第五章 《分式》 5.5 分式方程（1）—浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024七下·江北期末）已知 a 是实数， 若分式方程 无解， 则 a 的值为 ( )
A．6 B．3 C．0 D．-3
2． 解分式方程 时， 去分母后正确的为（ ）
A． B．
C． D．
3．在方程 中， 分式方程有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．（2024七下·鄞州期末）若分式方程有增根，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
5．（2024七下·越城期末） 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 ( )
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023七下·江北期末）小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 ．
7．（2023七下·田东期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是 ．
8．（2024七下·柯桥期末）若分式方程有增根，则它的增根是 ．
9．已知 是关于 的分式方程 的一个根， 则
10． 已知关于 的方程 的增根只有 ， 则字母 的值为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．解方程：
（1）
（2）
12．解方程 ：
（1） ．
（2） ．
13．解方程：
（1）．
（2）．
14． 已知关于 的分式方程 ．
（1） 若方程的增根为 ， 求 的值．
（2）若方程有增根， 求 的值．
15．已知关于 的方程 ， 求：
（1） 当 为何值时，方程会产生增根．
（2） 当 为何值时，方程无解．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵
∴3x+a=x+2
∴2x=2-a
∴
∵原方程无解
∴，解得a=6
故答案为：A.
【分析】先解分式方程，得出x，因为原方程无解，所以得出的x是方程的增根，再列出，解出a即可.
2．【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解： ，方程两边同时乘以（x-2）得2-（x+2）=2（x-2）.
故答案为：D.
【分析】根据等式的基本性质，方程两边同时乘以(x-2)即可.
3．【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解： 这两个方程分母不含有未知量x，不属于分式方程；这两个方程分母中含有未知量x，属于分式方程.
故答案为：B.
【分析】分式方程是至少有一个未知数在分母中的方程.
4．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，
解得：
∵分式方程有增根，
∴
解得
故答案为：D．
【分析】先解出分式方程，再根据分式方程有增根，则最简公分母为0可列出关于k的方程，解之即可．
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
6．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意：去分母得：x-2=△+2 (x-3) ，
∵该分式方程无解.
∴可得该方程分母为0，即x-3=0，解得x=3，
然后把x=3代入x-2=△+2 (x-3) 中，解得：△=1.
故答案为：1.
【分析】首先，根据该分式方程无解可得：x=3.然后将其代入x-2=△+2 (x-3)中求出x的值即可.
7．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴方程的解是．
故答案为：x=5.
【分析】根据新定义运算法则列出常规分式方程，然后在分式方程两边同时乘以各个分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可求出原方程根的情况.
8．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：由，
方程两边同时乘以（x+1）(x-1)得，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：或，
当时，
，
解得；
当时，
，
等式不成立，
∴此时a不存在．
故答案为：．
【分析】由题意，去分母化分式方程为关于x的整式方程，根据原分式方程有增根可得公分母=0，即，解得或，然后把x的值分别代入整式方程可得关于a的方程，解方程求出a的值即可求解．
9．【答案】-3
【知识点】解一元一次方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x=3代入方程得：
解得：k=-3．
故答案为：-3.
【分析】把x=3代入原方程，得关于k的一元一次方程，再求解可得k的值.
10．【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x(x-1)，得3x=x+a
∵原分式方程的增根只有x=1，
∴把x=1代入3x=x+a得3=1+a
解得a=2.
故答案为：2.
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
11．【答案】（1）方程的两边同乘6x，得。
化简，得。
把代入原方程检验，左边=右边，
所以是原方程的解。
（2）方程的两边同乘，得。
化简，得。
把代入公分母，得。
所以不是原方程的根，故原方程无解。
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解。再把该解代入到原方程的分母中进行检验，即可得到原分式方程的解.
（2）先去分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解。再把该解代入到原方程的分母中进行检验，即可得到原分式方程的解.
12．【答案】（1）解：去分母， 得 ，解得 ．
检验 当 时， ．
是原方程的根.
（2）解：由题意，得最简公分母为 ，
原方程可化为 ．
检验 ： 把 代入 ， 且原方程左边 右边．
原方程的解为 ．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）最简公分母为x(x+1），故等式左右同时乘以该最简公分母化成整式方程，求解x并验根；
（2）最简公分母为2(x-1），故等式左右同时乘以该最简公分母化成整式方程，求解x并验根.
13．【答案】（1）解：，
，
解得．
经检验，是原方程的增根，
故原方程无解．
（2）解：去分母，得，
解得，
经检验，当时，．
分式方程的解为．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先将两边同时乘1-x2去分母，得到整式方程，求出x的值后再检验即可求解；
（2）先将两边同时乘x-1去分母，得到整式方程，求出x的值后再检验即可求解.
14．【答案】（1）解：方程丽边同时乘以 ，
去分时并整理得 ， 是分式方程的增根，
， 解得
（2）解： 原分式方程有增根，
，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时，．
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】（1）先将分式方程转化为整式方程，然后再根据分式方程增根的定义，得出x-1=0，最后将x=1代入整式方程，即可得出m的值；
（2）根据分式方程有增根，得出x-1=0或x+2=0，然后将分式方程转化为整式方程，将x=1或x=-2代入整式方程，即可得出m的值.
15．【答案】（1）解：
方程两边同时乘以x-1，得x+x-1=-kx-2，
整理得(2+k)x+1=0，
∵原分式方程会产生增根，
∴x-1=0，
解得x=1，
将x=1代入(2+k)x+1=0，得k=-3，
∴当k=-3时，原分式方程会产生增根；
（2）解：
方程两边同时乘以x-1，得x+x-1=-kx-2，
整理得(2+k)x+1=0，
∵原分式方程无解，
∴需要分类讨论：
①原方程有增根，由（1）可得k=-3；
②(2+k)x+1=0无解，
∴2+k=0，
∴k=-2，
∴当k=-2或-3时，原分式方程无解.
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】（1）此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解；
（2）分式方程无解需从两个方面考虑：①原分式方程有增根，②有分式方程转化的整式方程无解，觉此即可解决此题.
1 / 1第五章 《分式》 5.5 分式方程（1）—浙教版数学七（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024七下·江北期末）已知 a 是实数， 若分式方程 无解， 则 a 的值为 ( )
A．6 B．3 C．0 D．-3
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：∵
∴3x+a=x+2
∴2x=2-a
∴
∵原方程无解
∴，解得a=6
故答案为：A.
【分析】先解分式方程，得出x，因为原方程无解，所以得出的x是方程的增根，再列出，解出a即可.
2． 解分式方程 时， 去分母后正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解： ，方程两边同时乘以（x-2）得2-（x+2）=2（x-2）.
故答案为：D.
【分析】根据等式的基本性质，方程两边同时乘以(x-2)即可.
3．在方程 中， 分式方程有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解： 这两个方程分母不含有未知量x，不属于分式方程；这两个方程分母中含有未知量x，属于分式方程.
故答案为：B.
【分析】分式方程是至少有一个未知数在分母中的方程.
4．（2024七下·鄞州期末）若分式方程有增根，则k的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，
解得：
∵分式方程有增根，
∴
解得
故答案为：D．
【分析】先解出分式方程，再根据分式方程有增根，则最简公分母为0可列出关于k的方程，解之即可．
5．（2024七下·越城期末） 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 ( )
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2023七下·江北期末）小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 ．
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意：去分母得：x-2=△+2 (x-3) ，
∵该分式方程无解.
∴可得该方程分母为0，即x-3=0，解得x=3，
然后把x=3代入x-2=△+2 (x-3) 中，解得：△=1.
故答案为：1.
【分析】首先，根据该分式方程无解可得：x=3.然后将其代入x-2=△+2 (x-3)中求出x的值即可.
7．（2023七下·田东期末）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴方程的解是．
故答案为：x=5.
【分析】根据新定义运算法则列出常规分式方程，然后在分式方程两边同时乘以各个分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可求出原方程根的情况.
8．（2024七下·柯桥期末）若分式方程有增根，则它的增根是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：由，
方程两边同时乘以（x+1）(x-1)得，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：或，
当时，
，
解得；
当时，
，
等式不成立，
∴此时a不存在．
故答案为：．
【分析】由题意，去分母化分式方程为关于x的整式方程，根据原分式方程有增根可得公分母=0，即，解得或，然后把x的值分别代入整式方程可得关于a的方程，解方程求出a的值即可求解．
9．已知 是关于 的分式方程 的一个根， 则
【答案】-3
【知识点】解一元一次方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x=3代入方程得：
解得：k=-3．
故答案为：-3.
【分析】把x=3代入原方程，得关于k的一元一次方程，再求解可得k的值.
10． 已知关于 的方程 的增根只有 ， 则字母 的值为 ．
【答案】2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x(x-1)，得3x=x+a
∵原分式方程的增根只有x=1，
∴把x=1代入3x=x+a得3=1+a
解得a=2.
故答案为：2.
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
三、解答题（共5题，共50分）
11．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）方程的两边同乘6x，得。
化简，得。
把代入原方程检验，左边=右边，
所以是原方程的解。
（2）方程的两边同乘，得。
化简，得。
把代入公分母，得。
所以不是原方程的根，故原方程无解。
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解。再把该解代入到原方程的分母中进行检验，即可得到原分式方程的解.
（2）先去分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解。再把该解代入到原方程的分母中进行检验，即可得到原分式方程的解.
12．解方程 ：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：去分母， 得 ，解得 ．
检验 当 时， ．
是原方程的根.
（2）解：由题意，得最简公分母为 ，
原方程可化为 ．
检验 ： 把 代入 ， 且原方程左边 右边．
原方程的解为 ．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）最简公分母为x(x+1），故等式左右同时乘以该最简公分母化成整式方程，求解x并验根；
（2）最简公分母为2(x-1），故等式左右同时乘以该最简公分母化成整式方程，求解x并验根.
13．解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
，
解得．
经检验，是原方程的增根，
故原方程无解．
（2）解：去分母，得，
解得，
经检验，当时，．
分式方程的解为．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先将两边同时乘1-x2去分母，得到整式方程，求出x的值后再检验即可求解；
（2）先将两边同时乘x-1去分母，得到整式方程，求出x的值后再检验即可求解.
14． 已知关于 的分式方程 ．
（1） 若方程的增根为 ， 求 的值．
（2）若方程有增根， 求 的值．
【答案】（1）解：方程丽边同时乘以 ，
去分时并整理得 ， 是分式方程的增根，
， 解得
（2）解： 原分式方程有增根，
，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时，．
【知识点】分式方程的增根
【解析】【分析】（1）先将分式方程转化为整式方程，然后再根据分式方程增根的定义，得出x-1=0，最后将x=1代入整式方程，即可得出m的值；
（2）根据分式方程有增根，得出x-1=0或x+2=0，然后将分式方程转化为整式方程，将x=1或x=-2代入整式方程，即可得出m的值.
15．已知关于 的方程 ， 求：
（1） 当 为何值时，方程会产生增根．
（2） 当 为何值时，方程无解．
【答案】（1）解：
方程两边同时乘以x-1，得x+x-1=-kx-2，
整理得(2+k)x+1=0，
∵原分式方程会产生增根，
∴x-1=0，
解得x=1，
将x=1代入(2+k)x+1=0，得k=-3，
∴当k=-3时，原分式方程会产生增根；
（2）解：
方程两边同时乘以x-1，得x+x-1=-kx-2，
整理得(2+k)x+1=0，
∵原分式方程无解，
∴需要分类讨论：
①原方程有增根，由（1）可得k=-3；
②(2+k)x+1=0无解，
∴2+k=0，
∴k=-2，
∴当k=-2或-3时，原分式方程无解.
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】（1）此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解；
（2）分式方程无解需从两个方面考虑：①原分式方程有增根，②有分式方程转化的整式方程无解，觉此即可解决此题.
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