5.5分式方程同步练习（含解析）

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5.5分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　）
A．7 B．11 C．12 D．13
2．关于x的方程有增根，则m的值为（　　）
A． B．4 C． D．2
3．方程 的解是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．无解
4．下面是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．分式方程＝1的解为 ( )
A．x＝2 B．x＝1 C．x＝-1 D．x＝-2
6．已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
7．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意下面所列方程正确的是(　　)
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．2024年3月24日，长安汽车重庆马拉松在美丽的海棠烟雨公园鸣枪起跑．甲、乙两人参加了40千米的比赛，甲每小时比乙多跑了2千米，最终甲比乙早1小时到达．设乙的速度为每小时x千米，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
9．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．，且 D．，且
10．若分式方程的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
11．若分式方程（其中k为常数）产生增根，则增根是 （ ）
A．x=6 B．x=5 C．x=k D．无法确定
12．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有( ).
① ②. ③④.⑤ ⑥.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
13．若关于x的方程有增根，则m的值是 ．
14．小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意列方程为 ．
15．方程的解是 ．
16．在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的 ．
17．若与分式的值互为相反数，x的值为 ．
三、解答题
18．2016年共享单车横空出世，较好地解决了人们“最后一公里”出行难的问题．截至2016年年底，“ofo共享单车”的投放数量是“摩拜单车”投放数量的1.6倍，覆盖城市也远超于“摩拜单车”，“ofo共享单车”注册用户量约为960万人，“摩拜单车”的注册用户量约为750万人，据统计，使用一辆“ofo共享单车”的平均人数比使用一辆“摩拜单车”的平均人数少3人，假设注册这两种单车的用户都在使用共享单车．
(1)求2016年“摩拜单车”的投放数量约为多少万台；
(2)摩拜公司决定2018年在某市采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“摩拜单车”，乙街区每1000人投放辆“摩拜单车”．按照这种投放方式，甲街区共投放了1500辆，乙街区共投放了1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
19．解方程：．
20．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
21．每年3月中旬到4月下旬是白茶采摘季，某白茶种植镇每年都有10万采茶工按时到来．出于防疫安全考虑，最新采茶工住宿管理规定，一间房最多住6人或者每人2.5平方米的住宿面积．该镇原有的10万床位难以满足最新规定，要对原有床位进行改造的同时，还需寻找新的房间．
(1)根据测算，原有床位改造后的数量会下降20%，该镇已经找到新房间400间，则至少还需寻找多少平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求？
(2)该镇召集了150名工人同时对原有床位进行改造或对新住房进行床位搭建，若每个工人每天的工作能力为：从原有床位改造出40张床位或在新住房搭建20张床位，则如何分配工人，能让原有床位改造和新床位搭建同时完工？
22．为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？
23．计算或解方程：
(1)．
(2)．
24．若关于x的方程无解，求k的值．
《5.5分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D A D D C D D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可．
【详解】解分式方程﹣2＝，得：，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴a=-1，1，2，4，7．
故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
2．C
【分析】由分式方程有增根，得到，求出x的值，将原方程去分母化为整式方程，将x的值代入即可求出m的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，即，
分式方程，
去分母得，
将代入中，
得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．
3．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解答：
去分母得：1+2(x 3)=4 x，
去括号得：1+2x 6=4 x，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，原分式方程无解．
故选D
【点睛】本题考查解分式方程，解题关键是去分母和验根.
4．D
【分析】根据分式方程的定义分析判断即可求解．
【详解】A、不是方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知“判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数”是解答此题的关键．
5．A
【详解】方程两边同乘（2x-3），得
1=2x-3，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，
故选A.
6．D
【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值是解本题的关键．
7．D
【详解】【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．
【详解】乙队每天安装x台，则甲队每天安装（x+2）台，
甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天，
则列方程为：，
故选D.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．
8．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意列分式方程即可．
【详解】设乙的速度为每小时x千米，
根据题意，得，
故选：C．
9．D
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵方程的解是负数，
∴，且，
∴，且．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
10．D
【详解】方程两侧同乘得，，∴，
∵解为负数，∴，即，要使分式有意义，，即，∴．
11．B
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，列式求解即可．
【详解】∵方程有增根，
∴x 5=0，
解得x=5．
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是求使方程分母为零的根．
12．B
【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【详解】①、②、⑥的分母中不含有未知数,它们是整式方程,不是分式方程;
③、④、⑤的分母中含未知数x,故是分式方程.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母).
13．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘，得
∵方程有增根，
∴最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，解得．
故答案为：．
【点睛】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．
【详解】如果设骑自行车的速度为x千米/时，那么乘汽车的速度为2x千米/时，根据“他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟”，得到等量关系为：骑自行车所用的时间﹣乘汽车所用的时间=，据此列出方程即可．
解：设骑自行车的速度为x千米/时，那么乘汽车的速度为2x千米/时，
由题意，得﹣=．
故答案为﹣=．
15．
【分析】观察可得最简公分母是（x 4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意不要忘记检验．
【详解】解：
-1=5-x
解得x＝6．
检验：把x＝6代入（x 4）≠0．
∴x＝6是原方程的根，
故答案为：x=6．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
16．增根
【解析】略
17．
【分析】根据题意可得=0，故可求出x．
【详解】根据题意可得=0，
∴x2=16
解得
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是根据相反数的性质列出方程．
18．（1）2016年“摩拜单车”的投放数量约为50万台；（2）a的值为15.
【分析】（1）设2016年“摩拜单车”的投放数量约为x万台，根据题意列出分式方程解答即可；
（2） 根据两个街区共有15万人列出关于a的方程解答即可.
【详解】解：(1)设2016年“摩拜单车”的投放数量约为x万台．
根据题意，得.
解得x＝50.
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：2016年“摩拜单车”的投放数量约为50万台．
(2)由题可得，
解得a＝15.
经检验，a＝15是所列方程的解，且符合题意．
答：a的值为15.
【点睛】本题考查分式方程的应用，弄清题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．
【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
【详解】方程两边同乘以，得．
解方程，得．
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
20．(1)
(2)
【分析】（1）将两边同时乘以将方程转化为整式方程，再进行求解，最后验根即可；
（2）将两边同时乘以将方程转化为整式方程，再进行求解，最后验根即可．
【详解】（1）解：
去分母，得，
解得，
检验：当时，，
原方程的解为．
（2）解：
等式两边同时乘，得，
解这个方程，得．
检验：当时，，
是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为整式方程求解是解题的关键，注意分式方程要验根．
21．(1)44000平方米
(2)应安排100名工人对原有床位进行改造，50名工人对新住房进行床位搭建
【分析】（1）设还需寻找x平方米空建筑搭建房间，才能满足住宿要求，根据找到的新房间及寻找到的空建筑搭建房间可容纳的床位数不少于100000×20%张列出关于x的一元一次不等式求解即可；
（2）设应安排m名工人对原有床位进行改造，则安排（150﹣m）名工人对新住房进行床位搭建，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合原有床位改造和新床位搭建同时完工，即可得出关于m的分式方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）设还需寻找x平方米空建筑搭建房间，才能满足住宿要求，
依题意得：400×6+≥100000×20%，
解得：x≥44000．
答：至少还需寻找44000平方米的空建筑搭建房间，才能满足住宿要求．
（2）解：设应安排m名工人对原有床位进行改造，则安排（150﹣m）名工人对新住房进行床位搭建，
依题意得：＝，
解得：m＝100，
经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意，
∴150﹣m＝150﹣100＝50（人）．
答：应安排100名工人对原有床位进行改造，50名工人对新住房进行床位搭建，才能让原有床位改造和新床位搭建同时完工．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用等知识点，读懂题意、理清量与量之间的关系是解答本题的关键．
22．“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元
【分析】本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元.
23．(1)
(2)无解
【分析】（1）先通分，再算减法，将除法转化为乘法，约分计算即可；
（2）先去分母，再去括号，求解后对根进行检验即可求解方程．
【详解】（1）解：
；
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验：是方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握分式的化简、分式方程的解法是解题的关键．
24．当k＝－1或－时原方程无解.
【分析】因为把原分式方程化为整式方程后是一个一次项系数中含有字母的整式方程，故需要分两种情况讨论，①求使整式方程无解的k值；②求使整式方程的解是x=2和x=-2的k值.
【详解】，
去分母得，x＋2＋k(x－2)＝3，
去括号得，x＋2＋kx－2k＝3，
移项合并同类项得，(1＋k)x＝2k＋1，
①当1＋k＝0，即k＝－1时整式方程无解，
②当1＋k≠0时x＝，＝±2时，即k＝－时分式方程无解，
综上所述当k＝－1或-时原方程无解.
【点睛】本题主要考查了含字母系数的分式方程无解的知识点，一般的解法是先将分式方程化为整式方程，再将使原分式方程的分母为0的未知数的值代入到整式方程中，求出对应的字母系数的值，但如果化为整式方程后，未知数的系数中含有字母系数，还要注意求使这个整式方程无解的字母系数的值.
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