝∠2，∠DAB＝80°，则∠B＝ 度．
4．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
5．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（ ）
A．60° B．120° C．130° D．80°
6．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4的大小是 度．
十三．平移--对应边（对应点连线）平行
解题解析：平移前后对应边相互平行，利用平行性质解题
1．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A．40° B．50° C．90° D．130°
2．如图，将线段CD平移至C'D'，若∠2＝130°，则∠1等于（ ）
A．130° B．90° C．65° D．50°
3．如图，∠AOB的顶点O在直线MN上，把∠AOB沿着直线MN平移到∠A'O'B'处．若∠AOM＝40°，∠AOB＝90°，则∠B'O'N的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
4．如图，将直线CD向上平移到AB的位置，若∠1＝130°，则D的度数为（ ）
A．130° B．50° C．45° D．35°
5．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝
十四．平移--对应点之间距离相等
解题解析：平移前后对应点之间距离相等（平移距离等于对应点之间的距离）
1．如图，△ABE的周长是18cm，将△ABE向右平移2cm，得到△DCF．求四边形ABFD的周长 ．
2．如图，在△ABC中，已知AB＝2cm，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC 沿BC方向平移得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
3．如图，是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF，如果AB＝8，BE＝4，DH＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
4．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移6个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 ．
5．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、O的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，请判断 先回到
洞中（选择填“甲先”或“乙先”或“同时”）．
