《整式的乘除》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七下·江北期末）若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：
=…
∵
由此可知：个位数字每4个一次循环
∴32÷4=8
故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7.
故选：B.
【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7.
2．（2024七下·拱墅期末）如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a，的正方形，若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵空白部分的面积与阴影部分的面积相等，
∴ a2+b2=(a+b)(a+x)-a2-b2，解得，；
故答案为：B.
【分析】根据空白部分的面积与阴影部分的面积相等，列方程求解即可；
3．（2024七下·浦江期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，
∴正方形①的边长为，正方形⑤的边长为，正方形④的边长为，
∴长方形②的长为，长方形③的短边为，长边长为，
∴正方形①的周长为：；
长方形②的周长为：；
长方形③的周长为：；
正方形④的周长为：；
正方形⑤的周长为：；
∴①和②的周长之差为：；
①和④的周长之差为：；
③和④的周长之差为：；
④和⑤的周长之差为：；
∴若已知正方形⑥的边长，可得①和④，③和④，④和⑤的周长之差，共3对，
故答案为：C .
【分析】设正方形⑥的边长为a，长方程②的短边为b，分别用含a、b的式子表示出①③④⑤的边长，结合正方形，长方形的性质及周长的计算方法得出①和②；①和④；③和④；④和⑤的周长之差，由此即可求解．
4．（2024七下·海曙期末） 如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 ，图 2 中阴影部分面积为 . 当 时， 的值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形中边AB=m，AD=n，
在图1中，；
在图2中，；
，
∵AB-AD=3，
∴m-n=3，
，
故答案为：D．
【分析】设AB=m，AD=n，再用a、b、m、n的代数式表示S1和S2，再求出S1-S2，化简后整体代入计算即可。
5．（2024七下·义乌期末）如图， 有三张边长分别为 的正方形纸片 ， 将三张纸片按图 1， 图 2 两种不同方式放置于同一长方形中. 记图 1 中阴影部分周长为 ， 面积为 ；图 2 中阴影部分周长为 ， 面积为 . 若 ， 则 与 满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由图1可知：长方形的长为（a+b）、宽为（a+c），
∴L1=(a+b-c)+c+(a-c)+(a-b)+b+(a+c-b)=4a，
S1=（a+b）（a+c）-a2-b2-c2=ab+ac+bc-b2-c2，
由图2可知：
L2=2a+2c+2b+2(a+c-b)=4(a+c)，
S2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+ac+2bc-b2-2c2，
∴S2-S1=ab+ac+2bc-b2-2c2-(ab+ac+bc-b2-c2)=bc-c2，
L2-L1=4c，
∵，
∴，
整理可得：3b=7c.
故答案为：c .
【分析】观察图1和图2，根据图中阴影部分的构成，可用含a、b、c的代数式将L1、L2、S1、S2表示出来，求出S2-S1、L2-L1的值，然后代入已知的等式，整理可求解.
6．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
7．（2024八上·南开期末）学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示．
则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景；整式的混合运算；数形结合
【解析】【解答】解：A、方案一：如图1，，故此选项不符合题意；
B、方案二：如图2，，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】由S1=边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积及正方形面积计算公式表示出S1，从而即可判断A选项；由S2=长为a+b、宽为a-b的矩形面积减去边长为b的正方形面积及长方形及正方形面积计算公式表示出S2，从而即可判断B选项；求出S1与S2的比值，即可判断C选项；根据整式减法运算求出S1与S2的差，即可判断D选项.
8．（2024七下·吴兴期末）今天是 6 月 28 日，小吴用如图(1)所示的三张长方形纸片分别剪出数字 (如图 (2)(3)(4)，剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形 (所有长方形的宽度相等）。小吴用其中一个白色长方形和数字 8 中的黑色长方形拼成图形(5)， 将数字 6 中剪去的两部分 拼成长方形 (6)， 经过测量和计算， 小是发现长方形(6)的周长恰好是图形(5)的周长的 2 倍， 则黑色长方形中长与宽的比是（ ）
A．11： 3 B． C．7： 2 D．4： 1
【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为，宽为，
∴⑤的周长为，
⑥的长为，宽为，
∴⑥的周长为，
又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴，即，
∴黑色长方形中长与宽的比是，
故答案为：B．
【分析】设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可．
9．（2024七下·越城期末） 我国南宋时期杰出的数学家杨辉 (钱塘 (今杭州) 人)， 下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的 “杨辉三角”.
此图揭示了 ( 为非负整数) 的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 天是星期几 ( )
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
二、填空题
10．（2024七下·鄞州期末） 对正整数 ，规定 ，记 ，若正整数 使得 ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 的值 .
【答案】24
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： =1×2×3×4×5×......×24×1！×2！×3!×......×23!，
∵ ! 为完全平方数，
∴K！能被24整除，
∴K的最小值为24.
故答案为：24.
【分析】根据新定义以及完全平方数的定义进行分析，即可得出答案.
11．（2024七下·余姚期末）将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为S1，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为S2，周长为.若=48，ab＝13，则S1+S2=. .
【答案】77
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由图可知：，
，
∵=6b-2a
∴=6a-6b=48
∴a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝64+13＝77；
【分析】先计算出S1，S2，l1，l2，根据完全平方公式变形计算S1+S2的值，正确理解图形及掌握完全平方公式是解题的关键．
12．（2024七下·慈溪期末） 将三张边长分别为 的正方形纸片 按图 1，图 2 两种不同方式摆放于两个长方形中. 设图 1 中的阴影部分周长为 ，面积为 ，图 2 中的阴影部分周长为 ，面积为 .若 ，则 .
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意，求出C1，C2，S1，S2的值，再由得，从而利用平方差公式进行化简，得，即可求解.
13．（2024七下·浦江期末）如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则：
（1）由可列等式： + ；
（2）若，那么与之间的数量关系是 ．
【答案】；；
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，
（1），
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：（1）；；（2） ．
【分析】（1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解；
（2）列出面积关系等式，运用乘法公式变形即可得到与之间的数量关系.
14．（2024七下·鄞州期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
⑴最小的“如意数”是 ；
⑵把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为，M与N的差记为，若能被11整除，则A的值为 ．
【答案】165；1088
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可；
（2）设两位数M和N的十位数字均为m，M的个位数字为n，则N的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，从而可得M=10m+n，N=10m+6-n，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得n为5或者4 ，然后根据能被11整除，分别求出m、m的值，由此即可得．
三、解答题
15．（2024七下·石家庄期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
（2）请直接写出三个代数式：， ，之间的一个等量关系 .
（3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值.
②已知，求.
【答案】（1），
（2）
（3）1，3，2
（4）解：①根据（2）题可得，
∵，，
∴
∴，
；
②设，，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴，
∴，
由，得
∴，
即，
整理，得，即
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴，
故答案为：；
（3）拼图如下：
观察图形可得：需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；
（2）由（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；
（3）先画长为，宽为的矩形，再将该图形纵向分割成长为a、b、b的三个小矩形，进而再横向分割成长为a、b的两个矩形，观察图形可得答案；
（4）①利用和，然后整体代入计算即可；
②设m=x-021，n=x-023，则m-n=2，利用m2+n2=(m+n)2-2mn可求出2mn的值，再由(m+n)2=m2+n2+2mn求出(m+n)2的值，最后把m、n还原后求解即可.
16．（2024七下·越城期末）对于一个图形， 用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式： 如图1可得等式；如图2可得等式：；现用四个长与宽分别为 的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出 这三个代数式之间的等量关系式
（2）【解决问题】
①若 ，则 ▲ .
②当时，求的值.
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， 三点在同一条直线上， 连结.若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积.
【答案】（1）解：
（2）解：令
设
由(1)可知：
（3）解：
【知识点】完全平方公式的几何背景
17．（2024七下·慈溪期末） 小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式 进行因式分解. 小磊认为该整式一定有一个因式 ，小轩认为必有因式是 ，两人找到老师寻求帮助. 老师提供了一个方法： 因式分解是整式乘法的逆运算. 若整式 能被整式 整除，则 必为 的一个因式. 老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
（2）已知多项式 的其中一个因式为 ，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式 进行因式分解；
（3） 若多项式 能因式分解成 与另一个完全平方式，求 与 的值.
【答案】（1）小磊
（2）解：由短除法可得，
根据题意得；
（3）解： 由短除法可得，
根据题意得，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴n=m+4，m+4=4，
∴m=0，n=4.
【知识点】因式分解的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，
∴小磊的说法正确，
故答案为：小磊.
【分析】（1）根据题意将所求多项式进行因式分解，即可求解；
（2）根据题目中的方法求出即可；
（3）根据题目中的方法求出，从而有n=m+4，再根据完全平方式的定义得m+4=4，即可求出m、n的值.
1 / 1《整式的乘除》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七下·江北期末）若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
2．（2024七下·拱墅期末）如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a，的正方形，若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·浦江期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2024七下·海曙期末） 如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 ，图 2 中阴影部分面积为 . 当 时， 的值为 ( )
A． B． C． D．
5．（2024七下·义乌期末）如图， 有三张边长分别为 的正方形纸片 ， 将三张纸片按图 1， 图 2 两种不同方式放置于同一长方形中. 记图 1 中阴影部分周长为 ， 面积为 ；图 2 中阴影部分周长为 ， 面积为 . 若 ， 则 与 满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．（2024八上·南开期末）学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；具体数据如图所示．
则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·吴兴期末）今天是 6 月 28 日，小吴用如图(1)所示的三张长方形纸片分别剪出数字 (如图 (2)(3)(4)，剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形 (所有长方形的宽度相等）。小吴用其中一个白色长方形和数字 8 中的黑色长方形拼成图形(5)， 将数字 6 中剪去的两部分 拼成长方形 (6)， 经过测量和计算， 小是发现长方形(6)的周长恰好是图形(5)的周长的 2 倍， 则黑色长方形中长与宽的比是（ ）
A．11： 3 B． C．7： 2 D．4： 1
9．（2024七下·越城期末） 我国南宋时期杰出的数学家杨辉 (钱塘 (今杭州) 人)， 下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的 “杨辉三角”.
此图揭示了 ( 为非负整数) 的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 天是星期几 ( )
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
二、填空题
10．（2024七下·鄞州期末） 对正整数 ，规定 ，记 ，若正整数 使得 ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 的值 .
11．（2024七下·余姚期末）将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为S1，周长为再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为S2，周长为.若=48，ab＝13，则S1+S2=. .
12．（2024七下·慈溪期末） 将三张边长分别为 的正方形纸片 按图 1，图 2 两种不同方式摆放于两个长方形中. 设图 1 中的阴影部分周长为 ，面积为 ，图 2 中的阴影部分周长为 ，面积为 .若 ，则 .
13．（2024七下·浦江期末）如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则：
（1）由可列等式： + ；
（2）若，那么与之间的数量关系是 ．
14．（2024七下·鄞州期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
⑴最小的“如意数”是 ；
⑵把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为，M与N的差记为，若能被11整除，则A的值为 ．
三、解答题
15．（2024七下·石家庄期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1： ；
方法2： .
（2）请直接写出三个代数式：， ，之间的一个等量关系 .
（3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张.
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值.
②已知，求.
16．（2024七下·越城期末）对于一个图形， 用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式： 如图1可得等式；如图2可得等式：；现用四个长与宽分别为 的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出 这三个代数式之间的等量关系式
（2）【解决问题】
①若 ，则 ▲ .
②当时，求的值.
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， 三点在同一条直线上， 连结.若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积.
17．（2024七下·慈溪期末） 小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式 进行因式分解. 小磊认为该整式一定有一个因式 ，小轩认为必有因式是 ，两人找到老师寻求帮助. 老师提供了一个方法： 因式分解是整式乘法的逆运算. 若整式 能被整式 整除，则 必为 的一个因式. 老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
（2）已知多项式 的其中一个因式为 ，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式 进行因式分解；
（3） 若多项式 能因式分解成 与另一个完全平方式，求 与 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：
=…
∵
由此可知：个位数字每4个一次循环
∴32÷4=8
故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7.
故选：B.
【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7.
2．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵空白部分的面积与阴影部分的面积相等，
∴ a2+b2=(a+b)(a+x)-a2-b2，解得，；
故答案为：B.
【分析】根据空白部分的面积与阴影部分的面积相等，列方程求解即可；
3．【答案】C
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，
∴正方形①的边长为，正方形⑤的边长为，正方形④的边长为，
∴长方形②的长为，长方形③的短边为，长边长为，
∴正方形①的周长为：；
长方形②的周长为：；
长方形③的周长为：；
正方形④的周长为：；
正方形⑤的周长为：；
∴①和②的周长之差为：；
①和④的周长之差为：；
③和④的周长之差为：；
④和⑤的周长之差为：；
∴若已知正方形⑥的边长，可得①和④，③和④，④和⑤的周长之差，共3对，
故答案为：C .
【分析】设正方形⑥的边长为a，长方程②的短边为b，分别用含a、b的式子表示出①③④⑤的边长，结合正方形，长方形的性质及周长的计算方法得出①和②；①和④；③和④；④和⑤的周长之差，由此即可求解．
4．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形中边AB=m，AD=n，
在图1中，；
在图2中，；
，
∵AB-AD=3，
∴m-n=3，
，
故答案为：D．
【分析】设AB=m，AD=n，再用a、b、m、n的代数式表示S1和S2，再求出S1-S2，化简后整体代入计算即可。
5．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由图1可知：长方形的长为（a+b）、宽为（a+c），
∴L1=(a+b-c)+c+(a-c)+(a-b)+b+(a+c-b)=4a，
S1=（a+b）（a+c）-a2-b2-c2=ab+ac+bc-b2-c2，
由图2可知：
L2=2a+2c+2b+2(a+c-b)=4(a+c)，
S2=b(a+c-b)+c(b-c)+c(a-c)=ab+ac+2bc-b2-2c2，
∴S2-S1=ab+ac+2bc-b2-2c2-(ab+ac+bc-b2-c2)=bc-c2，
L2-L1=4c，
∵，
∴，
整理可得：3b=7c.
故答案为：c .
【分析】观察图1和图2，根据图中阴影部分的构成，可用含a、b、c的代数式将L1、L2、S1、S2表示出来，求出S2-S1、L2-L1的值，然后代入已知的等式，整理可求解.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
7．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景；整式的混合运算；数形结合
【解析】【解答】解：A、方案一：如图1，，故此选项不符合题意；
B、方案二：如图2，，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】由S1=边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积及正方形面积计算公式表示出S1，从而即可判断A选项；由S2=长为a+b、宽为a-b的矩形面积减去边长为b的正方形面积及长方形及正方形面积计算公式表示出S2，从而即可判断B选项；求出S1与S2的比值，即可判断C选项；根据整式减法运算求出S1与S2的差，即可判断D选项.
8．【答案】B
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为，宽为，
∴⑤的周长为，
⑥的长为，宽为，
∴⑥的周长为，
又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，
∴，即，
∴黑色长方形中长与宽的比是，
故答案为：B．
【分析】设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可．
9．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
10．【答案】24
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： =1×2×3×4×5×......×24×1！×2！×3!×......×23!，
∵ ! 为完全平方数，
∴K！能被24整除，
∴K的最小值为24.
故答案为：24.
【分析】根据新定义以及完全平方数的定义进行分析，即可得出答案.
11．【答案】77
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】由图可知：，
，
∵=6b-2a
∴=6a-6b=48
∴a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝64+13＝77；
【分析】先计算出S1，S2，l1，l2，根据完全平方公式变形计算S1+S2的值，正确理解图形及掌握完全平方公式是解题的关键．
12．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意，求出C1，C2，S1，S2的值，再由得，从而利用平方差公式进行化简，得，即可求解.
13．【答案】；；
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，
（1），
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：（1）；；（2） ．
【分析】（1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解；
（2）列出面积关系等式，运用乘法公式变形即可得到与之间的数量关系.
14．【答案】165；1088
【知识点】整式的加减运算；整式的大小比较
【解析】【解答】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：，
故答案为：；
（2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，
，，
，，
∵，自然数A的个位数字不为0，
∴，
解得：，
∴为5 、4或者3，
∵，
∴，
∴为5或者4 ，
，即的分子是奇数，
当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，，
能被11整除，且m为1至9的自然数，
满足条件的整数只有3，
，
即，
故答案为：1088．
【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可；
（2）设两位数M和N的十位数字均为m，M的个位数字为n，则N的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，从而可得M=10m+n，N=10m+6-n，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得n为5或者4 ，然后根据能被11整除，分别求出m、m的值，由此即可得．
15．【答案】（1），
（2）
（3）1，3，2
（4）解：①根据（2）题可得，
∵，，
∴
∴，
；
②设，，
∵，
∴，
又∵，
∵
∴，
∴，
由，得
∴，
即，
整理，得，即
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：，
方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即，
故答案为：，；
（2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的，
∴，
故答案为：；
（3）拼图如下：
观察图形可得：需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片2张.
故答案为：1，3，2；
【分析】（1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可；
（2）由（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案；
（3）先画长为，宽为的矩形，再将该图形纵向分割成长为a、b、b的三个小矩形，进而再横向分割成长为a、b的两个矩形，观察图形可得答案；
（4）①利用和，然后整体代入计算即可；
②设m=x-021，n=x-023，则m-n=2，利用m2+n2=(m+n)2-2mn可求出2mn的值，再由(m+n)2=m2+n2+2mn求出(m+n)2的值，最后把m、n还原后求解即可.
16．【答案】（1）解：
（2）解：令
设
由(1)可知：
（3）解：
【知识点】完全平方公式的几何背景
17．【答案】（1）小磊
（2）解：由短除法可得，
根据题意得；
（3）解： 由短除法可得，
根据题意得，
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴n=m+4，m+4=4，
∴m=0，n=4.
【知识点】因式分解的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，
∴小磊的说法正确，
故答案为：小磊.
【分析】（1）根据题意将所求多项式进行因式分解，即可求解；
（2）根据题目中的方法求出即可；
（3）根据题目中的方法求出，从而有n=m+4，再根据完全平方式的定义得m+4=4，即可求出m、n的值.
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