第4章 《因式分解》—浙教版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·海曙期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项正确．
、，故此选项错误；
、，是多项式乘法，故此选项错误；
故答案为：．
【分析】利用因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式乘积的形式”逐项判断解题．
2．多项式 的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式 的公因式是，
故答案为：D.
【分析】根据公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，据此逐项分析即可.
3．（2024七下·赫山期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意；
B、，可以用平方差公式进行因式分解，符合题意；
C、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意；
D、，用完全平方公式因式分解，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平方差公式的结构特点逐个分析得结论．
4．（2024七下·西湖期中）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：多项式分解因式后有一个因式是，
当时，多项式的值为，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】令时，多项式的值为，求出m值即可.
5．（2024七下·江北期末）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵
∴m=-6，-n=8
∴m=-6，n=-8
故答案为：B.
【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：.
6．对于①， ②， ③ ，④，⑤， 从左到右的变形， 属于因式分解的是（ ）
A．②③ B．②③⑤ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：①，观察右边，是几个整式的积的形式，且左边等于右边，所以这是因式分解；
②，观察右边，这是一个多项式，并不是几个整式的积的形式，所以这不是因式分解；
③，与②相同，右边是一个多项式，并非积的形式，所以这也不是因式分解；
④，右边的表达式中包含了分式，而因式分解的定义要求各因式必须是整式，因此这并不是因式分解；
⑤，观察右边，是几个整式的积的形式，且左边等于右边，所以这是因式分解。
故答案为：D.
【分析】因式分解的定义是把一个多项式化成几个整式的积的形式. 我们需要逐一分析每个选项，判断其是否满足因式分解的定义.
7．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、等号右边不是乘积的形式，不符合因式分解的定义，A错误；
B、，B错误；
C、 ，C正确；
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，首先可以直接判断A错误. 然后对B、C、D选项结合平方差公式以及完全平方公式进行分解检验即可.
8．把多项式 分解因式， 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先将4改写成，再运用公式法（平方差公式）因式分解，并对每个因式进行合并同类项.
9．（2024七下·蓝山期中）对于任何整数，多项式都能被（ ）
A．8整除 B．整除 C．整除 D．整除
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
对于任何整数，多项式都能被8整除.
故答案为：A.
【分析】将多项式因式分解为即可得到答案.
10．已知 ， 则代数式 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵ ，
且a-b=，
a-c=，
b-c=，
∴.
故答案为：D.
【分析】题目要求计算的是一个关于变量a、b、c的二次多项式. 其中，a、b、c的表达式形式相同，但常数项有所不同. 因此，我们首先可以通过观察a、b、c之间的关系，简化代数式，然后求出代数式的值.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·章丘期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
又，
代入后得
，
，
故答案为：．
【分析】根据，再利用整体代入法，把代入，即可得出结果．
12．（2023七下·淮安期中）若是一个完全平方式，则m的值为 .
【答案】36
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：36.
【分析】根据完全平方式的特点可得12=2×1×，求解可得m的值.
13．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
14．（2024·七下成都期中） 计算：20242﹣2025×2023＝ ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】观察式子特点，先把2025×2023拆分成含有2024的式子即得出，去括号合并即可得出答案。
15． 已知 ， 则 的值为 .
【答案】18
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得，将化简为，整体代入即可求解．
16． 若非零实数 满足 2024 ，则 的值等于
【答案】-1012
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，
，，
，，
，
，
∴．
故填：．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，再整体代值计算便可得出答案．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024七下·聊城期末）把下列各式因式分解．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先变形并提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
18．（2024七下·广平期末）根据要求，解答下列各式：
（1）因式分解：；
（2）先化简，后求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，
原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可。
19．（2024七下·金东期中） 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（、为常数），则 ；
（3）探究问题】
已知，则 ；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
（5）【拓展结论】
已知实数、满足，求的最小值．
【答案】（1）
（2）-12
（3）-1
（4）解：当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数时；
（5）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 有最大值，最小值为1.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴，
故答案为：-12；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：-1；
【分析】（1）根据“完美数”定义即可解答；
（2）利用完全平方公式可得，对比即可求出m，n的值；
（3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质，即可求解；
（4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案；
（5）由题意可将化为，再结合非负数的性质可得最小值．
20．（2023七下·江州期末）阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果写在横线上：
= ；= ； .
（2）观察以上三个多项式的系数，有
， ， ，
于是小明猜想：若多项式（a>0）是完全平方式，则实数系数a，b，c存在某种关系：请用数学式子表示a，b，c之间关系：.
（3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值.
【答案】（1）(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2
（2）b2=4ac
（3）解：由（2）知，，
4m2-24m+36=40-24m，
m2=1，
解得，
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）x2+6x+9=(x+3)2；16x2+8x+1=(4x+1)2；9x2-12x+4=(3x-2)2.
故答案为：(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2.
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（2）观察可得a、b、c之间的关系；
（3）由（2）知：[-2(m-3)]1=4(10-6m)，求解即可.
21．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（2））下面是某同学对多项式 进行分解因式的过程.
解：设 ，
原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
.(第四步)
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的（ ）
A．提取公因式 B．逆用平方差公式 C．逆用完全平方公式
（2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为 .
（3）分解因式：n(n+1)(n+2)(n+3)+1.
【答案】（1）C
（2）
（3）解：设 ，原式
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）设x2-4x=y，把原式变形为（y+2）（y+6）+4，根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后再逆用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；
（2）再把y=x2-4x代入得出（x2-4x+4）2，再根据完全平方公式进行因式分解得出（x-2）4，即可得出答案；
（3）设n2+3n=x，把原式进行变形，根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后再逆用完全平方公式进行因式分解，再把x=n2+3n代入，即可得出答案.
22．（2021七下·仪征期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式； B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式； D．两数差的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式= .
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵（x2﹣4x+4）2= ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为 ，
故答案为：不彻底， ；
【分析】（1）利用完全平方公式可得答案.
（2）分解因式要分解到不能再分解为止， x2﹣4x+4还能分解.
（3）将x2+2x看着整体，可将原式转化为y2+2y+1，利用完全平方公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可.
23．（2022七下·桐城期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]÷2=（49-25）÷2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]÷2=（36-20）÷2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
1 / 1第4章 《因式分解》—浙教版数学七年级下册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024七下·海曙期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式 的公因式是( )
A． B． C． D．
3．（2024七下·赫山期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·西湖期中）已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·江北期末）已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
6．对于①， ②， ③ ，④，⑤， 从左到右的变形， 属于因式分解的是（ ）
A．②③ B．②③⑤ C．①④ D．①⑤
7．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．把多项式 分解因式， 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·蓝山期中）对于任何整数，多项式都能被（ ）
A．8整除 B．整除 C．整除 D．整除
10．已知 ， 则代数式 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024七下·章丘期中）若，则 ．
12．（2023七下·淮安期中）若是一个完全平方式，则m的值为 .
13．（2024七下·岳阳期中）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了的指数，他只知道该数为小于的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果： ．
14．（2024·七下成都期中） 计算：20242﹣2025×2023＝ ．
15． 已知 ， 则 的值为 .
16． 若非零实数 满足 2024 ，则 的值等于
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024七下·聊城期末）把下列各式因式分解．
（1）；
（2）．
18．（2024七下·广平期末）根据要求，解答下列各式：
（1）因式分解：；
（2）先化简，后求值：，其中．
19．（2024七下·金东期中） 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（、为常数），则 ；
（3）探究问题】
已知，则 ；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
（5）【拓展结论】
已知实数、满足，求的最小值．
20．（2023七下·江州期末）阅读并完成下列问题：
（1）分解下列因式，将结果写在横线上：
= ；= ； .
（2）观察以上三个多项式的系数，有
， ， ，
于是小明猜想：若多项式（a>0）是完全平方式，则实数系数a，b，c存在某种关系：请用数学式子表示a，b，c之间关系：.
（3）解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值.
21．（初中数学浙教版七下精彩练习4.3用乘法公式分解因式（2））下面是某同学对多项式 进行分解因式的过程.
解：设 ，
原式 (第一步)
(第二步)
(第三步)
.(第四步)
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了分解因式的（ ）
A．提取公因式 B．逆用平方差公式 C．逆用完全平方公式
（2）该同学分解因式的结果不正确，应更正为 .
（3）分解因式：n(n+1)(n+2)(n+3)+1.
22．（2021七下·仪征期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式； B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式； D．两数差的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
23．（2022七下·桐城期末）在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项正确．
、，故此选项错误；
、，是多项式乘法，故此选项错误；
故答案为：．
【分析】利用因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式乘积的形式”逐项判断解题．
2．【答案】D
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式 的公因式是，
故答案为：D.
【分析】根据公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式，据此逐项分析即可.
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意；
B、，可以用平方差公式进行因式分解，符合题意；
C、，不能用平方差公式因式分解，不符合题意；
D、，用完全平方公式因式分解，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平方差公式的结构特点逐个分析得结论．
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：多项式分解因式后有一个因式是，
当时，多项式的值为，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】令时，多项式的值为，求出m值即可.
5．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵
∴m=-6，-n=8
∴m=-6，n=-8
故答案为：B.
【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：.
6．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：①，观察右边，是几个整式的积的形式，且左边等于右边，所以这是因式分解；
②，观察右边，这是一个多项式，并不是几个整式的积的形式，所以这不是因式分解；
③，与②相同，右边是一个多项式，并非积的形式，所以这也不是因式分解；
④，右边的表达式中包含了分式，而因式分解的定义要求各因式必须是整式，因此这并不是因式分解；
⑤，观察右边，是几个整式的积的形式，且左边等于右边，所以这是因式分解。
故答案为：D.
【分析】因式分解的定义是把一个多项式化成几个整式的积的形式. 我们需要逐一分析每个选项，判断其是否满足因式分解的定义.
7．【答案】C
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、等号右边不是乘积的形式，不符合因式分解的定义，A错误；
B、，B错误；
C、 ，C正确；
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，首先可以直接判断A错误. 然后对B、C、D选项结合平方差公式以及完全平方公式进行分解检验即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先将4改写成，再运用公式法（平方差公式）因式分解，并对每个因式进行合并同类项.
9．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
对于任何整数，多项式都能被8整除.
故答案为：A.
【分析】将多项式因式分解为即可得到答案.
10．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵ ，
且a-b=，
a-c=，
b-c=，
∴.
故答案为：D.
【分析】题目要求计算的是一个关于变量a、b、c的二次多项式. 其中，a、b、c的表达式形式相同，但常数项有所不同. 因此，我们首先可以通过观察a、b、c之间的关系，简化代数式，然后求出代数式的值.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
又，
代入后得
，
，
故答案为：．
【分析】根据，再利用整体代入法，把代入，即可得出结果．
12．【答案】36
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
故答案为：36.
【分析】根据完全平方式的特点可得12=2×1×，求解可得m的值.
13．【答案】或
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意知，共有时，两种情况：
情况①，当时，；
情况②，当时，；
综上所述，整式分解因式的结果：或
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论①当时，②当时，结合因式分解即可求出答案.
14．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】观察式子特点，先把2025×2023拆分成含有2024的式子即得出，去括号合并即可得出答案。
15．【答案】18
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由题意可得，将化简为，整体代入即可求解．
16．【答案】-1012
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：∵，
，，
，，
，
，
∴．
故填：．
【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，再整体代值计算便可得出答案．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先变形并提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，
原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可。
19．【答案】（1）
（2）-12
（3）-1
（4）解：当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数时；
（5）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 有最大值，最小值为1.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴，
故答案为：-12；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：-1；
【分析】（1）根据“完美数”定义即可解答；
（2）利用完全平方公式可得，对比即可求出m，n的值；
（3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质，即可求解；
（4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案；
（5）由题意可将化为，再结合非负数的性质可得最小值．
20．【答案】（1）(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2
（2）b2=4ac
（3）解：由（2）知，，
4m2-24m+36=40-24m，
m2=1，
解得，
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）x2+6x+9=(x+3)2；16x2+8x+1=(4x+1)2；9x2-12x+4=(3x-2)2.
故答案为：(x+3)2；(4x+1)2；(3x-2)2.
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（2）观察可得a、b、c之间的关系；
（3）由（2）知：[-2(m-3)]1=4(10-6m)，求解即可.
21．【答案】（1）C
（2）
（3）解：设 ，原式
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）设x2-4x=y，把原式变形为（y+2）（y+6）+4，根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后再逆用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案；
（2）再把y=x2-4x代入得出（x2-4x+4）2，再根据完全平方公式进行因式分解得出（x-2）4，即可得出答案；
（3）设n2+3n=x，把原式进行变形，根据多项式乘多项式的法则进行化简，然后再逆用完全平方公式进行因式分解，再把x=n2+3n代入，即可得出答案.
22．【答案】（1）C
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式= .
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵（x2﹣4x+4）2= ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为 ，
故答案为：不彻底， ；
【分析】（1）利用完全平方公式可得答案.
（2）分解因式要分解到不能再分解为止， x2﹣4x+4还能分解.
（3）将x2+2x看着整体，可将原式转化为y2+2y+1，利用完全平方公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可.
23．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]÷2=（49-25）÷2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]÷2=（36-20）÷2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
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