浙教版（2024）数学七下第3章 整式的乘除 单元测试C卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·浙江期中）计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a10÷a2=a10-2=a8，
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则即可求解.
2．（浙江省台州市白云中学 2024 -2025学年下学期期中测试卷七年级数学）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲、图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，因为图中阴影部分的面积为1，
所以即①
图乙中阴影部分的面积为10
所以即②
由①②即
故答案为：C.
【分析】 题目涉及两个正方形A和B的面积之和，已知图甲（B在A内部）和图乙（A、B并列构成新正方形）的阴影面积分别为1和10，通过建立方程组求解两正方形的面积之和。
3．（2025七下·浙江期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式=-(a-3)(a-3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式=(3-a)(3+a)，用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
C、原式=(3-a)(3-a)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、原式=-(a+3)(a+3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式的结构进行分析判断.
4．（2025·衢江模拟）下列式子的运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项不符合题意；
B、∵，∴此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项不符合题意；
D、∵，∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．（2025·金华模拟）下列运算中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故答案为：D．
【分析】(1)利用合并同类项法则计算；
（2）利用同底数幂相乘法则计算；
（3）利用单项式除以单项式法则计算；
（4）利用幂的乘方法则计算．
6．（2025八下·青秀开学考）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第1幅图中阴影部分面积为，
第2幅图中阴影部分面积为，
∵这两幅图形中阴影部分面积相等，
∴可以验证的公式是，
故答案为：B．
【分析】第1幅图中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，结合正方形面积公式表示出图1中阴影面积；第2幅图中，根据梯形的面积公式计算出阴影部分的面积，利用图形剪拼可得这两幅图形中阴影部分面积相等，据此可得结论.
7．（2025·书院模拟）已知，则的值是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：令 则原式可化简为
则
解得： 即
故答案为：C.
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解.
8．（2024七下·覃塘期中）设，，则的近似值为（ ）
A．13 B．25 C．50 D．101
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出代数式，再利用同分母的项行进行错位相减然后用平方差公式然后求解即可．
9．（2024七下·南浔期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y-12)cm，阴影A的较长边为(y-12)cm，较短边为(x-8)cm，阴影B的较长边为12cm，较短边为(x-y+12)cm，然后根据整式加法法则、多项式乘多项式法则及单项式乘多项式运算法则分别计算后即可逐一判断得出答案.
10．（2025八上·红花岗期末）如图，某小区规划在边长为a米的正方形空地上种植草坪，其中为了方便行人，在空地中修建两条宽为b米的人行道，利用图中草坪面积的等量关系可以得到的公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：依题意，图中草坪面积为或表示为，
∴
故答案为：A．
【分析】用两种方法表示草坪的的面积即可解题．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025七下·蒲江月考）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可.
12．（2024七下·历下期中）若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是 ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得：这个长方形的另一边长：．
故答案为：．
【分析】根据长方形的面积=长×宽可得长方形的另一边长=长方形的面积÷一边长，则另一边长为．
13．（2019九上·台江期中）已知：x2-8x-3=0，则（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）的值是 。
【答案】180
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】∵x2-8x-3=0，
∴x2-8x=3
（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）=（x2-8x+7）（x2-8x+15），
把x2-8x=3代入得：原式=（3+7）×（3+15）=180．
故答案是：180．
【分析】根据x2-8x-3=0，可以得到x2-8x=3，对所求的式子进行化简，第一个式子与最后一个相乘，中间的两个相乘，然后把x2-8x=3代入求解即可．
14．（2022七下·昭平期中）若，则的值为 .
【答案】
【知识点】算术平方根；完全平方公式及运用；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a>0，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据已知等式及绝对值的非负性可判断出a＞0，然后根据绝对值的性质化简已知等式，进而将已知等式两边同时平方可得，利用配方法可得，最后再开方即可得出答案.
15．（2024九下·临平模拟）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵.如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵.则原长方形队阵中有同学 .
【答案】1025
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程
【解析】【解答】解：设原队列中有x个人，两个正方形的边长为a，b
，则
∴
∵a+b与a-b同奇同偶
∴
∴
当a=18或12时，解出x=260或80
∵260÷25=10.4，80÷25=3.2，不合题意，舍去
当a=33时，x=1025
故答案为：1025.
【分析】先设原列队中有x人，根据题意列出方程，再得出，分析得出，a和b有三种情况，每种情况再依依判定即可.
16．（2025八下·浙江期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ．
【答案】32
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：依题意有 当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
当 时，该长方形为边长是8的正方形，
∴边长是 和 的长方形的最大面积是64，
的最大值为
故答案为： 32.
【分析】先将代数式 化为 根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，进而求出 的最大值.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题10分，第20题10分，第21题6分，第22题10分，第23题6分，第24题12分，共66分）
17． 计算：
【答案】解：（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先作积的乘方运算，再作幂的乘方运算，注意系数较小且幂指数也较小时需要算出系数乘方的结果；
（2）先分别作幂的乘方运算和积的乘方运算，再作同底数幂的乘法运算；
（3）把底数中的多项式当作一个字母，先作积的乘方运算，再作幂的乘方运算；
（4）先作积的乘方运算，再作同底数幂的乘法运算，最后再合并同类.
18．（2025七下·浦江月考） 先化简，再求值： （2a +b）2- 2a（2b +a）.其中a =- 1，b =
【答案】解：原式
把代入得：原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，必须先化简，再代入求值，化简时灵活运用乘法公式和乘法分配律可以简化运算，同时要对结果中出现的同类项进行合并，最后再代入字母的值进行实数的运算即可.
19．（2024七下·杭州期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题：
（1）若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片______张，B型纸片______张，C型纸片______张．
（2）现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数．
（3）现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况）
【答案】（1）3；11；6
（2）解：设型纸片有张，
则该正方形的面积可表示为，
解得
（3）解：根据题意，设这个长方形的长为，则宽为，
则长方形的面积为：，
则有张纸片，张纸片，张纸片，
因为拼成这个长方形恰好用12张纸片，
所以，即，
因为和都是正整数，
则只有三组正整数解：；；.
所以只有下列三种情形：
方案1：A纸片1张，纸片5张，纸片6张
方案2：A纸片2张，纸片6张，纸片4张
方案3：A纸片3张，纸片7张，纸片2张
方案1：A纸片1张，纸片5张，纸片6张
方案2：A纸片2张，纸片6张，纸片4张
方案3：A纸片3张，纸片7张，纸片2张
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）一张型纸片的面积为，一张型纸片的面积为，一张型纸片的面积为，且长方形面积为，
要型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张；
故答案为：3；11；6.
【分析】（1）由于长方形的长和宽都已知，则实际是告诉了它的面积，此时根据面积就能发现它分别包含几个正方形A、几个长方形B和几个正方形C了；（2）由于正方形的面积为边长的平方，所以其面积的表达式肯定是一个完全平方式，则型纸片可确定；（3）设长方形的长为，则宽为，可计算出其面积为，则根据三种纸片的个数和为12得，最后求满足这个方程的正整数解即可．
（1）解：，
要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张；
（2）设型纸片有张，
则该正方形的面积可表示为，
解得；
（3）根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为，
则长方形的面积为：，
则有张A纸片，张纸片，张纸片，
因为拼成这个长方形恰好用12张纸片，
所以，即，
因为和都是正整数，
则只有三组正整数解：，；，；，.
所以只有下列三种情形：
方案1：A纸片1张，纸片5张，纸片6张
方案2：A纸片2张，纸片6张，纸片4张
方案3：A纸片3张，纸片7张，纸片2张
20．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）计算：
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
【答案】（1）；1
（2）解：∵，，，，…，
∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，
∵，
∴
（3）解：
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；；
故答案为：；1；
【分析】(1)利用同底数幂的运算进行计算可得：；，再根据，再进行计算可求出答案；
(2)先求出i的前6次方可得：，，，，…，进而可得的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，再根据，再进行计算可求出答案；
(3)利用分式的性质进行计算可得：原式，再利用平方差公式进行计算可得：原式，再进行化简可求出答案.
21．（2024八下·南海期中）利用我们学过的完全平方公式：，可以导出下面这个等式：
该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．
（1）请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；
（2）利用上面等式进行计算：
．
【答案】（1）解：
原式=
（2）解：
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的运用，熟练运用完全平方公式进行拆分配凑是解题关键.完全平方公式：．
（1）观察等式左边，为了利用完全平方公式，给整个表达式乘以2，将右边的表达式重新分组，凑成完全平方的形式，由此可推导出答案；
（2）利用(1)中的结论直接代值求解即可得到答案；
22．（2024·威远模拟）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
（1）已知实数x，y满足，求的值；
（2）设a，b满足等式，求的值；
（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）设，则，据此解出m的值，进而即可求解；
（2）设，则，进而得到：，据此求出m的值，进而即可求解；
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，据此求出y的值，进而即可求解.
23．（2024七下·桂林期中）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．
【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：
方法一 方法二
∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ． ∵，， ∴．
【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题．
（1）已知，，求；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【拓展提升】
（4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积．
【答案】解：（1）把两边平方，得，
即，
将，代入得
解得．
（2）把两边平方，得，
即，
即可得到．
（3），
又，
将代入，得，
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解（4）四边形和四边形都是正方形，且两正方形面积和为，，
设，，则有，，
把两边平方，得，
即，
将代入得，
解得，则，
阴影部分的面积为36．
【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简，得到，将代入计算，即可求得的值，得到答案；
（2）把两边平方，利用完全平方公式化简，得到，即可求得的值，得到答案；
（3）把和各看做一个整体，利用完全平方公式化简，将代入计算，即可求得的值，得到答案；
（4）设，，则有，，根据阴影部分面积相等，且为大小两个正方形边长乘积的一半，结合完全平方式的运算，即可求解阴影部分的面积.
24．（2024七下·金沙期末）乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系： ；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：①，，且，
，
解得；
②设，，可得，，
，即，
解得，
则的值为．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图2大正方形的边长为（a+b），
∴大正方形的面积为：（a+b）（a+b）=（a+b）2；
又∵图2大正方形是由2个正方形和2个长方形组成，
∴大正方形的面积也可以表示为：a2+ab+b2+ab=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由图2可得：（a+b）2=a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）方法1：大正方形边长为（a+b），利用正方形的面积公式表示即可；
方法2：大正方形等于两个小正方形和两个小长方形的面积之和表示即可；
（2）由面积相等即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系；
（3）①把已知的值整体代入（a+b）2=a2+b2+2ab，即可求出ab的值；
②设2024-a=m，a-2022=n，于是可求出m+n=2，m2+n2=8，结合（m+n）2=m2+2mn+n2，即可求出mn的值，从而得出（2024-a）（a-2022）的值。
1 / 1浙教版（2024）数学七下第3章 整式的乘除 单元测试C卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025七下·浙江期中）计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（浙江省台州市白云中学 2024 -2025学年下学期期中测试卷七年级数学）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲、图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2025七下·浙江期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·衢江模拟）下列式子的运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·金华模拟）下列运算中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·青秀开学考）如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·书院模拟）已知，则的值是（ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
8．（2024七下·覃塘期中）设，，则的近似值为（ ）
A．13 B．25 C．50 D．101
9．（2024七下·南浔期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2025八上·红花岗期末）如图，某小区规划在边长为a米的正方形空地上种植草坪，其中为了方便行人，在空地中修建两条宽为b米的人行道，利用图中草坪面积的等量关系可以得到的公式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025七下·蒲江月考）计算： ．
12．（2024七下·历下期中）若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是 ．
13．（2019九上·台江期中）已知：x2-8x-3=0，则（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）的值是 。
14．（2022七下·昭平期中）若，则的值为 .
15．（2024九下·临平模拟）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵.如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵.则原长方形队阵中有同学 .
16．（2025八下·浙江期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题10分，第20题10分，第21题6分，第22题10分，第23题6分，第24题12分，共66分）
17． 计算：
18．（2025七下·浦江月考） 先化简，再求值： （2a +b）2- 2a（2b +a）.其中a =- 1，b =
19．（2024七下·杭州期中）用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题：
（1）若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片______张，B型纸片______张，C型纸片______张．
（2）现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数．
（3）现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况）
20．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）计算：
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
21．（2024八下·南海期中）利用我们学过的完全平方公式：，可以导出下面这个等式：
该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．
（1）请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；
（2）利用上面等式进行计算：
．
22．（2024·威远模拟）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
（1）已知实数x，y满足，求的值；
（2）设a，b满足等式，求的值；
（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
23．（2024七下·桂林期中）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．
【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：
方法一 方法二
∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ． ∵，， ∴．
【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题．
（1）已知，，求；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【拓展提升】
（4）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，直接写出阴影部分的面积．
24．（2024七下·金沙期末）乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1： ，方法2： ；
（2）观察图2，请你写出三个代数式，，之间的数量关系： ；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值；
②已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a10÷a2=a10-2=a8，
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则即可求解.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，因为图中阴影部分的面积为1，
所以即①
图乙中阴影部分的面积为10
所以即②
由①②即
故答案为：C.
【分析】 题目涉及两个正方形A和B的面积之和，已知图甲（B在A内部）和图乙（A、B并列构成新正方形）的阴影面积分别为1和10，通过建立方程组求解两正方形的面积之和。
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、原式=-(a-3)(a-3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
B、原式=(3-a)(3+a)，用平方差公式进行计算，故此选项符合题意；
C、原式=(3-a)(3-a)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
D、原式=-(a+3)(a+3)，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式的结构进行分析判断.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴此选项不符合题意；
B、∵，∴此选项不符合题意；
C、∵，∴此选项不符合题意；
D、∵，∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故答案为：D．
【分析】(1)利用合并同类项法则计算；
（2）利用同底数幂相乘法则计算；
（3）利用单项式除以单项式法则计算；
（4）利用幂的乘方法则计算．
6．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：第1幅图中阴影部分面积为，
第2幅图中阴影部分面积为，
∵这两幅图形中阴影部分面积相等，
∴可以验证的公式是，
故答案为：B．
【分析】第1幅图中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，结合正方形面积公式表示出图1中阴影面积；第2幅图中，根据梯形的面积公式计算出阴影部分的面积，利用图形剪拼可得这两幅图形中阴影部分面积相等，据此可得结论.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：令 则原式可化简为
则
解得： 即
故答案为：C.
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴
，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出代数式，再利用同分母的项行进行错位相减然后用平方差公式然后求解即可．
9．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，说法①符合题意；
∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，
阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为
，
当时，，说法④符合题意，
综上所述，正确的说法有①③④，共3个，
故答案为：B．
【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y-12)cm，阴影A的较长边为(y-12)cm，较短边为(x-8)cm，阴影B的较长边为12cm，较短边为(x-y+12)cm，然后根据整式加法法则、多项式乘多项式法则及单项式乘多项式运算法则分别计算后即可逐一判断得出答案.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：依题意，图中草坪面积为或表示为，
∴
故答案为：A．
【分析】用两种方法表示草坪的的面积即可解题．
11．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】多项式除以单项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得：这个长方形的另一边长：．
故答案为：．
【分析】根据长方形的面积=长×宽可得长方形的另一边长=长方形的面积÷一边长，则另一边长为．
13．【答案】180
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【解答】∵x2-8x-3=0，
∴x2-8x=3
（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）=（x2-8x+7）（x2-8x+15），
把x2-8x=3代入得：原式=（3+7）×（3+15）=180．
故答案是：180．
【分析】根据x2-8x-3=0，可以得到x2-8x=3，对所求的式子进行化简，第一个式子与最后一个相乘，中间的两个相乘，然后把x2-8x=3代入求解即可．
14．【答案】
【知识点】算术平方根；完全平方公式及运用；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a>0，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据已知等式及绝对值的非负性可判断出a＞0，然后根据绝对值的性质化简已知等式，进而将已知等式两边同时平方可得，利用配方法可得，最后再开方即可得出答案.
15．【答案】1025
【知识点】平方差公式及应用；解二元一次方程
【解析】【解答】解：设原队列中有x个人，两个正方形的边长为a，b
，则
∴
∵a+b与a-b同奇同偶
∴
∴
当a=18或12时，解出x=260或80
∵260÷25=10.4，80÷25=3.2，不合题意，舍去
当a=33时，x=1025
故答案为：1025.
【分析】先设原列队中有x人，根据题意列出方程，再得出，分析得出，a和b有三种情况，每种情况再依依判定即可.
16．【答案】32
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：依题意有 当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
当 时，该长方形为边长是8的正方形，
∴边长是 和 的长方形的最大面积是64，
的最大值为
故答案为： 32.
【分析】先将代数式 化为 根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，进而求出 的最大值.
17．【答案】解：（1）。
（2）。
（3）。
（4）。
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先作积的乘方运算，再作幂的乘方运算，注意系数较小且幂指数也较小时需要算出系数乘方的结果；
（2）先分别作幂的乘方运算和积的乘方运算，再作同底数幂的乘法运算；
（3）把底数中的多项式当作一个字母，先作积的乘方运算，再作幂的乘方运算；
（4）先作积的乘方运算，再作同底数幂的乘法运算，最后再合并同类.
18．【答案】解：原式
把代入得：原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式的化简求值，必须先化简，再代入求值，化简时灵活运用乘法公式和乘法分配律可以简化运算，同时要对结果中出现的同类项进行合并，最后再代入字母的值进行实数的运算即可.
19．【答案】（1）3；11；6
（2）解：设型纸片有张，
则该正方形的面积可表示为，
解得
（3）解：根据题意，设这个长方形的长为，则宽为，
则长方形的面积为：，
则有张纸片，张纸片，张纸片，
因为拼成这个长方形恰好用12张纸片，
所以，即，
因为和都是正整数，
则只有三组正整数解：；；.
所以只有下列三种情形：
方案1：A纸片1张，纸片5张，纸片6张
方案2：A纸片2张，纸片6张，纸片4张
方案3：A纸片3张，纸片7张，纸片2张
方案1：A纸片1张，纸片5张，纸片6张
方案2：A纸片2张，纸片6张，纸片4张
方案3：A纸片3张，纸片7张，纸片2张
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）一张型纸片的面积为，一张型纸片的面积为，一张型纸片的面积为，且长方形面积为，
要型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张；
故答案为：3；11；6.
【分析】（1）由于长方形的长和宽都已知，则实际是告诉了它的面积，此时根据面积就能发现它分别包含几个正方形A、几个长方形B和几个正方形C了；（2）由于正方形的面积为边长的平方，所以其面积的表达式肯定是一个完全平方式，则型纸片可确定；（3）设长方形的长为，则宽为，可计算出其面积为，则根据三种纸片的个数和为12得，最后求满足这个方程的正整数解即可．
（1）解：，
要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张；
（2）设型纸片有张，
则该正方形的面积可表示为，
解得；
（3）根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为，
则长方形的面积为：，
则有张A纸片，张纸片，张纸片，
因为拼成这个长方形恰好用12张纸片，
所以，即，
因为和都是正整数，
则只有三组正整数解：，；，；，.
所以只有下列三种情形：
方案1：A纸片1张，纸片5张，纸片6张
方案2：A纸片2张，纸片6张，纸片4张
方案3：A纸片3张，纸片7张，纸片2张
20．【答案】（1）；1
（2）解：∵，，，，…，
∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，
∵，
∴
（3）解：
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；；
故答案为：；1；
【分析】(1)利用同底数幂的运算进行计算可得：；，再根据，再进行计算可求出答案；
(2)先求出i的前6次方可得：，，，，…，进而可得的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，再根据，再进行计算可求出答案；
(3)利用分式的性质进行计算可得：原式，再利用平方差公式进行计算可得：原式，再进行化简可求出答案.
21．【答案】（1）解：
原式=
（2）解：
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的运用，熟练运用完全平方公式进行拆分配凑是解题关键.完全平方公式：．
（1）观察等式左边，为了利用完全平方公式，给整个表达式乘以2，将右边的表达式重新分组，凑成完全平方的形式，由此可推导出答案；
（2）利用(1)中的结论直接代值求解即可得到答案；
22．【答案】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）设，则，据此解出m的值，进而即可求解；
（2）设，则，进而得到：，据此求出m的值，进而即可求解；
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，据此求出y的值，进而即可求解.
23．【答案】解：（1）把两边平方，得，
即，
将，代入得
解得．
（2）把两边平方，得，
即，
即可得到．
（3），
又，
将代入，得，
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解（4）四边形和四边形都是正方形，且两正方形面积和为，，
设，，则有，，
把两边平方，得，
即，
将代入得，
解得，则，
阴影部分的面积为36．
【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简，得到，将代入计算，即可求得的值，得到答案；
（2）把两边平方，利用完全平方公式化简，得到，即可求得的值，得到答案；
（3）把和各看做一个整体，利用完全平方公式化简，将代入计算，即可求得的值，得到答案；
（4）设，，则有，，根据阴影部分面积相等，且为大小两个正方形边长乘积的一半，结合完全平方式的运算，即可求解阴影部分的面积.
24．【答案】（1）；
（2）
（3）解：①，，且，
，
解得；
②设，，可得，，
，即，
解得，
则的值为．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图2大正方形的边长为（a+b），
∴大正方形的面积为：（a+b）（a+b）=（a+b）2；
又∵图2大正方形是由2个正方形和2个长方形组成，
∴大正方形的面积也可以表示为：a2+ab+b2+ab=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由图2可得：（a+b）2=a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）方法1：大正方形边长为（a+b），利用正方形的面积公式表示即可；
方法2：大正方形等于两个小正方形和两个小长方形的面积之和表示即可；
（2）由面积相等即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系；
（3）①把已知的值整体代入（a+b）2=a2+b2+2ab，即可求出ab的值；
②设2024-a=m，a-2022=n，于是可求出m+n=2，m2+n2=8，结合（m+n）2=m2+2mn+n2，即可求出mn的值，从而得出（2024-a）（a-2022）的值。
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