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第4章 因式分解 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
3．下列运算中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．-4b2+a2 C．-a2-4b2 D．a3-4b2
5．2x2﹣x﹣6的一个因式是（ ）
A．x﹣2 B．2x+1 C．x+3 D．2x﹣3
6．把 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
8．已知x=3y+5，且x2-7xy+9y2=24，则x2y-3xy2的值为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．12
9．若表示一个完全平方式，则k的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
10．已知多项式（为常数），下列说法：
①当时，无论取何值，都有；
②若且，则；
③若，则不存在整数，使得．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．分解因式： ．
12．分解因式：2ax2﹣8ay2= ．
13．因式分解： ．
14．如果多项式x2+kx﹣6分解因式为（x﹣2）（x+3），则k的值是 ．
15．分解因式：ax2－4a＝ ．
16．在实数范围内分解因式：2x2-32= ．
三、综合题
17．综合题。
（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是 ；
（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 ．
18．分解因式：
（1）25（m+n）2﹣（m﹣n）2
（2）x2+y2+2xy﹣1．
19．分解因式：
（1）3a3﹣6a2+3a．
（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
20．因式分解：
（1）4x3y﹣4x2y2+xy3
（2）p3（a﹣1）+p（1﹣a）
21．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：
在长方形中，长为，长为，且．
（1）若该长方形的周长为，面积为，求的值；
（2）若a，b满足，求的值；
（3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长．
22．把下列各式因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）；
（2）（a2+9）2﹣36a2．
23．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
24．因式分解：
（1）2ax2－8a
（2）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．
25．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ，则
原式=
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
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第4章 因式分解 单元精选真题测评卷
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、从左至右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、灯丝的右边是整式的乘积形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”并结合各选项可判断求解.
2．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
【答案】A
【解析】【解答】解：﹣6a3b2﹣3a2b2=﹣3a2b2（2a+3）．
所以应提取的公因式是﹣3a2b2．
故选：A．
【分析】提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
3．下列运算中正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】对于A，2x与y不是同类项，不能合并；对于B，正确结果应是-9a4b2，而C正确结果应是x2+2xy+y2，而D结果正确；故选D.
【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方式、整式除法规则一 一判断即可.
4．下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．-4b2+a2 C．-a2-4b2 D．a3-4b2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+4b2，两项符号相同，不能分解，故A不符合题意；
B、-a2+4b2=4b2-a2=（2b+a）（2b-a），故B符合题意；
C、-a2-4b2=-（a2+4b2），两项符号相同，不能分解因式，故C不符合题意；
D、a3-4b2，不符合平方差公式的结构特点，不能分解，故D不符合题意。
【分析】根据平方差公式的特点：多项式有两项，两项都能化成平方形式，且两项的符号相反，对每个选项进行判断即可。
5．2x2﹣x﹣6的一个因式是（ ）
A．x﹣2 B．2x+1 C．x+3 D．2x﹣3
【答案】A
【解析】【解答】解：2x2﹣x﹣6=（x﹣2）（2x+3）．
故选：A．
【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．
6．把 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）.
故答案为：C.
【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解，即可得出正确答案.
7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
【答案】A
【解析】【解答】解：∵2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
而信息中的汉字有：爱、中、华、我．
∴结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故答案为：A.
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，然后找出各个因式对应的汉字即可对各选项进行判断．
8．已知x=3y+5，且x2-7xy+9y2=24，则x2y-3xy2的值为（ ）
A．0 B．1 C．5 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解： 由x=3y+5，得x-3y=5，
x2y-3xy2 =xy(x-3y)=5xy，
由x-3y=5，得x2-6xy+9y2=25，
x2+9y2=25+6xy，
∵x2-7xy+9y2=24，
∴x2+9y2=24+7xy，
∴25+6xy=24+7xy，
7xy-6xy=25-24，
∴xy=1，
∴x2y-3xy2 =5xy=5×1=5，
故答案为：C
【分析】把已知x=3y+5移项得到x-3y=5，将求值式提取公因式代值，得x2y-3xy2 =5xy； 再将x-3y=5两边平方得x2+9y2=25+6xy， 结合x2+9y2=24+7xy，求得xy=1，代入x2y-3xy2 =5xy，即可求出结果。
9．若表示一个完全平方式，则k的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵a2+4a+k是一个完全平方式，
∴a2+4a+k＝a2+2 a 2+22，
∴k＝22＝4，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方式的特征可得k＝22＝4。
10．已知多项式（为常数），下列说法：
①当时，无论取何值，都有；
②若且，则；
③若，则不存在整数，使得．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
二、填空题
11．分解因式： ．
【答案】2y（x+2y）（x-2y）
【解析】【解答】解：，
故答案为：2y（x+2y）（x-2y）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
12．分解因式：2ax2﹣8ay2= ．
【答案】2a（x+2y）（x﹣2y）
【解析】【解答】解：原式=2a（x2﹣4y2）
=2a（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2a（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】首先提取公因式2a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
13．因式分解： ．
【答案】
14．如果多项式x2+kx﹣6分解因式为（x﹣2）（x+3），则k的值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意得：x2+kx﹣6=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，
故可得：k=1．
故答案为：1．
【分析】将（x﹣2）（x+3）进行整式的乘法运算，然后根据对应相等可得出k的值．
15．分解因式：ax2－4a＝ ．
【答案】
【解析】【解答】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可： ．
【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行分解。．
16．在实数范围内分解因式：2x2-32= ．
【答案】
【解析】【解答】原式=2（x2﹣16）
=2（x+4）（x﹣4）．
故答案为：2（x+4）（x﹣4）．
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止，
三、综合题
17．综合题。
（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是 ；
（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是 ．
【答案】（1）x（x+y）2
（2）4（m﹣n）
【解析】【解答】解：（1）﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．
故答案为：4（m﹣n）x（x+y）2．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
18．分解因式：
（1）25（m+n）2﹣（m﹣n）2
（2）x2+y2+2xy﹣1．
【答案】（1）解：原式=[5（m+n）+（m﹣n）][5（m+n）﹣（m﹣n）]=（6m+4n）（4m+6n）=4（3m+2n）（2m+3n）
（2）解：原式=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）
【解析】【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
19．分解因式：
（1）3a3﹣6a2+3a．
（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．
【答案】（1）解：原式=3a（a2﹣2a+1）=3a（a﹣1）2
故答案为：3a（a﹣1）2
（2）解：原式=（x﹣y）（a2﹣b2）=（x﹣y）（a﹣b）（a+b）
故答案为：（x﹣y）（a﹣b）（a+b）
【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方差以及平方差公式进行计算。
20．因式分解：
（1）4x3y﹣4x2y2+xy3
（2）p3（a﹣1）+p（1﹣a）
【答案】（1）解：4x3y﹣4x2y2+xy3
=xy（4x2﹣4xy+y2）
=xy（2x﹣y）2
（2）解：p3（a﹣1）+p（1﹣a）
=p（a﹣1）（p2﹣1）
=p（a﹣1）（p﹣1）（p+1）．
【解析】【分析】（1）先提取公因式xy，再利用完全平方公式分解.
（2）先提取公因式 p（a﹣1），再利用平方差公式分解.
21．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：
在长方形中，长为，长为，且．
（1）若该长方形的周长为，面积为，求的值；
（2）若a，b满足，求的值；
（3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为，宽为的长方形水池，将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为，求和的长．
【答案】（1）
（2）
（3）和的长分别为，．
22．把下列各式因式分解
（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）；
（2）（a2+9）2﹣36a2．
【答案】（1）解：原式=2（a﹣b）（m+3n）
（2）解：原式=（a2+9+6a）（a2+9﹣6a）
=（a+3）2（a﹣3）2
【解析】【分析】（1）根据提公因式法，可得答案；（2）根据平方差公式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
23．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
=
=
【解析】【分析】（1）直接运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式xy，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式（x+y），再运用平方差公式进行因式分解即可．
24．因式分解：
（1）2ax2－8a
（2）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．
【答案】（1）原式=2a（x2-4）
=2a（x+2）（x-2）；
（2）原式=a2-4ab-ab+4b2+ab=a2-4ab+4b2=（a-2b）2；
【解析】【分析】（1）原式先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；
25．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程．
解：设 ，则
原式=
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解．
【答案】（1）不彻底；
（2）解：设 ，则
原式=
【解析】【分析】设，则原代数式整理后可用完全平方公式分解因式；然后将回代回去，用完全平方公式继续因式分解。
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