第四章因式分解单元测试（含答案）

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第四章因式分解单元测试浙教版2024—2025学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2+b2 B．﹣a2+b2 C．﹣a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
2．多项式15a3b3+5a2b﹣20a2b3中各项的公因式是（　　）
A．a3b3 B．a2b C．5a2b D．5a3b3
3．若（x+5）和（x﹣3）均是x2+px+q的因式，则p的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
4．若x2﹣（k+1）x+9是一个完全平方式，则k的值一定为（　　）
A．5 B．7或﹣5 C．±5 D．5或﹣7
5．对于下列整式：①a2﹣2a+1，②m2+m+1，③1，④；⑤a2+4b2﹣4ab；⑥，其中能表示成完全平方式的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　）
A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5
7．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
8．已知关于x的二次三项式x2+7x+n有一个因式为（x+5），则n的值为（　　）
A．﹣18 B．2 C．10 D．12
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 　 　（用含a，b的式子表示）．
10．有四张卡片，每张卡片上分别写了一个代数式：①a2+2ab+b2；②﹣x2+6x﹣10；③；④2a3b﹣5ab+3．甲、乙、丙、丁四位同学每人拿到一张卡片并作如下描述：
甲：我拿到的是个四次三项式；
乙：不管字母取何值，我拿到的这个式子的值总是负数；
丙：我拿到的式子的值为整数时，字母有6个不同的值；
丁：我拿到的式子可以写成一个整式的平方．
请问甲、乙、丙、丁对应的卡片序号分别是 　 　．
11．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　．
12．若y2﹣4y+4＝0，则xy的值为　 　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．因式分解．
（1）12mn﹣3n2；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
14．如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
15．因式分解．
（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）；
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．
16．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
材料2：分解因式（a+b）2+2（a+b）+1．
解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+4x+3因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解．
17．在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式x2﹣y2+5x+3y+4．
解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），不妨设x2﹣y2+5x+3y+4＝（x+y+a）（x﹣y+b），
则x2﹣y2+5x+3y+4＝x2﹣y2+（b+a）x+（b﹣a）y+ab，
∴，
∴．
（1）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab的值是 　 　；
（2）分解因式：
①4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3；
②x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2；
（3）若多项式x2﹣（3+a）x+4a﹣2能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值．
18．“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式．如图（1），通过观察大长方形面积，可得：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．
（1）如图（2），通过观察大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，直接写出此公式；
（2）现有若干张如图（3）的三种纸片，A是边长为a的正方形，B是边长为b的正方形，C是长为a，宽为b的长方形．若要无缝无重叠拼出一个长为（2a+b），宽为（3a+2b）的长方形，设需要A型纸片x张，B型纸片y张，C型纸片z张，直接写出x+y+z的值；
（3）图（4）是由图（3）中的两张A型纸片和两张B型纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），直接写出阴影部分的面积（用含a，b的式子表示）；
（4）若图（2）也是由图（3）中的三种纸片拼成的，且图（2）中的阴影部分面积为17，图（4）中的阴影部分面积为8，求图（2）整个正方形的面积．
参考答案
一、选择题
1—8：BCDDAACC
二、填空题
9．【解答】解：∵用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，
∴这个大正方形的面积＝a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，
∴这个大正方形的边长为：a+2b．
故答案为：a+2b．
10．【解答】解：①a2+2ab+b2＝（a+b）2，是一个整式的平方；
②﹣x2+6x﹣10
＝﹣（x2﹣6x+9）﹣1
＝﹣（x﹣3）2﹣1，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2﹣1＜0，
∴不管字母取何值，﹣x2+6x﹣10的值总是负数；
③为整数时，x+1＝±1或x+1＝±2或x+1＝±4，
∴x＝0或﹣2或1或﹣3或3或﹣5，x有6个不同的取值；
④2a3b﹣5ab+3是四次三项式，
故答案为：④②③①．
11．【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
12．【解答】解：∵y2﹣4y+4＝0，
∴（y﹣2）2＝0，
∴，
解得：，
∴xy的值为：4．
故答案为：4．
三、填空题
13．【解答】解：（1）12mn﹣3n2＝3n（4m﹣n）；
（2）8a2﹣16ab+8b2
＝8（a2﹣2ab+b2）
＝8（a﹣b）2．
14．【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，
当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝ab（a﹣b）
＝12×1
＝12；
（2）当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）
＝3ab（a﹣b）2
＝3×12×12
＝36．
15．【解答】解：（1）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b）．
（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9
＝[（x2+2）﹣3]2
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
16．【解答】解：（1）x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1
＝（x+2+1）（x+2﹣1）
＝（x+3）（x+1）．
（2）设x+y＝a，
则原式＝a2﹣10a+25
＝（a﹣5）2
＝（x+y﹣5）2．
（3）m2﹣2m＝a，
则（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4
＝a（a﹣3）﹣4
＝a2﹣3a﹣4
＝（a+1）（a﹣4）
＝（m2﹣2m+1）（m2﹣2m﹣4）
＝（m﹣1）2（m2﹣2m﹣4）．
17．【解答】解：（1）∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，
∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10，
∴，解得：，
∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
（2）①∵4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），
不妨假设4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y+a）（2x﹣y+b），
则4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2+2（a+b）x﹣y2+（b﹣a）y+ab，
∴，解得：，
∴4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）；
（2）∵x2﹣3xy﹣4y2＝（x﹣4y）（x+y），
不妨假设x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+a）（x+y+b），
则x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝x2﹣3xy﹣4y2+（a+b）x+（a﹣4b）y+ab，
∴，解得：，
∴x2﹣3xy﹣4y2﹣x+9y﹣2＝（x﹣4y+1）（x+y﹣2）；
（3）不妨假设x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝（x﹣m）（x﹣n），
则x2﹣（3+a）x+4a﹣2＝x2﹣（m+n）x+mn，
∴，
①×4﹣②，得：4m+4n﹣mn＝14，
∴（m﹣4）（﹣n+4）＝﹣2，
∵m，n都是整数，
∴m﹣4，﹣n+4也都是整数，
又∵﹣2＝﹣1×2＝﹣2×1，
∴或或或，
∴或或或，
∴m+n＝5或m+n＝11，
∴3+a＝5或3+a＝11，
解得：a＝2或8．
故答案为：2或8．
18．【解答】解：（1）∵大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（3a+2b）＝6a2+7ab+2b2，
∴需要A型纸片6张，B型纸片2张，C型纸片7张，
即：x＝6，y＝2，z＝7，
∴x+y+z＝6+2+7＝15；
（3）；
（4）由题意，得：（a﹣b）2＝8，a2+b2＝17，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣2ab＝8，
∴2ab＝17﹣8＝9，
∴a2+b2+2ab＝17+9＝26；
即：整个正方形的面积为26．
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