《整式的乘除》精选压轴题（2）—浙江省七（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七下·鄞州期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（ ）
A．5 B． C． D．
2．（2024七下·钱塘期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．（2024七下·海曙期末）已知把长方形分割成四个小长方形，若已知长方形的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ）
A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形
4．（2024七下·浦江期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2023七下·苍南期末）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·宁波期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③
二、填空题
8．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
9．（2024七下·鄞州期末）已知实数满足，则代数式的值是 ．
10．（2024七下·临海期末）如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形，，无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为，则正方形，的面积之比为 ．
11．（2024七下·越城期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所有符合要求能够拼成的正方形的个数有 个．
12．（2024七下·覃塘期末）如图，数轴上的三点，，表示的数分别是，，，现以，为边，在数轴的同侧作正方形、正方形．若这两个正方形的面积和是，则的面积是 ．
13．（2024七下·临平期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为S，则S可以表示为 ．（用含的代数式表示并化简其结果）
14．（2024七下·诸暨期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．
三、解答题
15．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
16．（2024七下·海曙期末）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式 ；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，都是绝对值不大于2的整数，
的值可能为：，
∴ 4a和4b的值可能为，，1， 4， 16，
∴ 4a+4b的值可能为，，，，，，5， 17， 20，
∴ A，B，C不符合题意，D符合题意.
故选：D．
【分析】根据绝对值可得的值可能为，再根据有理数的乘方运算出 4a和4b的可能值，进而可得4a+4b的可能值.
2．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【分析】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，，，，
把长方形分割成四个小长方形，
，，，，，
，，，，
，
，
已知长方形的面积，
要求阴影部分的面积，还需知道长方形的面积，
故选：D．
【分析】
设，，，，分别表示出，，，，由，即．
4．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图所示，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，
∴正方形①的边长为，正方形⑤的边长为，正方形④的边长为，
∴长方形②的长为，长方形③的短边为，长边长为，
∴正方形①的周长为：；
长方形②的周长为：；
长方形③的周长为：；
正方形④的周长为：；
正方形⑤的周长为：；
∴①和②的周长之差为：；
①和④的周长之差为：；
③和④的周长之差为：；
④和⑤的周长之差为：；
∴若已知正方形⑥的边长，可得①和④，③和④，④和⑤的周长之差，共3对，
故答案为：C ．
【分析】
根据题意，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，分别用含的式子表示出①③④⑤的边长，并求出各图形的周长，在分别求出①和②；①和④；③和④；④和⑤的周长之差，即可比较解答．
5．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：．
【分析】
为便于计算，先设大长方形的宽为，则两个阴影部分的面积和周长，，，均可表示出来，再利用已知的等量关系，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出与的数量关系．
6．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，设小长方形的长为m cm，
由图形得：m+3×5=y，
解得：m=y－15.
∴小长方形的长为：（y-15）cm，故说法①正确，符合题意；
②由图形可得：阴影A的较短边为：x－2×5=（x－10）cm，
阴影B的较短边为：x-（y－15）=（x－y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为：x－10+x－y+15=（2x－y+5）cm，
故说法②错误，不符合题意；
③∵A的较长边为：（y－15）cm，较短边为：（x－10）cm；
B的较长边为：3×5=15cm，较短边为：（x－y+15）cm，
∴阴影A的周长为：cm，
阴影B的周长为：cm，
∴阴影A和阴影B的周长之和为：cm，
∴当y为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为含x的代数式，不是定值，故说法③错误，不符合题意；
④∵A的较长边为：（y－15）cm，较短边为：（x－10）cm；
∴阴影A的面积为：cm2，
∵B的较长边为：3×5=15cm，较短边为：（x－y+15）cm，
∴阴影B的面积为：cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为cm2，
当x=25时，xy-25y+375=375cm2，
故说法④正确，符合题意．
综上所述，正确的说法有①④．
故答案为：B．
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长，于是可判断说法①；②由大长方形的宽及小长方形的长和宽，可得出阴影A，B的较短边长，继而可得两个阴影的较短边之和，于是可判断说法②；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和，结合y为定值可判断说法③；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和，代入x=25，即可判断说法④．
8．【答案】12（答案不唯一）
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
9．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】将，代入式子得到，根据偶次幂的非负性求出x，z的值，进而得出y的值，即可求得．
10．【答案】
【知识点】整式的加减运算；比的应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴长方形②的长为a+b，宽为，
∴正方形C的边长为；长方形①的长为，宽为 ，
长方形①、②的周长之比为，
即 ，
，
，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长之比，得到，即可求出正方形、的面积之比．
11．【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，A正方形的面积为，B长方形的面积为，C正方形的面积为，
∵A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张，从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，
因此有：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
综上所述，符合条件的正方形有6个，
故答案为：6．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
12．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由数轴得，，，
∵，
，
整理得，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示数差的绝对值及正方形四边相等可得出，，然后根据正方形面积计算公式及两个正方形的面积之和是43得出(a+2)2+(7-a)2=43，即a2-5a=-5；最后根据三角形的面积公式列出式子，化简整理后整体代入计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】根据几何图形中的面积关系，知大正方形的面积减去四个直角三角形的面积再减去中间小正方形的面积即可得出阴影图形的面积，列出算式整理计算即可.
14．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得：
，，，
当时，，
，
，
，
，
当，时，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
【分析】根据图形分别表示出，，，题意列出等式，整理化简解题即可．
15．【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
16．【答案】解：（1），
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1），
故答案为：；
【分析】
（1）用两种不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
1 / 1《整式的乘除》精选压轴题（2）—浙江省七（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七下·鄞州期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，都是绝对值不大于2的整数，
的值可能为：，
∴ 4a和4b的值可能为，，1， 4， 16，
∴ 4a+4b的值可能为，，，，，，5， 17， 20，
∴ A，B，C不符合题意，D符合题意.
故选：D．
【分析】根据绝对值可得的值可能为，再根据有理数的乘方运算出 4a和4b的可能值，进而可得4a+4b的可能值.
2．（2024七下·钱塘期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【分析】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
3．（2024七下·海曙期末）已知把长方形分割成四个小长方形，若已知长方形的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（ ）
A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，，，，
把长方形分割成四个小长方形，
，，，，，
，，，，
，
，
已知长方形的面积，
要求阴影部分的面积，还需知道长方形的面积，
故选：D．
【分析】
设，，，，分别表示出，，，，由，即．
4．（2024七下·浦江期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图所示，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，
∴正方形①的边长为，正方形⑤的边长为，正方形④的边长为，
∴长方形②的长为，长方形③的短边为，长边长为，
∴正方形①的周长为：；
长方形②的周长为：；
长方形③的周长为：；
正方形④的周长为：；
正方形⑤的周长为：；
∴①和②的周长之差为：；
①和④的周长之差为：；
③和④的周长之差为：；
④和⑤的周长之差为：；
∴若已知正方形⑥的边长，可得①和④，③和④，④和⑤的周长之差，共3对，
故答案为：C ．
【分析】
根据题意，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，分别用含的式子表示出①③④⑤的边长，并求出各图形的周长，在分别求出①和②；①和④；③和④；④和⑤的周长之差，即可比较解答．
5．（2023七下·苍南期末）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故选：．
【分析】
为便于计算，先设大长方形的宽为，则两个阴影部分的面积和周长，，，均可表示出来，再利用已知的等量关系，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出与的数量关系．
6．（2024七下·义乌期末）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知，长方形的长为，宽为，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，即，
故答案为：C．
【分析】先分别用含a，b，c的式子表示出，，，，求出，，再代入中，化简得出，即可求解.
7．（2024七下·宁波期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，设小长方形的长为m cm，
由图形得：m+3×5=y，
解得：m=y－15.
∴小长方形的长为：（y-15）cm，故说法①正确，符合题意；
②由图形可得：阴影A的较短边为：x－2×5=（x－10）cm，
阴影B的较短边为：x-（y－15）=（x－y+15）cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为：x－10+x－y+15=（2x－y+5）cm，
故说法②错误，不符合题意；
③∵A的较长边为：（y－15）cm，较短边为：（x－10）cm；
B的较长边为：3×5=15cm，较短边为：（x－y+15）cm，
∴阴影A的周长为：cm，
阴影B的周长为：cm，
∴阴影A和阴影B的周长之和为：cm，
∴当y为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为含x的代数式，不是定值，故说法③错误，不符合题意；
④∵A的较长边为：（y－15）cm，较短边为：（x－10）cm；
∴阴影A的面积为：cm2，
∵B的较长边为：3×5=15cm，较短边为：（x－y+15）cm，
∴阴影B的面积为：cm2，
∴阴影A和阴影B的面积之和为cm2，
当x=25时，xy-25y+375=375cm2，
故说法④正确，符合题意．
综上所述，正确的说法有①④．
故答案为：B．
【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长，于是可判断说法①；②由大长方形的宽及小长方形的长和宽，可得出阴影A，B的较短边长，继而可得两个阴影的较短边之和，于是可判断说法②；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和，结合y为定值可判断说法③；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和，代入x=25，即可判断说法④．
二、填空题
8．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
【答案】12（答案不唯一）
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
9．（2024七下·鄞州期末）已知实数满足，则代数式的值是 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【分析】将，代入式子得到，根据偶次幂的非负性求出x，z的值，进而得出y的值，即可求得．
10．（2024七下·临海期末）如图，大长方形是由一个长方形①，两个完全相同的长方形②及三个正方形，，无缝拼接组成，若长方形①，②的周长之比为，则正方形，的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；比的应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴长方形②的长为a+b，宽为，
∴正方形C的边长为；长方形①的长为，宽为 ，
长方形①、②的周长之比为，
即 ，
，
，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，根据图形分别得出长方形①、②的长和宽，再根据长方形①、②的周长之比，得到，即可求出正方形、的面积之比．
11．（2024七下·越城期末）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，则所有符合要求能够拼成的正方形的个数有 个．
【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意得，A正方形的面积为，B长方形的面积为，C正方形的面积为，
∵A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张，从中取出若干张卡片（每种卡片至少取一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，
因此有：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
综上所述，符合条件的正方形有6个，
故答案为：6．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
12．（2024七下·覃塘期末）如图，数轴上的三点，，表示的数分别是，，，现以，为边，在数轴的同侧作正方形、正方形．若这两个正方形的面积和是，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由数轴得，，，
∵，
，
整理得，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示数差的绝对值及正方形四边相等可得出，，然后根据正方形面积计算公式及两个正方形的面积之和是43得出(a+2)2+(7-a)2=43，即a2-5a=-5；最后根据三角形的面积公式列出式子，化简整理后整体代入计算可得答案.
13．（2024七下·临平期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为S，则S可以表示为 ．（用含的代数式表示并化简其结果）
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】根据几何图形中的面积关系，知大正方形的面积减去四个直角三角形的面积再减去中间小正方形的面积即可得出阴影图形的面积，列出算式整理计算即可.
14．（2024七下·诸暨期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得：
，，，
当时，，
，
，
，
，
当，时，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：．
【分析】根据图形分别表示出，，，题意列出等式，整理化简解题即可．
三、解答题
15．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
16．（2024七下·海曙期末）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式 ；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】解：（1），
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1），
故答案为：；
【分析】
（1）用两种不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
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