2024-2025学年浙教版七年级数学下学期第四章《因式分解》易错题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、是因式分解，符合题意；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、分解错误，不是因式分解，不符合题意；
故选B．
2．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与的公因式是．
故选：C．
3．（本题3分）（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A不符合题意；
B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B不符合题意；
C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：D．
4．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，按照两种方法计算图形面积，根据面积相等，即可解答．
【详解】解：图形的面积为：或：，
∴，
故选：B．
5．（本题3分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，直接分解因式即可求解；根据因式分解的结果结合已知直接代入求解是解题的关键．
【详解】解：；
故选：A．
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）多项式中，有一个因式为，则的值为（ ）
A． B． C．15 D．3
【答案】C
【分析】此题考查了多项式的因式分解，将多项式化为两个多项式的乘法计算，即可得到b的值
【详解】解：
∴
故选：C
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法将配方成，再求出、和即可．
【详解】解：
，
∵，，，
∴，，，
∴，
故选：C．
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
【答案】B
【分析】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．根据“完全数”的概念求解即可．
【详解】解：设两个自然数分别为a，b
由题意可得，
∴小于180且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，，
综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个．
故选：B．
9．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】B
【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值．
【详解】解：
，
故选：B．
10．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，
∴当时，；
当时，，
∴的最大值为76，
故选：C．
【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（23-24七年级下·浙江·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（本题3分）（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）多项式因式分解时，应提取的公因式为 ．
【答案】
【分析】根据公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；即可得出答案．
【详解】
应提取的公因式为
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的知识，理解提公因式法中公因式的概念是解题关键．
14．（本题3分）（23-24七年级下·浙江·阶段练习）若多项式的因式分解结果为，则的值是 ．
【答案】4
【分析】利用因式分解是恒等变形，建立等式解答即可．
本题考查了因式分解是等式的恒等变形，熟练掌握这一性质是解题的关键．
【详解】由多项式的因式分解结果为，
得，
得
解得，
故．
故答案为：4．
15．（本题3分）（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时，可以得到密码121415，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查了因式分解的应用，将分解得，再根据密码可得分解结果应为，即，对应相等即可得出的值，代入计算即可，还原分解项，利用对应相等列方程是解题的关键．
【详解】解：，
当时，可以得到密码121415，
分解结果应为，
，
，，
，
故答案为：．
16．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ．
【答案】 165 1088
【分析】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键．
（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得；
（2）设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，
，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被11整除，分别求出、的值，由此即可得．
【详解】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
17．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米．
（1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ．
【答案】 或．
【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键；
（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可．
【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，
∴，
解得，
故答案为：
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴或或，
∴或或，
∴或，
故答案为：或．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）直接提取公因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
19．（本题8分）（2023七年级下·浙江·专题练习）把下列各式因式分解：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）直接利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解，再把括号里的同类项进行合并即可；
（4）利用平方差公式分解两次即可；
（5）直接利用平方差公式进行分解，再把括号里的同类项进行合并即可；
（6）首先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【点睛】本题考查平方差公式分解，解题的关键是掌握平方差公式．
20．（本题8分）（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题：
阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解．
例如：．
利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．
(1)因式分解：
①．
②．
(2)利用因式分解求方程的解．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】本题是阅读材料问题，考查了因式分解的应用和解一元一次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据材料方法进行因式分解即可；
（2）利用因式分解先将方程左边化为两个一元一次方程，可得方程的解．
【详解】（1）解：①，
②；
（2），
，
或，
或，
方程的解是或．
21．（本题8分）（2024七年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．（本题9分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______．
【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：．
【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则
①______．
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）①13；②，
【分析】本题主要考查了分组分解法、公式法分解因式以及因式分解的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键．
（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可；
（2）①先提取公因式，再利用公式求解即可；
②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；
（3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果；
②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，求得的值，代入计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴
，
故答案为：；
（2）①
；
②因式分解：
；
（3）①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
由图形2可知，，，
又，
，
，
故答案为：13
②
，
∵，，，
∴，
∴，，解得，，
∴原式．
23．（本题10分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式： ；
(2)从图3可知，因式分解： ；
(3)结合图4，已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查乘法公式、因式分解与几何图形结合的应用，熟练掌握乘法公式与几何图形的面积关系是解题的关键．
（1）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积即可得；
（2）求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，得出公式即可得；
（3）补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积得出，整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
故答案为：；
（2）根据题意，求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
则，
故答案为：；
（3）根据题意，补全图形并求出长方形中每个小长方形（或正方形）的面积，如图：
则可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙教版七年级数学下学期第四章《因式分解》易错题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（本题3分）（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）多项式中，有一个因式为，则的值为（ ）
A． B． C．15 D．3
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（ ）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
9．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
10．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（23-24七年级下·浙江·期末）因式分解： ．
12．（本题3分）（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ．
13．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）多项式因式分解时，应提取的公因式为 ．
14．（本题3分）（23-24七年级下·浙江·阶段练习）若多项式的因式分解结果为，则的值是 ．
15．（本题3分）（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时，可以得到密码121415，则 ．
16．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ．
17．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米．
（1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式：
(1)； (2)．
19．（本题8分）（2023七年级下·浙江·专题练习）把下列各式因式分解：
(1)．(2)．(3)．(4)．
． (6)．
20．（本题8分）（23-24七年级下·浙江·阶段练习）请阅读下面材料，并解答问题：
阅读材料：利用多项式乘法法则可知，所以因式分解．
例如：．
利用以上的因式分解可以求出方程的解，如：，所以可知或者，解得或者，所以方程的解是或者．
(1)因式分解：
①．
②．
利用因式分解求方程的解．
21．（本题8分）（2024七年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得
人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解．
(1)；
(2)．
22．（本题9分）（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______．
【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：．
【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则
①______．
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
23．（本题10分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式： ；
(2)从图3可知，因式分解： ；
(3)结合图4，已知，，求的值．
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