第4章 《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式（1）—浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．把多项式 分解因式， 需用到（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．提取公因式法和平方差公式 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，分解过程中先提取公因式a，对余项运用平方差公式再分解.
故答案为：C.
【分析】首先我们找出公因式a，然后利用平方差公式分解因式.
3．把 分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：。
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式进行因式分解.
4．（2024七下·镇海区期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
5． 一次课堂练习， 一位同学做了如下 4 道因式分解题， 其中做得不够完整的题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、B、C、结果分解彻底，不符合题意；
D、结果中分解不彻底，还可根据平方差公式进一步分解成(x+1)(x-1)，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别根据公式法以及提取公因式法分解因式判断即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2020七下·江阴期中）因式分解： = .
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
7．计算：
【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
=
=
=1
故答案为：1
【分析】根据题意将原式变形为，结合平方差公式即可求出答案.
8．（2022七下·杭州期中）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用公式法分解因式.
9．（2017七下·金山期中）若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣（y+z）2=8，
∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）=8，
∵x+y+z=2，
∴x﹣y﹣z=8÷2=4，
故答案为：4．
【分析】首先把x2﹣（y+z）2=8的左边分解因式，再把x+y+z=2代入即可得到答案．
10． 若 ， 则 的值为 ．
【答案】-5
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：=
=
∵
∴原式==-5
故答案为：-5.
【分析】先根据平方差公式将原式因式分解，再将，代入计算即可求解.
三、解答题（共4题，共50分）
11．把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=
.
（2）原式=
.
（3）解：原式=
（4）原式=
.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可；
（4）根据平方差公式计算即可.
12．观察下表，你还能继续往下写吗
1 1=12-02
3 3=22-12
5 5=32-22
7 7=42-32
… …
你发现了什么规律 能用因式分解来说明你发现的规律吗
【答案】解：由题意得：，
，
，
，
，
∴规律为：，
∵
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】观察表格，我们可以发现每个等式的左边是一个奇数，右边是两个连续整数的平方差。根据这个规律，我们可以写出接下来的几个等式，然后利用平方差公式进行分析即可.
13．问题： 把 分解因式．
分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 ， 于是将此项 减去， 即可得 ．
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲热门的解法， 将下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=
=
=.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）将原式改写为，然后利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式改写为，利用完全平方公式和平方差公式即可求解，
14．如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a>b．
（1）用含a，b的代数式表示它们的面积，则S①= ， S②=
（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理．
【答案】（1）；
（2）解：， 又 .
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）由题意得：S①=a2-b2，S②=（a+b）（a-b）.
（2）∵S①=a2-b2=（a+b）（a-b），S②=（a+b）（a-b）.
∴S①=S②.
【分析】（1）通过观察图形可以看出S①的面积是大正方形面积-小正方形的面积，由正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，大正方形边长是a，小正方形边长是b，可以知道，大正方形面积是a2-b2.
（2）由图可以看出图②是一个长方形，由长方形面积=长×宽，该长方形长为：a+b；宽：a-b.所以该长方形面积S②=（a+b）（a-b）.由（1）知道S①=a2-b2.而a2-b2符合平方差公式可以因式分解为：（a+b）（a-b），所以就可以得到：S①=S②.
1 / 1第4章 《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式（1）—浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。
A． B． C． D．
2．把多项式 分解因式， 需用到（ ）
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．提取公因式法和平方差公式 D．以上都不对
3．把 分解因式，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·镇海区期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
5． 一次课堂练习， 一位同学做了如下 4 道因式分解题， 其中做得不够完整的题是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2020七下·江阴期中）因式分解： = .
7．计算：
8．（2022七下·杭州期中）分解因式： .
9．（2017七下·金山期中）若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ．
10． 若 ， 则 的值为 ．
三、解答题（共4题，共50分）
11．把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
12．观察下表，你还能继续往下写吗
1 1=12-02
3 3=22-12
5 5=32-22
7 7=42-32
… …
你发现了什么规律 能用因式分解来说明你发现的规律吗
13．问题： 把 分解因式．
分析 ： 这个二项式既无公因式可提， 也不能直接利用公式， 怎么办呢？
19 世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项， 而且属于平方和 的形式， 要使用完全平方公式就必须添一项 ， 于是将此项 减去， 即可得 ．
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法， 把它叫做 “热门定理”． 请你依照苏菲热门的解法， 将下列各式分解因式：
（1） ．
（2） ．
14．如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a>b．
（1）用含a，b的代数式表示它们的面积，则S①= ， S②=
（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，分解过程中先提取公因式a，对余项运用平方差公式再分解.
故答案为：C.
【分析】首先我们找出公因式a，然后利用平方差公式分解因式.
3．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：。
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式进行因式分解.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题．
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、B、C、结果分解彻底，不符合题意；
D、结果中分解不彻底，还可根据平方差公式进一步分解成(x+1)(x-1)，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别根据公式法以及提取公因式法分解因式判断即可.
6．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
7．【答案】1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
=
=
=
=1
故答案为：1
【分析】根据题意将原式变形为，结合平方差公式即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用公式法分解因式.
9．【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x2﹣（y+z）2=8，
∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）=8，
∵x+y+z=2，
∴x﹣y﹣z=8÷2=4，
故答案为：4．
【分析】首先把x2﹣（y+z）2=8的左边分解因式，再把x+y+z=2代入即可得到答案．
10．【答案】-5
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：=
=
∵
∴原式==-5
故答案为：-5.
【分析】先根据平方差公式将原式因式分解，再将，代入计算即可求解.
11．【答案】（1）解：原式=
.
（2）原式=
.
（3）解：原式=
（4）原式=
.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可；
（3）根据平方差公式计算即可；
（4）根据平方差公式计算即可.
12．【答案】解：由题意得：，
，
，
，
，
∴规律为：，
∵
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【分析】观察表格，我们可以发现每个等式的左边是一个奇数，右边是两个连续整数的平方差。根据这个规律，我们可以写出接下来的几个等式，然后利用平方差公式进行分析即可.
13．【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式=
=
=
=.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）将原式改写为，然后利用平方差公式进行计算即可；
（2）将原式改写为，利用完全平方公式和平方差公式即可求解，
14．【答案】（1）；
（2）解：， 又 .
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：（1）由题意得：S①=a2-b2，S②=（a+b）（a-b）.
（2）∵S①=a2-b2=（a+b）（a-b），S②=（a+b）（a-b）.
∴S①=S②.
【分析】（1）通过观察图形可以看出S①的面积是大正方形面积-小正方形的面积，由正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，大正方形边长是a，小正方形边长是b，可以知道，大正方形面积是a2-b2.
（2）由图可以看出图②是一个长方形，由长方形面积=长×宽，该长方形长为：a+b；宽：a-b.所以该长方形面积S②=（a+b）（a-b）.由（1）知道S①=a2-b2.而a2-b2符合平方差公式可以因式分解为：（a+b）（a-b），所以就可以得到：S①=S②.
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