4.3 用乘法公式分解因式 同步分层作业（含解析）

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4.3 用乘法公式分解因式 同步分层作业
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣xy B．x2﹣y2 C．x2+xy D．x2+y2
2．对多项式x2﹣4进行因式分解，正确的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4＝（2+x）（2﹣x）
3．将多项式﹣m2+n2用公式法进行因式分解，正确的是（　　）
A．（m+n）（m﹣n） B．（n﹣m）2 C．（﹣m﹣n）（m+n） D．（n+m）（n﹣m）
4．下面分解因式正确的是（　　）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
5．下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+2xy﹣y2 B．x2﹣xy+4y2 C．x2﹣xy+ D．x2﹣5xy+10y2
7．对多项式x2﹣2xy+y2进行因式分解，正确的是（　　）
A．x2﹣2xy+y2＝x（x﹣2y）+y2 B．x2﹣2xy+y2＝（x+y）2
C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣2y）2 D．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2
8．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
9．因式分解：＝　 　 ．
10．分解因式：25x2﹣1＝　 　 ．
11．分解因式：m2﹣2m+1＝　 　 ．
12．分解因式：4m2﹣4m+1＝ 　 ．
13．因式分解：﹣16x2+81y2＝　 　 ．
14．因式分解：
（1）9x2﹣y2； （2）x2﹣12x+36．
15．用简便方法计算．
（1）6.42﹣3.62 （2）20142﹣1042．
16．因式分解：
（1）m2﹣1； （2）（m﹣n）2﹣n2； （3）（a+b﹣c）2﹣（a+b+c）2．
17．因式分解：
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2； （2）（x+y）2+10（x+y）+25； （3）4a2b2﹣（a2+b2）2．
18．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
19．已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
20．因式分解：（a+2）（a+4）+1＝ 　 　 ．
21．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
（1）1242×25﹣25×762
（2）382+24×38+144．
22．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 　 　 （用含a，b的式子表示）．
23．因式分解
（1）25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2； （2）4（x+y）2+25﹣20（x+y）； （3）．
24．因式分解x4﹣18x2+81的结果为（　　）
A．（x2+9）2 B．（x2﹣9）2 C．（x+9）2（x﹣9）2 D．（x+3）2（x﹣3）2
25．在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
26．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　 　 ．
27．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用如图图形的面积表示．
（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
（2）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含ab项的系数为5，并画出与之对应的图形．（3）现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片　 　 张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为 　 　 ．
28．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究．
（1）如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为x2+（p+q）x+pq，还可以整体表示为　 　 ，可以得到的数学等式为　 　 ．
（2）根据上述规律，对以下多项式进行因式分解．
①x2+5x+6；
②15a2﹣2a﹣1，
29．若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即m＝n（n+2），其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”．例如，35＝5×7，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”．
（1）a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则a＝　 　 ；b是63的“较小奇因数”，则b＝　 　 ．
（2）求证：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1．
（3）若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，设p＝y﹣x，若正数p是一个两位数，求x的最大值．
答案与解析
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣xy B．x2﹣y2 C．x2+xy D．x2+y2
【点拨】将A、B、C、D分别因式分解，符合a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）形式的即可用平方差公式进行因式分解．
【解析】解：A、x2﹣xy＝x（x﹣y），不符合平方差公式，故本选项错误；
B、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），符合平方差公式，故本选项正确；
C、x2+xy＝x（x+y），不符合平方差公式，故本选项错误；
D、x2+y2不符合平方差公式，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，解题的关键是明白平方差公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．
2．对多项式x2﹣4进行因式分解，正确的是（　　）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4＝（2+x）（2﹣x）
【点拨】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解析】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
3．将多项式﹣m2+n2用公式法进行因式分解，正确的是（　　）
A．（m+n）（m﹣n） B．（n﹣m）2 C．（﹣m﹣n）（m+n） D．（n+m）（n﹣m）
【点拨】根据平方差公式将﹣m2+n2分解为（n+m）（n﹣m）即可．
【解析】解：﹣m2+n2＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
4．下面分解因式正确的是（　　）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
【点拨】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解析】解：A、原式＝（2a﹣1）2，不符合题意；
B、原式＝（a+2b）（a﹣2b），不符合题意；
C、原式＝（2a﹣3）2，符合题意；
D、原式＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解﹣公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
5．下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】根据平方差公式、完全平方公式逐个判断即可．
【解析】解：①x2﹣2x﹣1，不能用完全平方公式分解因式；
②＝，能用完全平方公式分解因式；
③﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解因式；
④﹣a2+b2＝b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），能用平方差公式分解因式；
⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式；
⑥m2﹣m+1，不能用完全平方公式分解因式；
所以能用公式法分解因式的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
6．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2+2xy﹣y2 B．x2﹣xy+4y2 C．x2﹣xy+ D．x2﹣5xy+10y2
【点拨】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、x2+2xy﹣y2，不是两数平方和的形式，不符合完全平方公式，故此选项错误；
B、x2﹣xy+4y2另一项不是x、2y的积的2倍，不符合完全平方公式；故此选项错误；
C、x2﹣xy+＝（x﹣）2，符合完全平方公式；故此选项正确；
D、x2﹣5xy+10y2，10y2＝（y）2，另一项不是x、y的积的2倍，不符合完全平方公式，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
7．对多项式x2﹣2xy+y2进行因式分解，正确的是（　　）
A．x2﹣2xy+y2＝x（x﹣2y）+y2 B．x2﹣2xy+y2＝（x+y）2
C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣2y）2 D．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2
【点拨】根据完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．若x+y＝3，x﹣y＝1，则x2﹣y2的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【点拨】将x+y＝3，x﹣y＝1代入到x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）即可．
【解析】解：当x+y＝3，x﹣y＝1时，
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，将代数式用平方差公式因式分解是关键．
9．因式分解：＝　　 ．
【点拨】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解析】解：直接利用平方差公式分解因式可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．
10．分解因式：25x2﹣1＝　（5x+1）（5x﹣1）　 ．
【点拨】符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．
【解析】解：25x2﹣1
＝（5x）2﹣12
＝（5x+1）（5x﹣1）．
故答案为：（5x+1）（5x﹣1）．
【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的关键．
11．分解因式：m2﹣2m+1＝　（m﹣1）2　 ．
【点拨】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解析】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
【点睛】本题主要考查完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12．分解因式：4m2﹣4m+1＝ 　（2m﹣1）2　 ．
【点拨】利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解析】解：原式＝（2m﹣1）2，
故答案为：（2m﹣1）2．
【点睛】本题考查利用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．因式分解：﹣16x2+81y2＝　（9y+4x）（9y﹣4x）　 ．
【点拨】用平方差公式因式分解即可．
【解析】解：﹣16x2+81y2
＝81y2﹣16x2
＝（9y+4x）（9y﹣4x）．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．因式分解：
（1）9x2﹣y2； （2）x2﹣12x+36．
【点拨】（1）根据平方差公式因式分解，即可求解；
（2）根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【解析】解：（1）根据平方差公式因式分解得：
9x2﹣y2
＝（3x）2﹣y2
＝（3x+y）（3x﹣y）；
（2）根据完全平方公式因式分解得：
x2﹣12x+36＝（x﹣6）2．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是关键．
15．用简便方法计算．
（1）6.42﹣3.62 （2）20142﹣1042．
【点拨】（1）运用平方差公式分解即可；
（2）运用平方差公式分解即可．
【解析】解：（1）6.42﹣3.62
＝（6.4+3.6）×（6.4﹣3.6）
＝10×2.8
＝28；
（2）20142﹣1042
＝（2014+104）×（2014﹣104）
＝2118×1910
＝4045380．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
16．因式分解：
（1）m2﹣1； （2）（m﹣n）2﹣n2； （3）（a+b﹣c）2﹣（a+b+c）2．
【点拨】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）直接利用平方差公式进行分解即可；
（3）直接利用平方差公式进行分解即可．
【解析】解：（1）m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）；
（2）（m﹣n）2﹣n2＝（m﹣n﹣n）（m﹣n+n）＝m（m﹣2n）；
（3）（a+b﹣c）2﹣（a+b+c）2
＝（a+b﹣c+a+b+c）（a+b﹣c﹣a﹣b﹣c）
＝﹣4c（a+b）．
【点睛】此题主要考查了利用平方差公式进行分解因式，正确记忆平方差公式是解题关键．
17．因式分解：
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2； （2）（x+y）2+10（x+y）+25； （3）4a2b2﹣（a2+b2）2．
【点拨】（1）原式利用平方差公式分解即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式分解即可得到结果；
（3）原式先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．
【解析】解：（1）原式＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]＝（7m﹣n）（﹣m+7n）；
（2）原式＝（x+y+5）2；
（3）原式＝（2ab+a2+b2）（2ab﹣a2﹣b2）＝﹣（a﹣b）2（a+b）2．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
18．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（　　）
A．（x﹣10）（x+8） B．（x+8）（x+1） C．（x﹣2）（x+4） D．（x+2）（x﹣4）
【点拨】根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3]
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：D．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
19．已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【点拨】根据完全平方式的特点即可解答．
【解析】解：∵x2+kx+9是完全平方式，
∴x2+kx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9，
即k＝±6．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
20．因式分解：（a+2）（a+4）+1＝ 　（a+3）2　 ．
【点拨】将原式利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解析】解：原式＝a2+4a+2a+8+1
＝a2+6a+9
＝（a+3）2，
故答案为：（a+3）2．
【点睛】本题考查因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
（1）1242×25﹣25×762
（2）382+24×38+144．
【点拨】（1）原式提取25变形后，利用平方差公式分解，计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用完全平方公式分解，即可得到结果．
【解析】解：（1）原式＝25×（1242﹣762）
＝25×（124+76）×（124﹣76）
＝240000；
（2）原式＝382+2×12×38+122
＝（38+12）2
＝502
＝2500．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
22．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 　a+2b　 （用含a，b的式子表示）．
【点拨】依据题意求得大正方形的面积．再利用正方形的面积公式求得正方形的边长．
【解析】解：∵用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，
∴这个大正方形的面积＝a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，
∴这个大正方形的边长为：a+2b．
故答案为：a+2b．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，列代数式，熟练掌握完全平方公式和正方形的面积公式是解题的关键．
23．因式分解
（1）25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2； （2）4（x+y）2+25﹣20（x+y）； （3）．
【点拨】（1）先利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先整理，再提公因式，再利用完全平方公式、平方差公式分解因式即可．
【解析】解：（1）25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2；
＝[5（x﹣2y）+2（2y﹣x）][5（x﹣2y）﹣2（2y﹣x）]
＝（3x﹣6y）（7x﹣14y）
＝3（x﹣2y）×7（x﹣2y）
＝21（x﹣2y）2；
（2）4（x+y）2+25﹣20（x+y）
＝[2（x+y）﹣5]2
＝（2x+2y﹣5）2；
（3）
＝2x2﹣1﹣x4
＝﹣（x4﹣2x2+1）
＝﹣（x2﹣1）2
＝﹣（x+1）2（x﹣1）2．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法、提公因式法分解因式是解题的关键．
24．因式分解x4﹣18x2+81的结果为（　　）
A．（x2+9）2 B．（x2﹣9）2 C．（x+9）2（x﹣9）2 D．（x+3）2（x﹣3）2
【点拨】原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
25．在多项式4x2+1中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（　　）
A．4x B．2x C．﹣4x D．4x4
【点拨】根据完全平方式的特点逐个判断即可．
【解析】解：A．4x2+1+4x＝（2x+1）2，即是整式2x+1的完全平方，故本选项不符合题意；
B．4x2+1+2x不是一个整式的完全平方，故本选项符合题意；
C．4x2+1﹣4x＝（2x﹣1）2，即是整式2x﹣1的完全平方，故本选项不符合题意；
D．4x2+1+4x4＝（2x2+1）2，即是整式2x2+1的完全平方，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
26．分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝　（x﹣y）2（x+y）2　 ．
【点拨】首先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【解析】解：原式＝（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）
＝（x﹣y）2（x+y）2．
故答案为：（x﹣y）2（x+y）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式，注意分解要彻底．
27．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用如图图形的面积表示．
（1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
（2）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含ab项的系数为5，并画出与之对应的图形．（3）现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片　12　 张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为 　（2a+3b）　 ．
【点拨】（1）利用多项式乘多项式的法则解答即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则解答即可；
（3）利用完全平方式的特征解答即可．
【解析】（1）解：画一个长为 a+2b，宽为 a+b 的长方形，将其分割为一个边长为a的正方形，
两个长为a宽为b的长方形和一个边长为b的正方形，即可表示，如图，
（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）解：答案不唯一，例如代数恒等式（2a+3b）（a+b）＝2a2+5ab+3b2，画图：画
一个长为 2a+3b，宽为 a+b 的长方形，将其分割为两个边长为a的正方形，五个长为a宽为b的长方形和三
个边长为b的正方形．如图，
（3）∵4a2+12ab+9b2＝（2a+3b）2，
∴需要3号卡片12张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为（2a+3b）．
故答案为：12张；2a+3b．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式的几何背景，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
28．通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究．
（1）如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为x2+（p+q）x+pq，还可以整体表示为　（x+p）（x+q）　 ，可以得到的数学等式为　x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）　 ．
（2）根据上述规律，对以下多项式进行因式分解．
①x2+5x+6；
②15a2﹣2a﹣1，
【点拨】（1）根据图形，总面积可以表示为：（x+p）（x+q），所以可以得到的数学等式为：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），据此解答；
（2）根据示例，进行因式分解即可．
【解析】解：（1）总面积可以用各部分的面积之和表示为：x2+（p+q）x+pq，
总面积可以表示为：（x+p）（x+q），
可以得到的数学等式为：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），
故答案为：（x+p）（x+q），x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
（2）①x2+5x+6
＝（x+2）（x+3）；
②15a2﹣2a﹣1
＝（5a+1）（3a﹣1）．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例进行因式分解．
29．若一个正整数m是两个连续正奇数的乘积，即m＝n（n+2），其中n为正奇数，则称m为“相邻奇数积”，n为m的“较小奇因数”．例如，35＝5×7，则35是“相邻奇数积”，5为35的“较小奇因数”．
（1）a是“相邻奇数积”，它的“较小奇因数”为3，则a＝　15　 ；b是63的“较小奇因数”，则b＝　7　 ．
（2）求证：“相邻奇数积”比构成它的两个奇因数的和的一半的平方小1．
（3）若x，y均为“相邻奇数积”，且它们的较小奇因数是两个连续奇数，设p＝y﹣x，若正数p是一个两位数，求x的最大值．
【点拨】（1）直接代入定义计算；
（2）通过对n（n+2）变形为（n+1）2﹣1恒等变形证明；
（3）设x＝a（a+2），y＝a（a﹣2）得出 p＝4a，根据p是两位数确定a的取值范围，取满足条件的最大奇数a＝23，进而求得x最大值为23×25＝575．
【解析】（1）解：∵“相邻奇数积”m＝n（n+2）（n为正奇数），a的“较小奇因数”为3，即n＝3，
将n＝3代入m＝n（n+2），得a＝3×（3+2）＝3×5＝15．
∵63是“相邻奇数积”，设较小奇因数为b，则63＝n（n+2），
解得b＝7或b＝﹣9，
∵b为正奇数，
∴较小奇因数b＝7．
故答案为：15，7；
（2）证明：设相邻奇数积为n（n+2），两个奇因数的和的一半的平方小1可表示为：（n+1）2﹣1，
右边＝（n+1）2﹣1＝n2+2n+1﹣1＝n2+2n，
左边＝n（n+2）＝n2+2n，
左边＝右边，
∴n（n+2）＝（n+1）2﹣1成立．
（3）解：设x＝a（a+2），则y＝a（a﹣2），
p＝x﹣y＝a2+2a﹣a2+2a＝4a，
∵正数p是一个两位数，100÷4＝25．
∴当a＝25时，p＝4×25＝100，但100是三位数，不符合p是两位数的条件．
由于a是奇数，比25小的最大奇数是23，
此时p＝4×23＝92，满足p是两位数的要求．
∴奇数a的最大值为23，
∴x的最大值为23×25＝575．
【点睛】本题考查对列代数求值，整式的混合运算，新定义的理解与运用，解题关键是紧扣新定义，通过代入计算、代数恒等变形、建立变量关系等方法，分别求解与新定义相关的问题．
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能力提升
培优拔尖
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