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（浙教版）七年级
下
4.1 因式分解的意义
因式分解
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.了解因式分解的概念。
2.了解因式分解与整式乘法的关系。
3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程,体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法,培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。
新知导入
问题1：21能被7整除吗？
∵ 21=3×7 ∴ 21能被7整除
整数 几个整数的积 分解质因数
26能被2整除吗？
转 化
问题2： 132-62 能被 7 整除吗？
方法一：∵ 132-62=169-36=133=19×7
方法二： 132-62=(13+6)(13-6)=19×7
a2 - b2=(a+b)(a-b)
问: a2 - b2 能被 (a+b) 整除吗？
转 化
多项式 几个整式的积
新知导入
在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积.
↓
↓
分 配 律
像这样把多项式转化为两个整式的积的形式，是一种重要的代数式变形。
新知导入
一般地，把一个 多项式 化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.
做一做：
观察下面拼图过程，写出相应等式.
c
a
m
m
m
b
m
a+b+c
=
ma+mb+mc
m(a+b+c)
我们用了什么方法写出了上面这个等式？
等面积法
新知探究
新知讲解
回答并观察下列两种代数式变形的例子，他们之间有什么关系？
a(a+1)= a2+a=
(a+b)(a-b)= a2-b2=
(a+1)2= a2+2a+1=
(a-1)2= a2-2a+1=
a2+a
a2-b2
a2+2a+1
a2-2a+1
a(a+1)
(a+b)(a-b)
(a+1)2
(a-1)2
结论：多项式的 因式分解 与 整式乘法 是两种相反方向的恒等变形，
它们是互逆过程。
因式分解 整式变形
区别
联系
把一个多项式转化为几个整式的积的形式
把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式
m(a+b+c)
ma+mb+mc
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a±b)2
a2±2ab+b2
整式乘法
因式分解
新知讲解
想一想：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
否
是
是
否
新知讲解
典例精析
例1： 检验下列因式分解是否正确
解题小妙招：检验因式分解是否正确。只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
典例精析
(1) ∵a(a+b)=a·a+ab=a2+ab ∴ 因式分解正确
(2) ∵(3m+n)(3m-n)=(3m)2-n2=9m2-n2 ∴ 因式分解错误
(3)∵ (x+3)(x-1)=x(x-1)+3(x-1)=x2-x+3x-3= x2+2x-3
∴ 因式分解错误
课堂练习
1. 检验下列因式分解是否正确.
（1）a2+ab=a(a+b)
（2）3m2-n2=(3m+n)(3m-n)
（3）x2-2x-3=(x+3)(x-1)
正确
错误
错误
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
（2）1012 - 99 2
解：（1）原式=87×（87+13）=8700，
利用了因式分解的变形方法；
（2）原式=（101+99）×（101-99）=200×2=400
利用了因式分解的变形方法.
课堂练习
课堂练习
3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A．a(x+y)=ax+xy B．10x2-5x=5x(2x-1)
C．x2-4x+4=(x-4)2 D．x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x
4．若多项式x2-ax-1可分解为(x-2)(x+b)，则a+b的值为（ ）
A． 2 B．1 C．-2 D．-1
D
B
课堂练习
5．把多项式x2+ax-15 (a为常数) 因式分解得到(x-3)(x+5)，
则 a 的值为____．
6．如果x2+mx-15=(x+3)(x+n)，那么nm的值为________．
7. 若x3y+M=xy(N+3y) ， 则M=________,N=__________
2
x2
3xy2
课堂总结
1、因式分解是对多项式而言的一种变形；
2、因式分解的结果仍是几个整式的积的形式；
3、因式分解与整式乘法正好相反,它们是互逆的。
4、等式两边是恒等变换。
5、因式分解与整式乘法是互逆过程.
板书设计
1. 分解的对象必须是多项式.
注意事项：2. 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3. 要分解到不能分解为止.
一般地，把一个 多项式 化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.
结论：多项式的 因式分解 与 整式乘法 是两种相反方向的恒等变形，
它们是互逆过程。
作业布置
1．下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ）
①2x+2y=2(x+y) ②(x+3)(x-2)=x2+x-6
A．都是因式分解 B．①是因式分解 ②是乘法运算
C．都是乘法运算 D．①是乘法运算 ②是因式分解
2．下列变形属于因式分解的是（ ）
A．2a-b=2(a-b) B．x2-2x+2=(x-1)2+1
C．(a-2)2=a2-4a+4 D．x2-9=(x+3)(x-3)
B
D
3. 下列各式中，自左向右变形属于分解因式的是( )
A. x2+2x+1＝x(x+2)+1 B.﹣m2+n2＝(m﹣n)(m+n)
C.﹣(2a﹣3b)2＝-4a2+12ab-9b2 D. p4﹣1＝(p2+1)(p+1)(p-1)
4.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. x2-x=x(x-1) B. a(m+n)=am+an
C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D. x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
作业布置
D
A
作业布置
5. 若关于x的多项式x2+mx-2 可以分解为(x+2)(x-1)，则常数m=__________.
6. 已知x2-x-2是多项式x4+ax3-9x2+bx+2a+b+6 的因式，则ab=______．
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第四章
课标要求 （1）了解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的关系；（2）理解添括号法则；（3）掌握用提取公因式分解因式，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式。
内容分析 本章的主要内容有因式分解的概念、方法以及简单应用。因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式能乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切，是培养学生逆向思维的良好载体。分解因式的几种基本方法都是直接依据整式乘法的法则和乘法公式。因式分解又是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它不仅是初中段分式的化简和运算、解方程(方程组)及代数式恒等变形的重要基础，也是高中阶段学习三角函数恒等变形等相关知识的重要基础，是中学代数的一个重要内容。本章在教学中应充分利用类比、逆向思考以及数形结合等数学思想方法，帮助学生了解因式分解的意义和概念，掌握用提取公因式法和公式法进行因式分解，并能解决一些简单的数学问题，培养学生的运算能力、推理能力、模型观念、应用和创新意识等。本章内容是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 在七年级上册，数系已扩展到实数，因式分解可以再实数域内进行，要充分利用“图说因式分解”设计题，让学生经历动手操作，观察思考、猜想验证的数学研究过程，学会用面积恒等的方法验证因式分解的正确性，从而感悟数形结合的思想方法、发展几何直观和推理能力。
单元目标 （一）教学目标1、了解因式分解的意义和因式分解与整式乘法的关系；2、理解添括号法则；3、掌握用提取公因式分解因式，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式。（二）教学重点、难点教学重点：因式分解的概念和解法教学难点: 综合运用多种方法分解因式，能灵活运用因式分解的相关概念解决一些数学问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义14.2提取公因式法14.3用乘法公式分解因式2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 因式分解的意义1.了解因式分解的概念。2.了解因式分解与整式乘法的关系。3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程，体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法，培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。1.了解因式分解的概念。2.了解因式分解与整式乘法的关系。3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程，体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法，培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。任务1.合作学习引入课题任务2. 出示例题4.2 提取公因式法会用提取公因式法分解因式理解添括号法则体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力1.会用提取公因式法分解因式2.理解添括号法则3.体验提取公因式法分解因式的过程，学会逆向思维，渗透化归的思想方法，培养运算能力和推理能力任务1. 知识回顾引入课题任务2. 出示例题4.3.1 用乘法公式分解因式掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解了解因式分解的思考步骤，掌握提取公因式法和平方差公式分解因式的综合运用经历利用方差公式分解因式的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力1.掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式进行因式分解2.了解因式分解的思考步骤，掌握提取公因式法和平方差公式分解因式的综合运用3.经历利用方差公式分解因式的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力任务1. 生活实例引入课题任务2. 出示例题4.3.2 用乘法公式分解因式会用完全平方公式分解因式会综合运用提取公因式法、公式法分解因式经历利用完全平方公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力1.会用完全平方公式分解因式2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式3.经历利用完全平方公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，培养运算能力和推理能力任务1. 合作学习任务2. 例题
《因式分解》单元教学设计
活动1：合作学习引入课题
4.1 因式分解的意义
活动2：例题
活动1：知识回顾引入课题
4.2 提取公因式法
因式分解
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
4.3.1 用乘法公式分解因式
活动2：例题
活动1：合 作 学 习
4.3.2 用乘法公式分解因式
活动2：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
活动1：生活实例引入课题
活动2：探究对顶角的性质
活动3：例题
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级下 学期 春季
课题 4.1 因式分解的意义
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社： 浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。 3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程,体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法,培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。
课前学习任务
复习回顾分配律，乘法公式 预习因式分解的意义
课上学习任务
【学习任务一】课堂导入 问题1：21能被7整除吗？26能被2整除吗？ 问题2： 132-62 能被 7 整除吗？ 【学习任务二】 开展项目活动一： 做一做：观察下面拼图过程，写出相应等式. 我们用了什么方法写出了上面这个等式？ 追问1：观察并回答下列两种代数式变形的例子，他们之间有什么关系？ 因式分解与整式乘法都是整式的变形，这两者有什么区别与联系呢？ 总结：xxx总结： 。 项目化活动2 想一想：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ 追问： 总结：xxx总结： 。 【学习任务三】典例精析 例1：检验下列因式分解是否正确 总结： 。 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1. 检验下列因式分解是否正确. （1）a2+ab=a(a+b) （2）3m2-n2=(3m+n)(3m-n) x2-2x-3=(x+3)(x-1) 2. 计算下列各题，并说明你的算法. （1）87 2 + 87 ×13 （2）1012 - 99 2 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A．a(x+y)=ax+xy B．10x2-5x=5x(2x-1) C．x2-4x+4=(x-4)2 D．x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x 4．若多项式x2-ax-1可分解为(x-2)(x+b)，则a+b的值为（ ） A． 2 B．1 C．-2 D．-1 选做题： 5.把多项式x2+ax-15 (a为常数) 因式分解得到(x-3)(x+5)， 则 a 的值为____． 6．如果x2+mx-15=(x+3)(x+n)，那么nm的值为________． 【综合拓展类作业】 7. 若x3y+M=xy(N+3y) ， 则M=________,N=__________ 作业设计： 必做题： 1.下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ） ①2x+2y=2(x+y) ②(x+3)(x-2)=x2+x-6 A．都是因式分解 B．①是因式分解 ②是乘法运算 C．都是乘法运算 D．①是乘法运算 ②是因式分解 2.下列变形属于因式分解的是（ ） A．2a-b=2(a-b) B．x2-2x+2=(x-1)2+1 C．(a-2)2=a2-4a+4 D．x2-9=(x+3)(x-3) 3. 下列各式中，自左向右变形属于分解因式的是( ) A. x2+2x+1＝x(x+2)+1 B.﹣m2+n2＝(m﹣n)(m+n) C.﹣(2a﹣3b)2＝-4a2+12ab-9b2 D. p4﹣1＝(p2+1)(p+1)(p-1) 4.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. x2-x=x(x-1) B. a(m+n)=am+an C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D. x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x 选做题： 5.若关于x的多项式x2+mx-2 可以分解为(x+2)(x-1)，则常数m=__________. 【综合拓展类作业】 6. 已知x2-x-2是多项式x4+ax3-9x2+bx+2a+b+6 的因式，则ab=______．
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分课时教学设计
《 4.1 因式分解的意义 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》第一节。因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有整式的乘除和上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义.
学习者分析 学生已经掌握因数分解、熟悉分配律及其逆运算，会逆用乘法分配律进行数的运算，学生又学习了整式的乘法运算，并能通过整式乘法的学习体会了类比思想以及由特殊到一般的研究问题的方法。
教学目标 1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。 3.经历从因数分解到因式分解的类比过程、因式分解概念的产生过程，体验整式乘法与因式分解的互逆变形关系，渗透化归的思想方法，培养类比归纳能力和逆向思维，发展运算能力和推理能力。
教学重点 因式分解的概念
教学难点 认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 问题1：21能被7整除吗？ ∵ 21=3×7 ∴ 21能被7整除 整数 几个整数的积 分解质因数 26能被2整除吗？ 问题2： 132-62 能被 7 整除吗？ 方法一：∵ 132-62=169-36=133=19×7 方法二： 132-62=(13+6)(13-6)=19×7 a2 - b2=(a+b)(a-b) 多项式 几个整式的积 在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积. 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.学生活动1： 回顾并回答活动意图说明： 通过数到式的类比，更好理解因式分解的意义环节二：新知讲解教师活动2： 做一做：观察下面拼图过程，写出相应等式. 我们用了什么方法写出了上面这个等式？ 回答并观察下列两种代数式变形的例子，他们之间有什么关系？ 因式分解与整式乘法都是整式的变形，这两者有什么区别与联系呢？ 结论：多项式的 因式分解与整式乘法 是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。 二、想一想：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ 学生活动2： 回答并分析 做一做并巩固定义活动意图说明：通过对比，加深定义的意义环节三：典例精析教师活动3： 例1： 检验下列因式分解是否正确 解题小妙招：检验因式分解是否正确。只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.学生活动3： 根据师的引导一起完成题目活动意图说明：引领学生有理有据的应用整式乘法进行代数的推理书写过程，培养学生的推理能力和计算能力，并为后面提取公因式法和公式法进行因式分解奠定认知基础
板书设计 1.一般地，把一个 多项式 化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式. 2.多项式的 因式分解 与 整式乘法 是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。 3. 注意事项： 1）分解的对象必须是多项式. 2）分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3) 要分解到不能分解为止.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 检验下列因式分解是否正确. （1）a2+ab=a(a+b) （2）3m2-n2=(3m+n)(3m-n) （3）x2-2x-3=(x+3)(x-1) 2. 计算下列各题，并说明你的算法. （1）87 2 + 87 ×13 （2）1012 - 99 2 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A．a(x+y)=ax+xy B．10x2-5x=5x(2x-1) C．x2-4x+4=(x-4)2 D．x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x 4．若多项式x2-ax-1可分解为(x-2)(x+b)，则a+b的值为（ ） A． 2 B．1 C．-2 D．-1 选做题： 5.把多项式x2+ax-15 (a为常数) 因式分解得到(x-3)(x+5)， 则 a 的值为____． 6．如果x2+mx-15=(x+3)(x+n)，那么nm的值为________． 【综合拓展类作业】 7. 若x3y+M=xy(N+3y) ， 则M=________，N=__________
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式由左边到右边的变形中，表述正确的是（ ） ①2x+2y=2(x+y) ②(x+3)(x-2)=x2+x-6 A．都是因式分解 B．①是因式分解 ②是乘法运算 C．都是乘法运算 D．①是乘法运算 ②是因式分解 2.下列变形属于因式分解的是（ ） A．2a-b=2(a-b) B．x2-2x+2=(x-1)2+1 C．(a-2)2=a2-4a+4 D．x2-9=(x+3)(x-3) 3. 下列各式中，自左向右变形属于分解因式的是( ) A. x2+2x+1＝x(x+2)+1 B.﹣m2+n2＝(m﹣n)(m+n) C.﹣(2a﹣3b)2＝-4a2+12ab-9b2 D. p4﹣1＝(p2+1)(p+1)(p-1) 4.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. x2-x=x(x-1) B. a(m+n)=am+an C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D. x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x 选做题： 5.若关于x的多项式x2+mx-2 可以分解为(x+2)(x-1)，则常数m=__________. 【综合拓展类作业】 6. 已知x2-x-2是多项式x4+ax3-9x2+bx+2a+b+6 的因式，则ab=______．
教学反思 计算的本身就是一个“做”字，鼓励学生学习数学是要学会数学思考，用数学的眼光去看世界，逐渐形成逻辑化的思维习惯，多加引导学生运用数学，要从“教”的角度去看数学，教会学生去“做”，
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