第四章因式分解（A卷）单元测试（含答案）

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第四章因式分解（A卷）单元测试浙教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
2．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
3．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
4．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
5．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
6．若关于x的多项式x3+x2﹣7x﹣3可以分解为（x2+nx﹣1）（x+3），则n3的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+2x﹣1 B．
C．x2+2x+4 D．x2﹣6x+9
8．已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．分解因式：3ay2﹣3ax2＝　 　 ．
10．若分解因式：x2+3x＝x（x+k），则k的值为　 　 ．
11．若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　 　 ．
12．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x﹣2025＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．将下列各式分解因式：
①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9．
14．分解因式：
（1）x（x﹣y）+y（y﹣x）；
（2）5a2b﹣10ab2+5b3．
15．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
材料2：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．
解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+4x+3因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解．
16．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+42﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
17．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
（1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　；
（2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值；
（3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值．
18．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）
（1）解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解；x2﹣2x﹣15．
（2）深入研究，说明多项式x2﹣6x+11的值总是一个正数；
（3）拓展运用，已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，试判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1—8：AACBABDD
二、填空题
9．【解答】解：3ay2﹣3ax2
＝3a（y2﹣x2）
＝3a（y﹣x）（y+x），
故答案为：3a（y﹣x）（y+x）．
10．【解答】解：由题意得，x（x+3）＝x（x+k）
∴k＝3，
故答案为：3．
11．【解答】解：∵2a﹣b＝﹣3，ab＝2，
∴2a2b﹣ab2的
＝ab（2a﹣b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2025
＝2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2025
＝2x×1﹣3x2+4x﹣2025
＝﹣3x2+6x﹣2025
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2025
＝﹣3﹣2025
＝﹣2028，
故答案为：﹣2028．
三、解答题
13．【解答】解：①x2（x﹣1）﹣16（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2﹣16）
＝（x﹣1）（x+4）（x﹣4）；
②（m﹣n）2﹣6（n﹣m）+9
＝（m﹣n）2+6（m﹣n）+9
＝（m﹣n+3）2．
14．【解答】解：（1）原式＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2；
（2）原式＝5b（a2﹣2ab+b2）
＝5b（a﹣b）2．
15．【解答】解：（1）x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1
＝（x+2+1）（x+2﹣1）
＝（x+3）（x+1）．
（2）设x+y＝a，
则原式＝a2﹣10a+25
＝（a﹣5）2
＝（x+y﹣5）2．
（3）m2﹣2m＝a，
则（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4
＝a（a﹣3）﹣4
＝a2﹣3a﹣4
＝（a+1）（a﹣4）
＝（m2﹣2m+1）（m2﹣2m﹣4）
＝（m﹣1）2（m2﹣2m﹣4）．
16．【解答】解：（1）（2x）2+y2﹣kx y
＝4x2﹣kxy+y2，
∵4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC 2x 8x＝8x2，
S△BGF（8x﹣4y） y
＝4x﹣2y2，
S△DEF 4y （2x﹣y）
＝4xy﹣2y2，
S△GEC 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2﹣（4xy﹣2y2）﹣（4xy﹣2y2）﹣2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]
＝2（144﹣8×10）
＝128．
17．【解答】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m，
则m＝2，
则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣1）（x+2）；
（2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
则m＝a﹣2，n＝2a，
那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4；
（3）∵（x+a）（x2+bx+c）
＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac
＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac
＝x3+2x2﹣3，
∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3，
解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3．
18．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝x2﹣2x+1﹣1﹣15＝（x﹣1）2﹣42＝（x+3）（x﹣5）；
（2）x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2＞0，
∴多项式x2﹣6x+11的值总是一个正数；
（3）由条件可知2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+a2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
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