第4章 《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式（2）—浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025七下·杭州开学考）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、a2-1，这是一个差平方的形式，可以分解为(a+1)(a-1)，不能用完全平方公式进行因式分解；
B、，虽然有两项能写成一个整式的完全平方，但这两项的符号不相同，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、，商式中虽然有两项能写成一个整式的完全平方，切这两项的符号相同，但中间项x不是x2与12底数积的2倍，不能用完全平方公式进行因式分解；
D、，能用完全平方公式进行因式分解.
故答案为：D．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，只有完全平方式才能利用完全平方公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．（2024七下·岳阳期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（ ）
A．1或5 B．1 C． D．7或
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵a2+（m-3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴m-3=±4，
∴m=-1或7，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
3．把多项式 分解因式， 所得的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
=.
故答案为：B.
【分析】先提出负号，再利用完全平方公式分解因式.
4．将下列多项式分解因式， 结果中不含因式 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、x2-1=x2-12=（x+1）（x-1），；
B、x2+2x+1=x2+2x+12=（x+1）2；
C、x2-2x+1=x2-2x+12=（x-1）2 ；
D、x（x-2）-（x-2）=（x-2）（x-1）.
所以分解因式中，不含因式x-1的是：B项.
故正确答案选：B.
【分析】A项利用平方差公式因式分解；B、C项利用完全平方公式因式分解；D项利用提公因式法因式分解.
5． 把分解因式，结果正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2022七下·泗洪期末）因式分解： ．
【答案】a（a-3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：a（a-3）2．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可.
7．（2024七下·冷水滩期末）把因式分解，结果为 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】先提取公因式-3，再利用完全平方公式分解因式．
8．（2024七下·鄞州期末） 对正整数 ，规定 ，记 ，若正整数 使得 ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 的值 .
【答案】24
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： =1×2×3×4×5×......×24×1！×2！×3!×......×23!，
∵ ! 为完全平方数，
∴K！能被24整除，
∴K的最小值为24.
故答案为：24.
【分析】根据新定义以及完全平方数的定义进行分析，即可得出答案.
9．（2023七下·锦江期末）如果是一个完全平方式，那么的值是 ．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得k=或，
故答案为：或
【分析】根据完全平方式的定义结合题意即可求解。
10． 已知a+b=1，则代数式的值为
【答案】10
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
又∵
∴原式=
故答案为：10.
【分析】利用平方差公式将原式化简为结合把原式化简为，进而即可求解.
三、解答题（共5题，共50分）
11．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式计算即可；
（2）将原式变形为，然后利用完全平方公式和平方差公式计算即可.
12．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘法，然后变形为，最后利用完全平方公式计算即可.
13．分解因式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
【知识点】积的乘方运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）依次结合平方差公式、完全平方公式分解；
（2）依次结合完全平方公式、平方差公式以及积的乘方计算法则分解.
14．（2021七下·杭州期中）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b），B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形.
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ .
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案.
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
【答案】（1）解：∵ 大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，
∴a2+b2=169，2（a+b）=34，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=289，
∴ab=60，
∴ 长方形B的面积为60；
（2）9
（3）3a+5b；2b；a+3b
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（2）由题意得（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
∵A的面积为a2，B的面积为ab，C的面积为b2，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9.
（3）①当拿掉一张A、一张B，则面积为5ab+11b2=b（5a+11b），故拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b；
②当拿掉一张A、一张C，则面积为6ab+10b2=2b（3a+5b），故拼成的长方形的长为3a+5b，宽为2b；
③当拿掉两张C，则面积为a2+6ab+9b2=（a+3b）2，故拼成的正方形边长为a+3b；
【分析】（1）依据题目中的等量关系，用代数式表示面积，再分解带值即可求解；
（2）先用代数式表示新长方形的面积，再对照A、B、C的面积求解即可；
（3）分类讨论，运用因式分解即可求解.
15．（2017七下·常州期中）教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（i）把它看成是一个大正方形，则它的面积为（a+b）2；
（ii）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为a2+2ab+b2；因此，可得到等式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： ．
（2）试在图2右边空白处画出面积为2a2+3ab+b2的长方形的示意图（标注好a，b） ，由图形可知，多项式2a2+3ab+b2可分解因式为： ．
（3）若将代数式（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有 项．
【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）；2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）
（3）210
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（1.）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2.）如图，
2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），
故答案为：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）；
（3.）∵（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；
（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，
…
∴（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+…+20= =210项，
故答案为：210．
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；（2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可；（3）由（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，知（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+…+20= =210项．
1 / 1第4章 《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式（2）—浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2025七下·杭州开学考）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·岳阳期中）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（ ）
A．1或5 B．1 C． D．7或
3．把多项式 分解因式， 所得的结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．将下列多项式分解因式， 结果中不含因式 的是（ ）
A． B．
C． D．
5． 把分解因式，结果正确的是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2022七下·泗洪期末）因式分解： ．
7．（2024七下·冷水滩期末）把因式分解，结果为 .
8．（2024七下·鄞州期末） 对正整数 ，规定 ，记 ，若正整数 使得 ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 的值 .
9．（2023七下·锦江期末）如果是一个完全平方式，那么的值是 ．
10． 已知a+b=1，则代数式的值为
三、解答题（共5题，共50分）
11．分解因式：
（1）
（2）
12．分解因式：
（1）
（2）
13．分解因式：
（1） ；
（2） ．
14．（2021七下·杭州期中）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b），B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形.
（1）已知大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，求长方形B的面积；
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝ .
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？请你直接写出答案.
范例：拼法一：拼出一个长方形，长为 ，宽为 ；
拼法二：拼出一个正方形，边长为 ；
（注：以上范例中的拼法次数仅供参考，请写出全部答案）
15．（2017七下·常州期中）教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（i）把它看成是一个大正方形，则它的面积为（a+b）2；
（ii）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为a2+2ab+b2；因此，可得到等式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
（1）类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： ．
（2）试在图2右边空白处画出面积为2a2+3ab+b2的长方形的示意图（标注好a，b） ，由图形可知，多项式2a2+3ab+b2可分解因式为： ．
（3）若将代数式（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有 项．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、a2-1，这是一个差平方的形式，可以分解为(a+1)(a-1)，不能用完全平方公式进行因式分解；
B、，虽然有两项能写成一个整式的完全平方，但这两项的符号不相同，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、，商式中虽然有两项能写成一个整式的完全平方，切这两项的符号相同，但中间项x不是x2与12底数积的2倍，不能用完全平方公式进行因式分解；
D、，能用完全平方公式进行因式分解.
故答案为：D．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，只有完全平方式才能利用完全平方公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵a2+（m-3）a+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴m-3=±4，
∴m=-1或7，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=
=
=.
故答案为：B.
【分析】先提出负号，再利用完全平方公式分解因式.
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、x2-1=x2-12=（x+1）（x-1），；
B、x2+2x+1=x2+2x+12=（x+1）2；
C、x2-2x+1=x2-2x+12=（x-1）2 ；
D、x（x-2）-（x-2）=（x-2）（x-1）.
所以分解因式中，不含因式x-1的是：B项.
故正确答案选：B.
【分析】A项利用平方差公式因式分解；B、C项利用完全平方公式因式分解；D项利用提公因式法因式分解.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式即可.
6．【答案】a（a-3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：a（a-3）2．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可.
7．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】先提取公因式-3，再利用完全平方公式分解因式．
8．【答案】24
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： =1×2×3×4×5×......×24×1！×2！×3!×......×23!，
∵ ! 为完全平方数，
∴K！能被24整除，
∴K的最小值为24.
故答案为：24.
【分析】根据新定义以及完全平方数的定义进行分析，即可得出答案.
9．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得k=或，
故答案为：或
【分析】根据完全平方式的定义结合题意即可求解。
10．【答案】10
【知识点】完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
又∵
∴原式=
故答案为：10.
【分析】利用平方差公式将原式化简为结合把原式化简为，进而即可求解.
11．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式计算即可；
（2）将原式变形为，然后利用完全平方公式和平方差公式计算即可.
12．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘法，然后变形为，最后利用完全平方公式计算即可.
13．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
【知识点】积的乘方运算；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1）依次结合平方差公式、完全平方公式分解；
（2）依次结合完全平方公式、平方差公式以及积的乘方计算法则分解.
14．【答案】（1）解：∵ 大正方形A与小正方形C的面积之和为169，长方形B的周长为34，
∴a2+b2=169，2（a+b）=34，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=289，
∴ab=60，
∴ 长方形B的面积为60；
（2）9
（3）3a+5b；2b；a+3b
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（2）由题意得（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
∵A的面积为a2，B的面积为ab，C的面积为b2，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9.
（3）①当拿掉一张A、一张B，则面积为5ab+11b2=b（5a+11b），故拼成的长方形的长为5a+11b，宽为b；
②当拿掉一张A、一张C，则面积为6ab+10b2=2b（3a+5b），故拼成的长方形的长为3a+5b，宽为2b；
③当拿掉两张C，则面积为a2+6ab+9b2=（a+3b）2，故拼成的正方形边长为a+3b；
【分析】（1）依据题目中的等量关系，用代数式表示面积，再分解带值即可求解；
（2）先用代数式表示新长方形的面积，再对照A、B、C的面积求解即可；
（3）分类讨论，运用因式分解即可求解.
15．【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）；2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）
（3）210
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（1.）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2.）如图，
2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），
故答案为：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）；
（3.）∵（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；
（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，
…
∴（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+…+20= =210项，
故答案为：210．
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；（2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可；（3）由（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，知（a1+a2+a3+…+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+…+20= =210项．
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