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第5章 分式 单元综合复习提优卷
一、单选题
1．对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义
C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数
2．分式的值为，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
3．分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．5 D．3
5．下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
8．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自2017年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%．该市林老师家2016年12月份的水费是18元，而2017年1月份的水费是36元，且已知林老师家2017年1月份的用水量比2016年12月份的用水量多6m3．求该市去年的居民用水价格？设去年的居民用水价格x元/m3，则所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ =6 B． ﹣ =6
C． ﹣ =6 D． ﹣ =6
10．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
二、填空题
11．如果分式 的值是0，则a的值是 ．
12．已知 则的值为．
13．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 元．
14．若关于x的分式方程有增根，则m＝ ．
15．分式方程： 的解为 ．
16．若分式有意义，则a的取值范围是 ．
三、综合题
17．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，求树苗基地每捆A种树苗的价格．（用方程解决问题）
18．宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A花木数量比B花木数量的2倍少600棵.
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务
19．在农村产业结构调整后，某村民今年种植了粮食和蔬菜，产值分别是40000元和60000元，已知该村民种植蔬菜比种植粮食少20亩，且蔬菜每亩的产值是粮食每亩产值的2倍．
（1）问该村民今年种植蔬菜和粮食分别有多少亩？
（2）若该村民想让明年蔬菜的产值变为粮食产值的1.2倍，则需把 亩蔬菜改种粮食．
20．2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷酒农药技术，无人机喷酒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷酒的农田面积与常规喷药並用药喷酒的农田面积相同．求无人机喷酒农药时，平均每亩地的用药量．
21．从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母：
（1）一共能得到多少个不同的分式？写出它们．
（2）上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．
22．今年，为保障国内28纳米的汽车芯片的需求，中芯国际开启“加速”模式，生产效率每天比原先提高了，原先生产4200万块芯片所用时间比现在生产同样多芯片所用时间多14天．问现在每天生产多少万块芯片？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格横线内容补充完整．
时间 原先 现在
生产总量/万块 4200 4200
每天生产量/万块 __________
（2）【建模解答】
请你完整解答本题．
23．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
24．列方程解应用题：为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”公益活动登录某市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批“共享单车”包括A，B两种不同款型，请回答下列问题：
（1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，投放相同数量的A，B两种款型“共享单车”，投放成本分别是35000元和40000元，其中B型单车的成本单价比A型单车高40元，A，B两种单车的成本单价各是多少？
（2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放5a辆“共享单车”，乙街区每1000人投放8a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放750辆，乙街区共投放600辆．如果两个街区共有75000人，试求a的值．
25．为庆祝 “六一儿童节，小华准备购买纪念品送给同学，他选定了购买课外读物和水彩笔两种纪念品． 若购买 5 本课外读物和 5 盒水彩笔， 则共需 150 元；若购买 1 本课外读物和 9 盒水彩笔， 则共需 126 元．
（1）求每本课外读物和每盒水彩笔各需多少元？
（2） 儿童节期间， 该商店举行让利促销活动， 课外读物和水彩笔均以相同折扣进行销售，小华同学发现用 144 元购买课外读物的本数比购买水彩笔的盒数少 5 ．
①求商店本次活动对课外读物和水彩笔打几折销售？
②小华决定在这次让利促销活动中同时购买课外读物和水彩笔， 并恰好用完 144 元，求小华有哪几种购买方案选择？
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第5章 分式 单元综合复习提优卷
一、单选题
1．对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义
C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数
【答案】A
2．分式的值为，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】【解答】解：分式的值为，
且，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据分式值为0，有意义的条件即可求出答案.
3．分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：分式 可变形为 ；
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质变形求解即可。
4．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．-2 B．2 C．5 D．3
【答案】B
【解析】【解答】 ，
方程两边同时乘以x-5得3-x+m=0，
∵分式方程 有增根，
∴x-5=0，即x=5，
当x=5时，3-5+m=0，
解得：m=2．
故答案为：B．
【分析】先去分母，化成整式方程，根据分式方程 有增根可得x=5，代入整数方程，求出m的值即可．
5．下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项正确；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用积的乘方法则，可对A作出判断；利用负整数指数幂的法则，可对B作出判断；再利用单项式除以单项式的法则，可对C作出判断；利用分式的基本性质，可对D作出判断.
6．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【解析】【解答】解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得： ，
∵分式方程的解为正数，
∴，
∴
∴，
又∵关于x的分式方程有意义
∴，
∴，
∴，
综上：且，
故答案为：B．
【分析】
本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键．解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据解分式方程的步骤解出x的值，再结合方程的解大于零，和分式方程有意义的条件：分母≠0，列出关于m的不等式，解出m的范围即可得出答案．
8．有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：第一块试验田的面积为： ，第二块试验田的面积为： ．方程应该为： ．故答案为：C．
【分析】根据题意可得等量关系：第一块试验田的面积=第二块试验田的面积。
9．为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自2017年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%．该市林老师家2016年12月份的水费是18元，而2017年1月份的水费是36元，且已知林老师家2017年1月份的用水量比2016年12月份的用水量多6m3．求该市去年的居民用水价格？设去年的居民用水价格x元/m3，则所列方程正确的是（ ）
A． ﹣ =6 B． ﹣ =6
C． ﹣ =6 D． ﹣ =6
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：B．
【分析】设去年的居民用水价格x元/m3，根据林老师家2017年1月份的用水量比2016年12月份的用水量多6m3列出方程即可。
10．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（ ）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】C
二、填空题
11．如果分式 的值是0，则a的值是 ．
【答案】-7
【解析】【解答】解：∵分式 的值是0，
∴ 且 ≠0，
∴a=-7．
故答案是：-7．
【分析】先求出 且 ≠0，再计算求解即可。
12．已知 则的值为．
【答案】
13．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 元．
【答案】4
【解析】【解答】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元
今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元
∴
整理得x2-x-12=0
解得x=4或x=-3
经检验x=4或-3都是分式方程的解（x=-3不合题意，舍去）．
故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．
故答案为：4．
【分析】设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，根据题意列出方程，再求解即可。
14．若关于x的分式方程有增根，则m＝ ．
【答案】-2
【解析】【解答】解： 分式方程，
去分母得：，
∵分式方程有增根，
∴x-1=0，
∴x=1，
∴，
解得：m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据分式方程有增根求出x=1，再求出，最后求解即可。
15．分式方程： 的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：方程两边都乘以x 3，得：x 2= 2 (x 3)，
解得：x= ，
检验：当x= 时，x 3= 3= ≠0，
所以分式方程的解为x= ，
故答案为：x= ．
【分析】先去分母，再利用整式方程的计算方法求解即可。
16．若分式有意义，则a的取值范围是 ．
【答案】a≠﹣1
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，解得a≠﹣1．
故答案为：a≠﹣1．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
三、综合题
17．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种树苗的价格是树苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，求树苗基地每捆A种树苗的价格．（用方程解决问题）
【答案】树苗基地每捆A种树苗的价格为元
18．宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A花木数量比B花木数量的2倍少600棵.
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务
【答案】（1）解：设B花木的数量为x棵，则A花木的数量是(2x-600)棵，由题意，得x+2x-600=6 600.
解得x=2 400，则2x-600=4 200.
答：B花木的数量为2 400棵，A花木的数量为4 200棵
（2）解：设安排a人种植A花木，由题意，得
= .
解得a=14.
经检验，a=14是原分式方程的解，且符合题意.
则26-a=26-14=12.
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务
【解析】【分析】（1）设B花木的数量为x棵，则A花木的数量是(2x-600)棵，根据广场内种植A，B两种花木共6 600棵，列出方程求解即可；
（2）设安排a人种植A花木，则应安排（26-a）人种植B种花木，每天可种植A中花木60a棵，每天可种植B种花木40（26-a）棵，种植A种花木需要的时间是天，种植B种数目需要的时间为 天，根据种植两种花木所用得出时间相等列出方程，求解并检验即可。
19．在农村产业结构调整后，某村民今年种植了粮食和蔬菜，产值分别是40000元和60000元，已知该村民种植蔬菜比种植粮食少20亩，且蔬菜每亩的产值是粮食每亩产值的2倍．
（1）问该村民今年种植蔬菜和粮食分别有多少亩？
（2）若该村民想让明年蔬菜的产值变为粮食产值的1.2倍，则需把 亩蔬菜改种粮食．
【答案】（1）解：根据题意，设该村民今年种植蔬菜亩，种植粮食亩，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴种植粮食：（亩）
∴该村民今年种植蔬菜60亩，种植粮食80亩；
（2）7.5
【解析】【解答】（2）解：每亩蔬菜的产值为：元；
每亩粮食的产值为：元；
该村民想让明年蔬菜的产值变为粮食产值的1.2倍，设需把亩蔬菜改种粮食，则
，
解得：，
∴需把7.5亩蔬菜改种粮食；
故答案为：7.5
【分析】（1）设该村民今年种植蔬菜亩，种植粮食亩，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设需把亩蔬菜改种粮食，根据题意可列出方程，再求解即可。
20．2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷酒农药技术，无人机喷酒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷酒的农田面积与常规喷药並用药喷酒的农田面积相同．求无人机喷酒农药时，平均每亩地的用药量．
【答案】
21．从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母：
（1）一共能得到多少个不同的分式？写出它们．
（2）上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果．
【答案】（1）解：一共能得到6个不同的分式：
①，②，③，④，⑤，⑥．
（2）解：①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
综上可知，③④能化为整式，得：
【解析】【分析】（1）分母中含有字母的式子就是分式，根据定义任取2个均可构成分式，据此即可得出答案；
（2）将各个分式的分子、分母分别分解因式后再约分化为最简，进而根据分母中不含字母的式子就是整式进行判断，即可解答.
22．今年，为保障国内28纳米的汽车芯片的需求，中芯国际开启“加速”模式，生产效率每天比原先提高了，原先生产4200万块芯片所用时间比现在生产同样多芯片所用时间多14天．问现在每天生产多少万块芯片？
（1）【分析交流】
某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格横线内容补充完整．
时间 原先 现在
生产总量/万块 4200 4200
每天生产量/万块 __________
（2）【建模解答】
请你完整解答本题．
【答案】（1）
（2）现在每天生产150万块芯片
23．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，为庆祝元旦，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
【答案】（1）解：设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得： =10，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x=280．
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
（2）解：设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100-m）盒，
依题意，得：
（300-200）× +（300×0.7-200）× +（400-280）× +（400×0.7-280）× =5800，
解得：m=40，
∴100-m=60．
答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒
【解析】【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100-m）盒，根据总利润=每盒的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
24．列方程解应用题：为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”公益活动登录某市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享单车”，这批“共享单车”包括A，B两种不同款型，请回答下列问题：
（1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，投放相同数量的A，B两种款型“共享单车”，投放成本分别是35000元和40000元，其中B型单车的成本单价比A型单车高40元，A，B两种单车的成本单价各是多少？
（2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放5a辆“共享单车”，乙街区每1000人投放8a辆“共享单车”，按照这种投放方式，甲街区共投放750辆，乙街区共投放600辆．如果两个街区共有75000人，试求a的值．
【答案】（1）解：设A种单车的成本单价是 元，则B种单车的成本单价是 元，根据题意得，
解这个分式方程得，
经检验， 是原方程的根，
则 （元），
答：A种单车的成本单价是280元，则B种单车的成本单价是320元．
（2）解：根据题意得，甲街区的人数为： ，
乙街区的人数为： ，
经检验， 是原方程的根，
答：如果两个街区共有75000人， 的值为3
【解析】【分析】（1） 设A种单车的成本单价是 元，则B种单车的成本单价是 元，根据题意列方程解答即可；
（2）甲街区共投放750辆，乙街区共投放600辆． 根据题意，分别解得甲、乙街区的人数，再结合 两个街区共有75000人， 列方程解答即可。
25．为庆祝 “六一儿童节，小华准备购买纪念品送给同学，他选定了购买课外读物和水彩笔两种纪念品． 若购买 5 本课外读物和 5 盒水彩笔， 则共需 150 元；若购买 1 本课外读物和 9 盒水彩笔， 则共需 126 元．
（1）求每本课外读物和每盒水彩笔各需多少元？
（2） 儿童节期间， 该商店举行让利促销活动， 课外读物和水彩笔均以相同折扣进行销售，小华同学发现用 144 元购买课外读物的本数比购买水彩笔的盒数少 5 ．
①求商店本次活动对课外读物和水彩笔打几折销售？
②小华决定在这次让利促销活动中同时购买课外读物和水彩笔， 并恰好用完 144 元，求小华有哪几种购买方案选择？
【答案】（1）解：设每本课外读物x元，每盒水彩笔y元，
由题意得，
解得，
答：每本课外读物18元，每盒水彩笔12元；
（2）解：①商店本次活动对课外读物和水彩笔打a折销售，
由题意得，
解得a=8，
经检验a=8是原方程的根，且适合题意；
答： 商店本次活动对课外读物和水彩笔打8折销售 ；
②设小华购买水彩笔m盒，课外读物n本，
由题意得12×0.8m+18×0.8n=144，
整理得2m+3n=30，
∵m、n都为正整数，
∴或或或，
∴小华共有4种购买方案：
第一种方案：购买水彩笔3盒，购买课外读物8本；
第二种方案：购买水彩笔6盒，购买课外读物6本；
第三种方案：购买水彩笔9盒，购买课外读物4本；
第四种方案：购买水彩笔12盒，购买课外读物2本.
【解析】【分析】（1）设每本课外读物x元，每盒水彩笔y元，根据“ 购买5本课外读物和5盒水彩笔， 则共需150元；若购买1本课外读物和9盒水彩笔， 则共需126元 ”列出方程组，求解即可；
（2）①商店本次活动对课外读物和水彩笔打a折销售，根据售价=标价×折扣率分别表示出水彩笔每盒的售价及课外读物每本的售价；由数量等于总价÷单价分别表示出用144元购买水彩笔的数量及课外读物的数量，最后由“ 用144元购买课外读物的本数比购买水彩笔的盒数少5”建立方程，求解并检验可得答案；
②设小华购买水彩笔m盒，课外读物n本，根据“购买m盒水彩笔的费用+购买n本课外读物的费用=144”列出二元一次方程，再求出其正整数解即可.
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