2024-2025学年浙教版七年级数学下学期第四章《因式分解》常考题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的概念，熟练掌握因式分解是指将一个多项式写成几个整式积的形式是解题的关键．根据因式分解的概念逐一进行分析即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B
2．（本题3分）（23-24七年级下·浙江·阶段练习）多项式的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据提取公因式法分解因式解答即可．
本题考查了提取公因式分解因式，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．
【详解】由，故公因式是，
故选C．
3．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．24
【答案】D
【分析】本题考查了求整式的值，先进行因式分解化为，代入计算即可求解；掌握因式分解及整体代入法是解题的关键．
【详解】解：原式，
当，时，
原式
；
故答案：D．
4．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键
利用完全平方公式逐项判断即可解答．
【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解；
B、，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、，不能用完全平方公式进行因式分解；
D、，能用完全平方公式进行因式分解；
故选：D．
5．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，，则的值为（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
【答案】D
【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解、偶次方的非负性，将整理变形成，从而说明的值为负数．
【详解】∵
∴的值为负数．
故选：D．
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【分析】此题考查了运用因式分解求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式进行因式分解．
通过运用完全平方公式法进行因式分解进行求解．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：C．
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（ ）
A．521 B．1413 C．3721 D．1716
【答案】D
【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可．
【详解】解：由题意可知：原式，
∴为三个连续的正整数的积，
∴可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数，
∴是一个偶数．
故选：D．
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值为（ ）
A．2024 B．6072 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，，得出，，即，整理得出，得出，将变形，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
，
故选：D．
9．（本题3分）（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．
【详解】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故选：B．
10．（本题3分）（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【答案】D
【分析】本题考查实数，代数式求值及有理数的运算，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．根据题意求得x，y的值后代入中计算即可；
【详解】解：由题可得，集合A中，
，
∴集合B中的，
，
，
∵，
∴x与y都为负数，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
．
故选：D．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
直接找出公因式，进而提取公因式得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（本题3分）（23-24七年级下·浙江湖州·期末）多项式应提取的公因式是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式的概念是解题的关键．多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式.．根据公因式的概念即得答案．
【详解】多项式应提取的公因式是．
故答案为：．
13．（本题3分）（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．（本题3分）（2023七年级下·浙江·专题练习）若多项式可以被分解为，则 ， ， ．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【详解】解：多项式可以被分解为，
，
，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键．
15．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则 ．
【答案】200
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用图形面积可得，再利用平方差公式可得答案；
【详解】解：由题意得，，
∴．
故答案为：．
16．（本题3分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的另一种方法—用十字相乘法分解因式，理解题意是关键．仿照题中分解方法进行即可．
【详解】解：
．
17．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解；
（2）综合利用提公因式法和公式法即可进行因式分解；
（3）利用平方差公式、完全平方公式即可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法分解因式．根据式子特点选择适用的方法即可．
19．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）已知，，求的值．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）10；（2），
【分析】（1）根据提公因式法可进行求解；
（2）根据乘法公式化简，然后代值求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴
；
（2）原式
；
当时，则．
【点睛】本题主要考查因式分解及乘法公式，熟练掌握因式分解及乘法公式是解题的关键．
20．（本题8分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简：
解法一：…（ ）
原式
解法二：…（ ）
原式
解法三：…（ ）
原式
小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查整式的乘法和因式分解，按照整式乘法和因式分解的运算法则求解即可．
【详解】解法一：×
原式
错误原因：提公因式后未变号
解法二：×
原式 错误原因：计算时未变号
解法三：×
原式 错误原因：完全平方公式计算错误
正确计算步骤如下：
原式
21．（本题8分）（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组 组内分解因式 整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)为等腰三角形，理由见详解
【分析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
（1）先分组，再用公式分解．
（2）先因式分解，再求a,b,c的关系，判断三角形的形状
【详解】（1）解：
；
（2）解：为等腰三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴或，
三边都大于0，
∴．
∴，即，
∴为等腰三角形．
22．（本题9分）（23-24七年级下·浙江湖州·期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
(1)当，时，求阴影部分的面积；
(2)用含，的代数式表示阴影部分的面积；
(3)小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的乘法与图形的面积，有理数的混合运算；
（1）根据各个阴影三角形的面积和即可；
（2）由（1）的方法，用含有、b的代数式表示阴影部分的面积即可；
（3）由阴影部分的面积正好等于张正方形的面积之和，得出等式，再进一步化简即可．
【详解】（1）解：当，时，
（2）
（3）
（或写，或）
23．（本题10分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
【答案】原队列有1035人或270人或90人
【分析】本题考查的是因式分解的应用，二元一次方程组的解法；设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可；
【详解】解：设原队列有m人，
增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.
根据题意得：
：
，解得，
∴；
，解得，
∴；
，解得，
∴；
综上所述，原队列有1035人或270人或90人；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙教版七年级数学下学期第四章《因式分解》常考题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）（23-24七年级下·浙江·阶段练习）多项式的公因式是（ ）
A．2 B． C． D．
3．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．24
4．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）已知，，则的值为（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若，，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．18
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（ ）
A．521 B．1413 C．3721 D．1716
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值为（ ）
A．2024 B．6072 C． D．
9．（本题3分）（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
10．（本题3分）（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： ．
12．（本题3分）（23-24七年级下·浙江湖州·期末）多项式应提取的公因式是 ．
13．（本题3分）（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ．
14．（本题3分）（2023七年级下·浙江·专题练习）若多项式可以被分解为，则 ， ， ．
15．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则 ．
16．（本题3分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）对于二次三项式，如果能将常数项n分解成两个因数a，b，使a，b的和恰好等于一次项系数m，即，，就能将分解因式．这种分解因式的方法取名为“十字相乘法”．为使分解过程直观，常常采用图示的方法，将二次项系数与常数项的因数分列两边（如图），再交叉相乘并求和，检验是否等于一次项系数，进而进行分解．则代数式因式分解的结果为 ．
17．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解：
(1)； (2)； (3)．
（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）
（1）已知，，求的值．
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（本题8分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简：
解法一：…（ ）
原式
解法二：…（ ）
原式
解法三：…（ ）
原式
小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程．
21．（本题8分）（22-23八年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组 组内分解因式 整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
22．（本题9分）（23-24七年级下·浙江湖州·期末）美术课上，每位同学都拿到一张正方形纸片，该纸片可看作由4张正方形，1张正方形，4张长方形拼成．小吴同学设计了形如字母Z的图标（如图）．
(1)当，时，求阴影部分的面积；
(2)用含，的代数式表示阴影部分的面积；
(3)小吴研究发现：设计图中阴影部分的面积正好等于4张正方形的面积之和，试探索此时，之间的数量关系．
23．（本题10分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
