4.1 因式分解的意义 同步分层作业（含解析）

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4.1 因式分解的意义 同步分层作业
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．2（x﹣y）＝2x﹣2y B．6m2n2＝2m2 3n2
C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．y2﹣4y+4＝（y﹣2）2
2．下列变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2 B．（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2
C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）
3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．﹣18x4y3＝﹣6x2y2 3x2y
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x（x+1）＝x2+x B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．
5．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C． D．a2b+ab2＝ab（a+b）
6．下列变形是因式分解（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay B．6xy2＝2x 3y2
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1
7．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　 　 ，从右向左的变形是　 　
8．下列从左到右的变形中，是因式分解的有　 　
①24x2y＝4x 6xy ②（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25 ③x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）
④9x2﹣6x+1＝3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1＝x（x+） ⑥3xn+2+27xn＝3xn（ x2+9）
9．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由．
（1）a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1；
（2）（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6；
（3）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）；
（4）．
10．用整式的乘法检验下列的因式分解是否正确：
（1）2m2+7mn﹣15n2＝（2m+3n）（m﹣5n）；
（2）ab﹣a+b﹣1＝（a+1）（b﹣1）；
（3）a3﹣2a2+3a﹣6＝（a﹣2）（a2+3）；
（4）x2+y2+2xy＝（x+y）（x﹣y）．
11．下列从左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
（1）（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25；
（2）x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）；
（3）x2+x+1＝x（x+1）+1；
（4）m2n+mn2+m＝m（mn+n2+1）．
12．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有（　　）
①x（a﹣b）＝ax﹣bx ②（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2
③x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） ④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　）
A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解
14．若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
15．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　 　 ，n＝　 　 ．
16．已知（x+1）（x2+ax+5）＝x3+bx2+3x+5，求a与b的值．
17．阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴∴．
∴另一个因式为x﹣7，m＝﹣21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
18．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　）
A．﹣18 B．2 C．10 D．12
19．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 　 　 ．
20．若42x2﹣31x+2能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为6x﹣4，设另一个因式为mx﹣n，其中m，n为常数，请你求m，n的值．
21．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），求mn的值．
22．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为9﹣x2＝（3+x）（3﹣x），所以3+x和3﹣x是9﹣x2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）．
∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0，此时x2+ax﹣2＝0．
将x＝﹣1代入x2+ax﹣2＝0得，1﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1．
（1）x+3是x2﹣5x﹣6的因式吗？　 　 （填“是”或“不是”）；
（2）若整式x﹣2是x2﹣13x+m的因式，求常数m的值．
答案与解析
1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．2（x﹣y）＝2x﹣2y B．6m2n2＝2m2 3n2
C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．y2﹣4y+4＝（y﹣2）2
【点拨】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解析】解：2（x﹣y）＝2x﹣2y是乘法运算，则A不符合题意，
6m2n2＝2m2 3n2中对象是单项式，则B不符合题意，
x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
y2﹣4y+4＝（y﹣2）2符合因式分解的定义，则D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．下列变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2 B．（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2
C．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 D．3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）
【点拨】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解析】解：A、x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，等式的右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B、（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故此选项不符合题意；
C、a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1，右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的识别，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．﹣18x4y3＝﹣6x2y2 3x2y
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2
【点拨】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．
【解析】解：A、不是因式分解，故本选项错误；
B、不是因式分解，故本选项错误；
C、不是因式分解，故本选项错误；
D、是因式分解，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了对因式分解定义的应用，解决本题的关键是对因式分解定义的理解．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x（x+1）＝x2+x B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2 D．
【点拨】根据因式分解的意义进行判断即可．
【解析】解：A．x（x+1）＝x2+x是整式的乘法，故A不是因式分解；
B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是整式的乘法，故B不是因式分解；
C．x2+4x+4＝（x+2）2是因式分解，故C正确；
D．x+1＝x（1+）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，右边1+不是整式，故D不是因式分解；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的意义，理解定义并灵活用定义是解决问题的关键．
5．下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C． D．a2b+ab2＝ab（a+b）
【点拨】根据因式分解的特点即可解题．
【解析】解：A．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，是整式乘法运算，不符合题意；
B．x2+2x+1＝x（x+2）+1，因式分解错误，x2+2x+1＝（x+1）2，所以不符合题意；
C．该选项已是最简形式，不能再叫进行因式分解，所以不符合题意；
D．a2b+ab2＝ab（a+b），因式分解正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考啥因式分解的特点，一是运算结果一定是乘积形式，其次最终结果是最简形式，最后化简前后是相等的，熟练掌握相应的因式分解方法是解题关键．
6．下列变形是因式分解（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay B．6xy2＝2x 3y2
C．a2+4a+4＝（a+2）2 D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1
【点拨】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式解答即可．
【解析】解：A、a（x+y）＝ax+ay是整式的乘法，故本选项不符合；
B、6xy2＝2x 3y2等式左边不是多项式，故本选项不符合；
C、a2+4a+4＝（a+2）2把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合；
D、x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式判断是解题的关键．
7．在（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2中，从左向右的变形是　整式乘法　 ，从右向左的变形是　因式分解　
【点拨】根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解．
【解析】解：∵（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
从左向右的变形是两个整式相乘，故是整式乘法；
从右向左的变形是因式分解，
故答案为：整式乘法、因式分解．
【点睛】此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．
8．下列从左到右的变形中，是因式分解的有　③⑥　
①24x2y＝4x 6xy ②（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25 ③x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）
④9x2﹣6x+1＝3x（3x﹣2）+1 ⑤x2+1＝x（x+） ⑥3xn+2+27xn＝3xn（ x2+9）
【点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解析】解：③x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），⑥3xn+2+27xn＝3xn（ x2+9）是因式分解，
故答案为：③⑥．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
9．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由．
（1）a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1；
（2）（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6；
（3）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）；
（4）．
【点拨】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】解：（1）不是因式分解，
理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式，故不是因式分解；
（2）不是因式分解，
理由：从左到右的变形属于整式乘法，故不是因式分解；
（3）左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解；
（4）不是因式分解，
理由：等式右边不是等式的形式，故不是因式分解．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
10．用整式的乘法检验下列的因式分解是否正确：
（1）2m2+7mn﹣15n2＝（2m+3n）（m﹣5n）；
（2）ab﹣a+b﹣1＝（a+1）（b﹣1）；
（3）a3﹣2a2+3a﹣6＝（a﹣2）（a2+3）；
（4）x2+y2+2xy＝（x+y）（x﹣y）．
【点拨】将各式右边利用多项式乘多项式法则计算后判断与左边是否相等即可．
【解析】解：（1）（2m+3n）（m﹣5n）
＝2m2﹣10mn+3mn﹣15n2
＝2m2﹣7mn﹣15n2
则2m2+7mn﹣15n2≠（2m+3n）（m﹣5n），
那么原式不正确；
（2）（a+1）（b﹣1）＝ab﹣a+b﹣1，
则原式正确；
（3）（a﹣2）（a2+3）＝a3﹣2a2+3a﹣6，
则原式正确；
（4）（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，
则x2+y2+2xy≠（x+y）（x﹣y），
那么原式不正确．
【点睛】本题考查因式分解的意义，理解因式分解及整式乘法的互逆关系是解题的关键．
11．下列从左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？
（1）（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25；
（2）x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）；
（3）x2+x+1＝x（x+1）+1；
（4）m2n+mn2+m＝m（mn+n2+1）．
【点拨】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
【解析】解：（1）（x+5）（x﹣5）＝x2﹣25，从左到右是整式乘法运算，不是因式分解；
（2）x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），从左到右是因式分解；
（3）x2+x+1＝x（x+1）+1，从左到右变形，不符合因式分解的定义；
（4）m2n+mn2+m＝m（mn+n2+1），从左到右是因式分解．
【点睛】此题主要考查了因式分解，正确掌握因式分解的定义是解题关键．
12．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有（　　）
①x（a﹣b）＝ax﹣bx ②（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2
③x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） ④（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【解析】解：x（a﹣b）＝ax﹣bx是乘法运算，则①不是因式分解，
（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2是乘法运算，则②不是因式分解，
x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）符合因式分解的定义，则③是因式分解，
（a+b）（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（a+b﹣1）符合因式分解的定义，则④是因式分解，
综上，属于因式分解的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　）
A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解
【点拨】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【解析】解：①2a﹣4＝2（a﹣2），属于因式分解；
②3x2+3xy＝3x（x+y），属于因式分解；
所以①和②都是因式分解．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
14．若分解因式x2+mx﹣15＝（x+3）（x﹣5），则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【点拨】先把等式的右边化为x2﹣2x﹣15的形式，再求出m的值即可．
【解析】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15，
∴m＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是因式分解的意义，根据题意把（x+3）（x﹣5）化为x2﹣2x﹣15的形式是解答此题的关键．
15．如果把多项式x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），那么m＝　﹣2　 ，n＝　2　 ．
【点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
【解析】解：x2﹣3x+n分解因式得（x﹣1）（x+m），得
x2﹣3x+n＝x2+（m﹣1）x﹣m．
m﹣1＝﹣3，n＝﹣m．
解得m＝﹣2，n＝2，
故答案为：﹣2，2．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法得出相等的整式是解题关键．
16．已知（x+1）（x2+ax+5）＝x3+bx2+3x+5，求a与b的值．
【点拨】首先利用整式的乘法计算出等号左面的算式，按照x的降幂排列，与等号右边的式子对应，建立
【解析】解：（x+1）（x2+ax+5）
＝x3+ax2+5x+x2+ax+5
＝x3+（a+1）x2+（a+5）x+5＝x3+bx2+3x+5，
得出a+5＝3，a+1＝b，
所以a＝﹣2，b＝﹣1．
【点睛】此题考查整式的乘法，以及多项式的意义，注意对应项的指数与系数的关系．
17．阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n．
∴∴．
∴另一个因式为x﹣7，m＝﹣21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【点拨】设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）＝2x2+（2n﹣5）x﹣5n，可知2n﹣5＝3，k＝5n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【解析】解：设另一个因式为（x+n），得2x2+3x+k＝（2x﹣5）（x+n）＝2x2+（2n﹣5）x﹣5n，
则
解得：n＝4，k＝﹣20，
故另一个因式为（x+4），k的值为﹣20．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解．
18．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　）
A．﹣18 B．2 C．10 D．12
【点拨】设另一个因式为x+m，则x2+7x+n＝（x+m）（x+5），根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【解析】解：设另一个因式为x+m，
则x2+7x+n＝（x+m）（x+5），
而（x+m）（x+5）＝x2+（5+m）x+5m，
所以5+m＝7，
解得：m＝2，
n＝5×2＝10，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和多项式乘以多项式，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
19．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 　xy（答案不唯一）　 ．
【点拨】根据因式分解的定义解答即可．
【解析】解：这个整式A可以是：xy（答案不唯一）．
故答案为：xy（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．
20．若42x2﹣31x+2能分解成两个因式的乘积，且有一个因式为6x﹣4，设另一个因式为mx﹣n，其中m，n为常数，请你求m，n的值．
【点拨】根据题意列出关系式，利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解析】解：根据题意得：42x2﹣31x+2＝（6x﹣4）（mx﹣n）＝6mx2﹣（4m+6n）x+4n，
可得，
解得：m＝7，n＝0.5．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握．
21．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），求mn的值．
【点拨】根据多项式含有因式，则列方程x﹣1＝0和x﹣2＝0，解出x，代入可得m+n＝15①，4m+n＝0②，组成方程组解出即可．
【解析】解：∵多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式x﹣1，
∴当x＝1时，1+m+n﹣16＝0，m+n＝15①，
∵多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式x﹣2，
∴当x＝2时，16+8m+2n﹣16＝0，4m+n＝0②，
由①和②组成方程组，解得：m＝﹣5，n＝20，
∴mn＝﹣5×20＝﹣100．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，灵活应用，并与x的特殊值对应，与方程结合得出相应的结论．
22．先阅读下面的内容，再解决问题．
如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．
如：①因为9﹣x2＝（3+x）（3﹣x），所以3+x和3﹣x是9﹣x2的因式．
②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：
解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式，
∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n）．
∴当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0，此时x2+ax﹣2＝0．
将x＝﹣1代入x2+ax﹣2＝0得，1﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1．
（1）x+3是x2﹣5x﹣6的因式吗？　不是　 （填“是”或“不是”）；
（2）若整式x﹣2是x2﹣13x+m的因式，求常数m的值．
【点拨】（1）根据因式分解即可作出判断；
（2）根据多项式乘法将等式展开有：x2﹣13x+m＝（x﹣2）（ax+b），再将x＝2代入x2﹣13x+m＝0即可求解．
【解析】解：（1）∵x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6），
∴x+3不是x2﹣5x﹣6的因式，
故答案为：不是，
（2）∵整式x﹣2是x2﹣13x+m的因式，
∴存在一个整式（ax+b），使得x2﹣13x+m＝（x﹣2）（ax+b），
∴当x＝2时，（x﹣2）（ax+b）＝0，
此时x2﹣13x+m＝0．
将x＝2代入x2﹣13x+m＝0得，
4﹣13×2+m＝0，
解得：m＝22．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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