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第5章 分式 单元同步精练与测试
一、单选题
1．已知，则表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析：在对生活垃圾进行分类时，机器人分类120桶所用的时间与人工分类90桶所用的时间相同，已知机器人每小时比人工多分类20桶垃圾.若设机器人每小时分类 桶垃圾，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A．1或﹣4或6 B．1或4或﹣6 C．﹣4或6 D．4或﹣6
7．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
8．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱。各种品牌相继投放市场。一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元。销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元 设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于x的分式方程+3＝无解，m的值为（ ）
A．7 B．-7 C．1 D．-1
10．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作）
操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，）
操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）；
操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推）
将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论：
①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）·
以上说法中，正确的个数为（ ）·
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．函数y= 的定义域是 ．
12．关于x的方程=无解，则m的值是 ．
13．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 ．
14．临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 元．（用最简分式表示）
15．已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ．
16．化简： 。
三、综合题
17．黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某商家计划购进一批大同黄花，据了解，斤甲品种黄花比斤乙品种黄花贵元；用元购进甲品种黄花和用元购进乙品种黄花的斤数相同．求甲品种黄花和乙品种黄花的进价．
18．随着数字化时代的到来，人工智能被广泛应用，包括无人便利店、智慧供应链、客流统计无人车和无人仓等．某物流公司利用人工智能进行升级，在升级前可配送8万件物品，在相同的时间内，现在可配送的物品数量是原来的1.5倍．
（1）现在可配送的物品数量是________万件．
（2）若升级后每小时比升级前多配送0.5万件物品，求升级后每小时配送物品的数量．
19．如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
进货单
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7200
乙 3200
20．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
（1）设江水的流速为 千米/时，填空：轮船顺流航行速度为 千米/时，逆流航行速度为 千米/时，顺流航行100千米所用时间为 小时，逆流航行60千米所用时间为 小时.
（2）列出方程，并求出问题的解.
21．x取什么值时，分式 ；
（1）无意义？
（2）有意义？
（3）值为零？
22．2022年北京冬奥会引起了全民运动的热潮，滑雪场为了吸引儿童们从小健身锻炼，热爱雪上运动，预备开展儿童冬季雪具售卖活动，新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板．其中，一个滑雪板的进价比雪车少5元；滑雪板和雪车分别花费6000元和6400元．请问：每个儿童雪车与滑雪板的进价各是多少元？
23．天津市奥林匹克中心体育场—“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
（1）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）
速度（千米/时） 所用时间（时） 所走的路程（千米）
骑自行车 x
10
乘汽车
10
（2）列出方程（组），并求出问题的解．
24．节日里，兄弟两人在60米的跑道上进行短距离比赛，两人从出发点同时起跑，哥哥到达终点时，弟弟离终点还差12米．
（1）若哥哥的速度为10米/秒，
①求弟弟的速度；
②如果两人重新开始比赛，哥哥从起点向后退10米，兄弟同时起跑，两人能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
（2）若哥哥的速度为m米/秒，
①弟弟的速度为 米/秒(用含m的代数式表示)；
②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退多少米？
25．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米.建A类，B类摊位每平方米的费用分别为40元，30元.若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的.
（1）求每个A，B类摊位的占地面积.
（2）已知该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完.
①请写出建A，B两类摊位个数的所有方案，并说明理由.
②请预算出该社区建成A，B两类摊位需要投入的最大费用.
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第5章 分式 单元同步精练与测试
一、单选题
1．已知，则表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得
1+x≠0，
∴．
故答案为：B．
【分析】分母不为0，解得答案为B。
3．某单位购进一种垃圾分类机器人，据实验分析：在对生活垃圾进行分类时，机器人分类120桶所用的时间与人工分类90桶所用的时间相同，已知机器人每小时比人工多分类20桶垃圾.若设机器人每小时分类 桶垃圾，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】机器人分类的时间表示为： ，人工分类的时间表示为： .
由题意时间相等即可得： .
故答案为：C.
【分析】由题意机器人每小时分类x桶，则人工分类(x-20)桶，根据时间相等列出等式即可.
4．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
5．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 =﹣1；
B、 = ；
C、 分子、分母中不含公因式，不能化简，故为最简分式；
D、 = ．
故选：C．
【分析】要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．
6．若关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A．1或﹣4或6 B．1或4或﹣6 C．﹣4或6 D．4或﹣6
【答案】A
【解析】【解答】解：分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)
整理得：(k-1)x=-10
当k=1时，上述方程无解，从而原分式方程无解；
当k≠1时，分式方程的增根为2或-2
当x=2时，则有2(k-1)=-10，解得：k=-4；
当x=-2时，则有-2(k-1)=-10，解得：k=6
综上所述，当k的值为1或﹣4或6时，分式方程无解；
故答案为：A.
【分析】分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)，整理可得(k-1)x=-10，然后分k-1=0与k-1≠0，结合增根进行求解.
7．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得： 且x+2≠0，解得x=2。
故答案为：B。
【分析】根据分式的值为0，分子为0，分母不为0混合组，求解即可。
8．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱。各种品牌相继投放市场。一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元。销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元 设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】
设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元 ，则去年每辆车销售价格为（x+1）万元，
,
故答案为：A.
【分析】设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元 ，可得去年每辆车销售价格为（x+1）万元，利用今年的销售数量=去年的销售数量，列出方程即可.
9．关于x的分式方程+3＝无解，m的值为（ ）
A．7 B．-7 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】【解答】解：两边都乘以得
分式方程的增根是
将代入，得
故答案为：A.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)，得7+3(x-1)=m，然后将增根x=1代入进行计算可得m的值.
10．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作）
操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，）
操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）；
操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推）
将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论：
①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）·
以上说法中，正确的个数为（ ）·
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
二、填空题
11．函数y= 的定义域是 ．
【答案】x≠2
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，即x≠2.
故答案为：x≠2
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解.
12．关于x的方程=无解，则m的值是 ．
【答案】1或0
【解析】【解答】解：去分母得mx=3，
∵x=3时，最简公分母x﹣3=0，此时整式方程的解是原方程的增根，
∴当x=3时，原方程无解，此时3m=3，解得m=1，
当m=0时，整式方程无解
∴m的值为1或0时，方程无解．
故答案为：1或0．
【分析】先把分式方程化为整式方程得到mx=3，由于关于x的分式方程=无解，当x=3时，最简公分母x﹣3=0，将x=3代入方程mx=3，解得m=1，当m=0时，方程也无解．
13．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵=，
∴=3，即+=3①；
同理可得+=4②，
+=5③；
∴①+②+③得：2（++）=3+4+5；++=6；
又∵的倒数为，即为++=6，则原数为．
故答案为．
14．临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过节，租金为5000元，出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名，如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少 元．（用最简分式表示）
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
故答案为： ．
【分析】根据包车租金不变，计算求解即可。
15．已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ．
【答案】且
16．化简： 。
【答案】
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】根据分式的乘法运算法则，分别化简求出即可
三、综合题
17．黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某商家计划购进一批大同黄花，据了解，斤甲品种黄花比斤乙品种黄花贵元；用元购进甲品种黄花和用元购进乙品种黄花的斤数相同．求甲品种黄花和乙品种黄花的进价．
【答案】甲品种黄花的进价元斤，乙品种黄花的进价元斤．
18．随着数字化时代的到来，人工智能被广泛应用，包括无人便利店、智慧供应链、客流统计无人车和无人仓等．某物流公司利用人工智能进行升级，在升级前可配送8万件物品，在相同的时间内，现在可配送的物品数量是原来的1.5倍．
（1）现在可配送的物品数量是________万件．
（2）若升级后每小时比升级前多配送0.5万件物品，求升级后每小时配送物品的数量．
【答案】（1）12
（2）升级后每小时配送物品的数量是1.5万件
19．如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
进货单
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 7200
乙 3200
【答案】40元；进货单：60，120，40，80
20．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
（1）设江水的流速为 千米/时，填空：轮船顺流航行速度为 千米/时，逆流航行速度为 千米/时，顺流航行100千米所用时间为 小时，逆流航行60千米所用时间为 小时.
（2）列出方程，并求出问题的解.
【答案】（1）（20+x）；（20-x）；；
（2）解：根据题意，列方程得： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得: .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
答：江水的流速为5千米/时.
【解析】【解答】解：（1）∵轮船顺流航行速度=轮船在静水中的最大航速+江水的流速，
∴轮船顺流航行速度为 千米/时，
∵逆流航行速度=轮船在静水中的最大航速-江水的流速，
∴逆流航行速度为 千米/时，
∴顺流航行100千米所用时间为 小时，逆流航行60千米所用时间为 小时.
故答案是： ， ， ， ；
【分析】(1)根据轮船顺流航行速度=轮船在静水中的最大航速+江水的流速，逆流航行速度=轮船在静水中的最大航速-江水的流速，即可得到答案；(2)根据沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，列出方程，即可求解.
21．x取什么值时，分式 ；
（1）无意义？
（2）有意义？
（3）值为零？
【答案】（1）解：当分母（x﹣2）（x+3）=0时，即x=2或x=﹣3时，分式 无意义；
（2）解：当分母（x﹣2）（x+3）≠0时，即x≠2且x≠﹣3时，分式 有意义；
（3）解：当分子x﹣5=0，即x=5时，分式的值为零．
【解析】【分析】（1）分式无意义，分母等于零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）分式的值为零：分子等于零且分母不等于零．
22．2022年北京冬奥会引起了全民运动的热潮，滑雪场为了吸引儿童们从小健身锻炼，热爱雪上运动，预备开展儿童冬季雪具售卖活动，新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板．其中，一个滑雪板的进价比雪车少5元；滑雪板和雪车分别花费6000元和6400元．请问：每个儿童雪车与滑雪板的进价各是多少元？
【答案】每个儿童雪车进价是80元，每个滑雪板进价是75元
23．天津市奥林匹克中心体育场—“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
（1）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）
速度（千米/时） 所用时间（时） 所走的路程（千米）
骑自行车 x
10
乘汽车
10
（2）列出方程（组），并求出问题的解．
【答案】（1）解：
速度（千米/时） 所用时间（时） 所走的路程（千米）
骑自行车 x 10
乘汽车 2x 10
（2）解：由（1）可列方程： = + ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
答：骑自行车同学的速度为15千米/时.
【解析】【分析】（1）根据时间=路程÷速度，速度=路程÷时间计算即可；（2）根据等量关系：骑自行车时间=坐汽车时间+ 列出方程计算即可.
24．节日里，兄弟两人在60米的跑道上进行短距离比赛，两人从出发点同时起跑，哥哥到达终点时，弟弟离终点还差12米．
（1）若哥哥的速度为10米/秒，
①求弟弟的速度；
②如果两人重新开始比赛，哥哥从起点向后退10米，兄弟同时起跑，两人能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．
（2）若哥哥的速度为m米/秒，
①弟弟的速度为 米/秒(用含m的代数式表示)；
②如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退多少米？
【答案】（1）解：①设弟弟的速度为x米/秒，则
解得：x=8，
经检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意
答：弟弟的速度是8米/秒；
②哥哥跑完全程所需要的时间为(60+10)÷10=7 (秒)，
弟弟跑完全程所需要的时间为 (秒)>7秒，
∴哥哥先到达终点；
（2）0.8m；解：②设哥哥后退y米，由题意得： ∴∴∴y=15 答：如果两人想同时到达终点，哥哥应向后退15米．
【解析】【解答】(2)解：①设弟弟的速度为x米/秒，则
解得：
故答案为：
【分析】(1)①根据时间=路程 速度, 及哥哥跑60米的时间=弟弟跑（60-12）米的时间列出方程，求解即可；②利用时间=路程 速度，可分别求出哥哥、弟弟到达终点的时间，比较后即可得出结论;(2)①根据时间=路程 速度, 及哥哥跑60米的时间=弟弟跑（60-12）米的时间;②设哥哥后退y米，根据时间=路程 速度，及哥哥跑（60+y）米的时间=弟弟跑60米的时间列出方程，即可得出关于y的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
25．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米.建A类，B类摊位每平方米的费用分别为40元，30元.若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的.
（1）求每个A，B类摊位的占地面积.
（2）已知该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完.
①请写出建A，B两类摊位个数的所有方案，并说明理由.
②请预算出该社区建成A，B两类摊位需要投入的最大费用.
【答案】（1）解：设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为（x+2）平方米，
由题意得：，
解得：x=3，
经检验，x=3是原方程的解，
则x+2=5，
答：每个A类摊位的占地面积为5平方米，则每个A类摊位的占地面积为3平方米；
（2）解：①有4个方案，理由如下：
设建A类摊位a个，B类摊位b个，
由题意得：5a+3b=70，
则a=14-b，
∵a、b为正整数，
∴或或或，
∴共有4个方案：
A类摊位11个，B类摊位5个；
A类摊位8个，B类摊位10个；
A类摊位5个，B类摊位15个；
A类摊位2个，B类摊位20个；
②建成A、B两类摊位需要投入的费用为：40×5a+30×3b=200（14-b）+90b=-30b+2800，
∵b越小，费用越大，
∴当b=5时，费用最大值=-30×5+2800=2650（元），
即该社区建成A、B两类摊位需要投入的最大费用为2650元.
【解析】【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为(x+2)平方米，B类摊位的个数为，A类摊位的个数为，然后根据A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的列出方程，求解即可；
（2）①设建A类摊位a个，B类摊位b个，根据用地70平方米可得5a+3b=70，表示出a，结合a、b为正整数可得a、b的取值，据此可得方案；
②根据A、B类摊位每平方米的费用×对应的面积可得需要投入的费用，进而根据 b越小，费用越大 即可解决问题.
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