4.2 提取公因式法 同步分层作业（含解析）

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4.2 提取公因式法 同步分层作业
1．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（　　）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
2．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　）
A．a+b与a2﹣2ab+b2 B．ax﹣bx与by﹣ay
C．x（x﹣y）3与y（y﹣x）2 D．x2﹣y2与x﹣y
3．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（　　）
A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
4．多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　）
A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y）
5．用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
6．把﹣9x3+6x2﹣3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（　　）
A．3x2﹣2x B．3x2﹣2x﹣1 C．﹣9x2+6x D．3x2﹣2x+1
7．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　）
A．80 B．96 C．192 D．240
8．多项式8a3b2+6ab3c的公因式是 　 　 ．
9．18ab2（a﹣b）2与12b（a﹣b）的公因式是 　 　 ．
10．因式分解：x2+xy＝ 　 　 ．
11．因式分解：4x2+2x＝　 　 ．
12．分解因式：4a3﹣28ab＝　 　 ．
13．因式分解：a2b﹣5ab2＝ 　 　 ．
14．因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c； （2）2a（b+c）﹣3（b+c）； （3）（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b．
15．用提取公因式法分解因式
（1）4x2﹣4xy+8xz； （2）6x4﹣4x3+2x2； （3）6m2n﹣15mn2+30m2n
（4）（a+b）﹣（a+b）2 （5）x（x﹣y）+y（y﹣x） （6）（m+n）2﹣2（m+n）
16．把下列各式分解因式：
（1）15×（a﹣b）2﹣3y（b﹣a）； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
（3）﹣20a﹣15ax； （4）（m+n）（p﹣q）﹣（m+n）（q+p）
17．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（　　）
A．4xn B．2xn﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1
18．化简：（﹣2）2025+（﹣2）2026＝ 　 ．
19．分解因式：x（x﹣3）+（3﹣x）＝　 　 ．
20．因式分解：2（x﹣2y）2（x+2y）+3（2y﹣x）（x+2y）2．
21．用提公因式法化简：
（1）（2a+b）（3a﹣2b）﹣4a（2a+b）
（2）8a（b﹣a）2+12（a﹣b）3
（3）．
22．多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　　）
A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn
23．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
24．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝　 　 ．
25．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]①
＝（1+x）2（1+x）②
＝（1+x）3③
①上述分解因式的方法是　 　 ，由②到③这一步的根据是　 　 ；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是　 　 ；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
答案与解析
1．多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（　　）
A．3a2b2 B．﹣15a3b3 C．3a2b2c D．﹣12a2b2c
【点拨】根据公因式的确定方法解答即可．
【解析】解：多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是3a2b2，
故选：A．
【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
2．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　）
A．a+b与a2﹣2ab+b2 B．ax﹣bx与by﹣ay
C．x（x﹣y）3与y（y﹣x）2 D．x2﹣y2与x﹣y
【点拨】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．
【解析】解：a+b与a2﹣2ab+b2没有公因式，选项A符合题意；
ax﹣bx与by﹣ay的公因式为（a﹣b），选项B不符合题意；
x（x﹣y）3与y（y﹣x）2的公因式为（x﹣y）2，选项C不符合题意；
x2﹣y2与x﹣y的公因式为（x﹣y），选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键．
3．多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（　　）
A．﹣xyz B．﹣4x3y3z3 C．﹣4xyz D．﹣x3y3z3
【点拨】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【解析】解：多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是﹣4xyz，
故选：C．
【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
4．多项式xy2﹣y因式分解，正确的是（　　）
A．x（y2﹣y） B．y（xy﹣1） C．y（xy+1） D．x（xy+y）
【点拨】首先确定公因式，然后提取公因式即可．
【解析】解：xy2﹣y＝y（xy﹣1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，确定公因式，正确提取公因式是解题的关键．
5．用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y）
C．﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x）
【点拨】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【解析】解：A、12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3abc），故本选项错误；
B、3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2），故本选项错误；
C、﹣a2+ab﹣ac＝﹣a（a﹣b+c），正确；
D、x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x﹣1），故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项．
6．把﹣9x3+6x2﹣3x因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（　　）
A．3x2﹣2x B．3x2﹣2x﹣1 C．﹣9x2+6x D．3x2﹣2x+1
【点拨】直接提取公因式﹣3x即可分解．
【解析】解：﹣9x3+6x2﹣3x＝﹣3x（3x2﹣2x+1），
故选：D．
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．
7．如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则a2b+ab2的值为（　　）
A．80 B．96 C．192 D．240
【点拨】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可
【解析】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12，
∴a+b＝8，ab＝12，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝12×8
＝96．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，关键是得到a2b+ab2＝ab（a+b）．
8．多项式8a3b2+6ab3c的公因式是 　2ab2　 ．
【点拨】根据公因式的确定方法解答即可．
【解析】解：多项式8a3b2+6ab3c的公因式是2ab2，故答案为：2ab2．
【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
9．18ab2（a﹣b）2与12b（a﹣b）的公因式是 　6b（a﹣b）　 ．
【点拨】确定公因式的系数，取各项系数的最大公因数；确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其指数最低的，由此确定公因式即可．
【解析】解：18ab2（a﹣b）2与12b（a﹣b）的公因式是6b（a﹣b），
故答案为：6b（a﹣b）．
【点睛】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
10．因式分解：x2+xy＝ 　x（x+y）　 ．
【点拨】根据提公因式法分解因式即可．
【解析】解：x2+xy＝x（x+y），
故答案为：x（x+y）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握这个方法是解题的关键．
11．因式分解：4x2+2x＝　2x（2x+1）　 ．
【点拨】直接找出公因式，进而提取公因式得出即可．
【解析】解：找出公因式，提取公因式得：4x2+2x＝2x（2x+1），
故答案为：2x（2x+1）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．分解因式：4a3﹣28ab＝　4a（a2﹣7b）　 ．
【点拨】先确定公因式4a，再提取公因式分解因式即可．
【解析】解：4a3﹣28ab＝4a（a2﹣7b），
故答案为：4a（a2﹣7b）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
13．因式分解：a2b﹣5ab2＝ 　ab（a﹣5b）　 ．
【点拨】利用提公因式法分解因式即可．
【解析】解：a2b﹣5ab2＝ab（a﹣5b），
故答案为：ab（a﹣5b）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
14．因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）2a（b+c）﹣3（b+c）；
（3）（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b．
【点拨】原式各项提取公因式即可得到结果．
【解析】解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）原式＝（2a﹣3）（b+c）；
（3）原式＝（a+b）（a﹣b﹣1）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15．用提取公因式法分解因式
（1）4x2﹣4xy+8xz；
（2）6x4﹣4x3+2x2；
（3）6m2n﹣15mn2+30m2n
（4）（a+b）﹣（a+b）2
（5）x（x﹣y）+y（y﹣x）
（6）（m+n）2﹣2（m+n）
【点拨】原式各项提取公因式即可得到结果．
【解析】解：（1）4x2﹣4xy+8xz＝4x（x﹣y+2z）；
（2）6x4﹣4x3+2x2＝2x2（3x2﹣2x+1）；
（3）6m2n﹣15mn2+30m2n＝3mn（2m﹣5n+10m）＝3mn（12m﹣5n）；
（4）（a+b）﹣（a+b）2＝（a+b）（1﹣a﹣b）；
（5）x（x﹣y）+y（y﹣x）＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2；
（6）（m+n）2﹣2（m+n）＝（m+n）（m+n﹣2）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．
16．把下列各式分解因式：
（1）15×（a﹣b）2﹣3y（b﹣a）；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
（3）﹣20a﹣15ax；
（4）（m+n）（p﹣q）﹣（m+n）（q+p）
【点拨】（1）直接提取公因式3（a﹣b），进而得出即可；
（2）直接提取公因式（a﹣3），进而得出即可；
（3）直接提取公因式﹣5a，进而得出即可；
（4）直接提取公因式（m+n），进而得出即可．
【解析】解：（1）15×（a﹣b）2﹣3y（b﹣a）
＝3（a﹣b）（5a﹣5b+y）；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣5）；
（3）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
（4）（m+n）（p﹣q）﹣（m+n）（q+p）
＝﹣2q（m+n）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式得出是解题关键．
17．多项式8x2n﹣4xn的公因式是（　　）
A．4xn B．2xn﹣1 C．4xn﹣1 D．2xn﹣1
【点拨】本题考查公因式的定义．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解析】解：8x2n﹣4xn＝4xn（2xn﹣1），
∴4xn是公因式．
故选：A．
【点睛】本题考查公因式的定义，难度不大，要根据找公因式的要点进行．
18．化简：（﹣2）2025+（﹣2）2026＝　22025　 ．
【点拨】先提公因式，再根据有理数的混合运算计算即可．
【解析】解：（﹣2）2025+（﹣2）2026
＝（﹣2）2025×[1+（﹣2）]
＝（﹣2）2025×（﹣1）
＝22025，
故答案为：22025．
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，有理数的混合运算，正确计算是解题的关键．
19．分解因式：x（x﹣3）+（3﹣x）＝　（x﹣3）（x﹣1）　 ．
【点拨】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）
＝（x﹣3）（x﹣1）
＝（x﹣3）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x﹣1）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．因式分解：2（x﹣2y）2（x+2y）+3（2y﹣x）（x+2y）2．
【点拨】先提取公因式（2y﹣x）（x+2y），再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可．
【解析】解：原式＝2（2y﹣x）2（x+2y）+3（2y﹣x）（x+2y）2
＝（2y﹣x）（x+2y）[2（2y﹣x）+3（x+2y）]
＝（2y﹣x）（x+2y）（4y﹣2x+3x+6y）
＝（2y﹣x）（x+2y）（10y+x）．
【点睛】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．用提公因式法化简：
（1）（2a+b）（3a﹣2b）﹣4a（2a+b）
（2）8a（b﹣a）2+12（a﹣b）3
（3）．
【点拨】（1）提取公因式，可得答案；
（2）提取公因式，可得答案；
（3）提取公因式，可分解因式，再约分，可得答案．
【解析】解：（1）原式＝（2a+b）[（3a﹣2b）﹣4a]＝（2a+b）（﹣a﹣2b）＝﹣（2a+b）（a+2b）；
（2）原式＝（a﹣b）2[8a+12（a﹣b）]＝4（a﹣b）2（5a﹣3b）；
（3）原式＝＝＝．
【点睛】本题考查了因式分解，利用了提公因式法分解因式．
22．多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（　　）
A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn
【点拨】直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式．
【解析】解：多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是：2xm﹣1yn﹣1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公因式，正确把握公因式的定义是解题关键．
23．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
【点拨】将代数式进行因式分解，再利用整体代入法求值即可．
【解析】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，
∴a﹣c＝﹣1，
∴a2﹣ac﹣b（a﹣c）
＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c）
＝（a﹣c）（a﹣b）
＝5×（﹣1）
＝﹣5；
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解﹣提公因式法，代数式求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
24．因式分解：（2a+1）a﹣4a﹣2＝　（2a+1）（a﹣2）　 ．
【点拨】直接提取公因式2a+1，进而分解因式得出答案．
【解析】解：（2a+1）a﹣4a﹣2
＝（2a+1）a﹣2（2a+1）
＝（2a+1）（a﹣2）．
故答案为：（2a+1）（a﹣2）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
25．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]①
＝（1+x）2（1+x）②
＝（1+x）3③
①上述分解因式的方法是　提公因式法分解因式　 ，由②到③这一步的根据是　同底数幂的乘法法则　 ；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是　（1+x）2007　 ；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【点拨】（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；
（2）首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案．
【解析】解：（1）m3﹣mn2＝m（m2﹣n2）＝m（m﹣n）（m+n），
（2）①提公因式法，同底数幂的乘法法则；
②根据①中可发现结论：（1+x）2007；
③（1+x）n+1．
【点睛】此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
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