5.2 分式的基本性质-2024-2025学年浙教版七年级下册 同步分层作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
5.2 分式的基本性质 同步分层作业
1．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中的变形，错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍
5．下列分式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列分式中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列各式中的最简分式是（　　）
A． B． C． D．
8．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
9．下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
10．化简：＝（　　）
A．﹣4x B． C． D．x+4
11．利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
12．填空：．
13．化简：
（1）＝　　 ； （2）＝　 　 ； （3）＝　　 ．
14．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数．
①； ②．
（2）约分：
①； ②．
15．化简下列分式：
（1）； （2）．
16．约分：
（1）； （2）．
17．在下列分式中，若a，b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
18．在分式，，，中，最简分式有　　 个．
19．已知x＞2，代数式A＝2x+4，B＝x2﹣4．
（1）因式分解A；
20．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．
（1） （2）．
21．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正．
甲：a为何值时，分式有意义？
解：∵原式＝，
∴当a≠3时，分式有意义．
乙：代数式是分式还是整式？
解：∵原式＝x﹣2，故是整式．
丙：化简分式．
解：．
22．因为＝﹣2，所以a＝﹣2b（第一步）
所以＝＝＝．（第二步）
（1）回答问题：
①第一步运用了 　 　 的基本性质；
②第二步的解题过程运用了 　 　 的方法，＝是对分式进行了 　 　 ．
（2）模仿材料解答：已知＝＝≠0，求的值．
23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 　　 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 　　 ；
（3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果 　 　 ．
m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n．
24．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 　 　 （填序号）；
①；②；③．
（2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值；
（3）若分式的“巧整式”为1﹣x．
①求整式A．
②是“巧分式”吗？
答案与解析
1．根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【解析】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意；
B．，故原选项错误，不符合题意；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确，符合题意；
D．，故原选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用分式的性质即可求得答案．
【解析】解：＝＝﹣，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
3．下列各式中的变形，错误的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解析】解：A、＝﹣，故A不符合题意；
B、≠，故B符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【点拨】可将式中的x，y都用2x，2y来表示，再将后来的式子与原式对比，即可得出答案．
【解析】解：＝＝，因此分式的值不变．
故选：B．
【点睛】此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
5．下列分式从左到右变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用分式的基本性质逐项判断即可．
【解析】解：，则A不符合题意，
无法约分，则B不符合题意，
当b＝0时，＝，则C不符合题意，
，则D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
6．下列分式中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质逐个进行化简，即可得出结论．
【解析】解：A、C、D都不能进行化简，即不会与相等，故不合题意，
B、，故B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
7．下列各式中的最简分式是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．
【解析】解：A、＝，此选项不符合题意；
B、＝，此选项不符合题意；
C、＝，此选项不符合题意；
D、是最简分式，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
8．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解析】解：（A）原式＝﹣＝﹣1，故A错误；
（B）原式＝＝，故B错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查分式基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9．下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简分式的定义进行判断即可．
【解析】解：A、不是最简分式，所以A选项不符合题意；
B．不是最简分式，所以B选项不符合题意；
C．，是最简分式，所以C选项符合题意；
D．不是最简分式，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式．
10．化简：＝（　　）
A．﹣4x B． C． D．x+4
【点拨】根据完全平方公式和平方差公式变形约分化简．
【解析】解：
＝
＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，平方差公式的运用，熟练掌握以上知识点是关键．
11．利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
【点拨】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解析】解：（1）＝（a≠0）；
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
12．填空：．
【点拨】先把分子分母因式分解，从而可得到公因式为3x，然后根据分式的基本性质分子分母都除以3x即可．
【解析】解：＝＝．
故答案为：2x．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
13．化简：
（1）＝　　 ； （2）＝　x﹣2　 ； （3）＝　　 ．
【点拨】根据约分的法则计算即可．
【解析】解：（1）＝；
（2）＝＝x﹣2；
（3）＝＝；
故答案为：；x﹣2；．
【点睛】本题考查了约分，熟练掌握约分的法则是解题的关键．
14．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数．
①； ②．
（2）约分：
①； ②．
【点拨】（1）①把分子分母都乘以10即可；
②把分子分母都乘以2即可；
（2）①约分公因式﹣4a2b即可；
②把分子分母因式分解，然后约去公因式（a+1）即可．
【解析】解：（1）①＝；
②＝；
（2）①＝；
②＝＝．
【点睛】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键．
15．化简下列分式：
（1）； （2）．
【点拨】（1）根据分式的约分的方法可以化简本题；
（2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题．
【解析】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法．
16．约分：
（1）； （2）．
【点拨】（1）先把分子分母因式分解，然后约去公因式（m﹣4）即可；
（2）先把分子分母因式分解，然后约去公因式（x﹣2）即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝．
【点睛】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
17．在下列分式中，若a，b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用分式的基本性质逐项判断即可．
【解析】解：＝，则将a，b的值都扩大为原来的2倍，分式的值不变，则A符合题意，
＝，则将a，b的值都扩大为原来的2倍，分式的值变了，则B不符合题意，
，则将a，b的值都扩大为原来的2倍，分式的值变了，则C不符合题意，
＝，则将a，b的值都扩大为原来的2倍，分式的值变了，则D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
18．在分式，，，中，最简分式有　2　 个．
【点拨】根据最简分式的定义解答即可．
【解析】解：，不是最简分式，不符合题意；
，不是最简分式，不符合题意；
，不能继续化简，是最简分式，符合题意，
∴最简分式有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查最简最简分式，熟知最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式是解题的关键．
19．已知x＞2，代数式A＝2x+4，B＝x2﹣4．
（1）因式分解A；
（2）化简分式．
【点拨】（1）利用提公因式法解答；
（2）先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
【解析】解：（1）A＝2x+4＝2（x+2）；
（2）＝
＝
＝．
【点睛】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
20．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．
（1） （2）．
【点拨】（1）根据分式的基本性质，进行计算即可解答；
（2）根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解析】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
21．下面是三位同学学完分式后所做的三道题，请判断他们的解答是否正确，若不正确，给予改正．
甲：a为何值时，分式有意义？
解：∵原式＝，
∴当a≠3时，分式有意义．
乙：代数式是分式还是整式？
解：∵原式＝x﹣2，故是整式．
丙：化简分式．
解：．
【点拨】根据分式有意义的条件可对甲同学的解答进行判断；根据分式的定义可对同学的解答进行判断；根据约分可对丙同学的解答进行判断．
【解析】解：a为何值时，分式有意义？
根据题意，得a2﹣9＝0，
解得a≠3且a≠﹣3，
即当a≠3且a≠﹣3时，分式有意义；所以甲同学的解答错误；
代数式是分式，所以乙同学的解答错误；
化简分式，
原式＝
＝﹣，所以丙同学的解答错误．
【点睛】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．确定公因式是解决问题的关键．
式法、提公因式法分解因式是解题的关键．
22．因为＝﹣2，所以a＝﹣2b（第一步）
所以＝＝＝．（第二步）
（1）回答问题：
①第一步运用了 　等式　 的基本性质；
②第二步的解题过程运用了 　代入　 的方法，＝是对分式进行了 　约分　 ．
（2）模仿材料解答：已知＝＝≠0，求的值．
【点拨】（1）根据等式的基本性质进行解答即可；
（2）令＝＝＝k，再用k表示出x、y、z的值，代入分式进行计算即可．
【解析】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质；
②第二步的解题过程运用了代入的方法，由得，是对分式进行了约分．
故答案为：①等式；②代入，约分；
（2）∵＝＝≠0，
∴令＝＝＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，
∴原式＝＝＝．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是 　②　 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值 　4　 ；
（3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果 　或　 ．
m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n．
【点拨】（1）根据“和谐分式”的定义判断即可；
（2）分a＝4、a＝5两种情况，根据“和谐分式”的定义判断；
（3）根据“和谐分式”的定义判断．
【解析】解：（1）①，分式的分子或分母都不可以因式分解，分式不是“和谐分式”；
②＝，分式的分母可以因式分解，这个分式不可约分，分式是“和谐分式”；
③＝＝，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
④＝＝，分式可以约分，分式不是“和谐分式”；
故答案为：②；
（2）当a＝4时，＝，分式是“和谐分式”；
当a＝5时，＝＝，分式不是“和谐分式”；
∴a的值是4，
故答案为：4；
（3）m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），m2+2mn+n2＝（m+n）2，
∴m2﹣n2不能作分子或分母，
∴构造的“和谐分式”是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是分式的约分、“和谐分式”的定义，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
24．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 　①③　 （填序号）；
①；②；③．
（2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值；
（3）若分式的“巧整式”为1﹣x．
①求整式A．
②是“巧分式”吗？
【点拨】（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【解析】解：（1）∵，2x﹣3是整式，
∴①是“巧分式”；
∵，不是整式，
∴②不是“巧分式”；
∵，x﹣y是整式，
∴③是“巧分式”；
故答案为：①③；
（2）∵分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，
∴（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m，
∴x2﹣4x﹣21＝x2﹣4x+m，
∴m＝﹣21；
（3）①∵分式的“巧整式”为1﹣x．
∴，
∴，即A＝2x2+2x；
②∵，
又x+1是整式，
∴是“巧分式”．
【点睛】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)