第四章因式分解单元测试（含答案）

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第四章因式分解单元测试浙教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m
B．
C．n（a+b）＝na+nb
D．x2+2x+1＝（x+1）2
2．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣x2﹣y2 B．x2﹣5y2 C．x2+4y2 D．﹣x2+y2
4．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．若a+b＝0，ab＝﹣11，则a2+b2的值是（　　）
A．﹣11 B．11 C．﹣22 D．22
6．化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025
7．已知a＝2024x+2021，b＝2024x+2022，c＝2024x+2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若△ABC三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若y2﹣4y+4＝0，则xy的值为　 　．
10．若（b+c）（c+a）（a+b）+abc有因式m（a2+b2+c2）+l（ab+ac+bc），则m＝　 　，l＝　 　．
11．若4x2+（n﹣3）xy+9y2是一个关于x，y完全平方式，则n的值是　 　．
12．把x2+3x+c分解因式得（x+1）（x+2），则c的值为　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．分解因式：
（1）6a2m﹣3am； （2）m（a﹣2）+n（2﹣a）．
14．已知xy＝15，且满足（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28．
（1）求x﹣y的值；
（2）求x2+y2，x+y的值．
15．如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法．
（1）结合图1、图2试着分解因式：a2+3ab+2b2＝ 　 　 ；
（2）类比上述用纸片拼图分解因式的方法：
①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形；
②你的拼图共用了 　 　 张A纸片，　 　 张B纸片，　 　 张C纸片；
③结合你的拼图过程，分解因式3a2+4ab+b2＝ 　 　 ．
16．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
17．在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式x2﹣y2+5x+3y+4．
解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），不妨设x2﹣y2+5x+3y+4＝（x+y+a）（x﹣y+b），
则x2﹣y2+5x+3y+4＝x2﹣y2+（b+a）x+（b﹣a）y+ab，
∴，
∴．
（1）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab的值是 　 　；
（2）分解因式：
①4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3；
②x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2；
（3）若多项式x2﹣（3+a）x+4a﹣2能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
18．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．如图（1），通过观察大长方形面积，可得：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（1）如图（2），通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式；
（2）现有若干张如图（3）的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形．若要无缝无重叠拼出一个长为（2a+b），宽为（3a+2b）的长方形，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，直接写出x+y+z的值；
（3）图（4）是由图（3）中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）；
（4）若图（2）也是由图（3）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为17，图（4）中的阴影部分面积为8，求图（2）整个正方形的面积．
参考答案
一、选择题
1—8：DADADDDC
二、填空题
9．【解答】解：∵y2﹣4y+4＝0，
∴（y﹣2）2＝0，
∴，
解得：，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
10．【解答】解：∵（b+c）（c+a）（a+b）+abc
＝（bc+ab+c2+ac）（a+b）+abc
＝abc+b2c+a2b+ab2+ac2+bc2+a2c+abc+abc
＝（a+b+c）（ab+ac+bc）．
又∵（b+c）（c+a）（a+b）+abc有因式m（a2+b2+c2）+l（ab+ac+bc），
∴m＝0，l＝a+b+c．
故答案为0，a+b+c．
11．【解答】解：∵4x2+（n﹣3）xy+9y2是一个关于x，y完全平方式，
∴n﹣3＝±12，
则n＝15或n＝﹣9．
故答案为：15或﹣9．
12.【解答】解：∵（x+1）（x+2）＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，
∴x2+3x+c＝x2+3x+2，
∴c＝2．
故答案为2．
三、解答题
13．【解答】解：（1）6a2m﹣3am＝3am（2a﹣1）；
（2）m（a﹣2）+n（2﹣a）
＝m（a﹣2）﹣n（a﹣2）
＝（a﹣2）（m﹣n）．
14．【解答】解：（1）（x2y﹣xy2）﹣（x﹣y）＝28，
xy（x﹣y）﹣（x﹣y）＝28，
（x﹣y）（xy﹣1）＝28，
∵xy＝15，
∴14（x﹣y）＝28，
∴x﹣y＝2；
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×15＝34；
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64，
∴x+y＝±8．
15．【解答】解：（1）a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
故答案为：（a+2b）（a+b）；
（2）①如图：
②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片；
故答案为：3，1，4；
③由条件可得3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）；
故答案为：（3a+b）（a+b）．
16．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x2﹣2xy+y2）﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）△ABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：
a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，
（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝0，
（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
17．【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10，
∴，解得：，
∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
（2）①∵4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），
不妨假设4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y+a）（2x﹣y+b），
则4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2+2（a+b）x﹣y2+（b﹣a）y+ab，
∴，解得：，
∴4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）；
（2）∵x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），
不妨假设x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+a）（x+y+b），
则x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝x2﹣3xy﹣4y2+（a+b）x+（a﹣4b）y+ab，
∴，解得：，
∴x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+1）（x+y﹣2）；
（3）不妨假设x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝（x﹣m）（x﹣n），
则x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝x2﹣（m+n）x+mn，
∴，
①×4﹣②，得：4m+4n﹣mn＝14，
∴（m﹣4）（﹣n+4）＝﹣2，
∵m，n都是整数，
∴m﹣4，﹣n+4也都是整数，
又∵﹣2＝﹣1×2＝﹣2×1，
∴或或或，
∴或或或，
∴m+n＝5或m+n＝11，
∴3+a＝5或3+a＝11，
解得：a＝2或8．
故答案为：2或8．
18．【解答】解：（1）∵大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A型纸片6张，B型纸片2张，C型纸片7张，
即：x＝6，y＝2，z＝7，
∴x+y+z＝6+2+7＝15；
（3）；
（4）由题意，得：（a﹣b）2＝8，a2+b2＝17，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣2ab＝8，
∴2ab＝17﹣8＝9，
∴a2+b2+2ab＝17+9＝26；
即：整个正方形的面积为26．
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