《分式与二元一次方程（组）》精选压轴题—浙江省七（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七下·婺城期末）已知（且），，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·临海期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
3．（2024七下·柯桥期末）小明同学每天傍晚放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（ ）
A．10 B．9 C．6 D．5
4．（2024七下·定海期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
5．（2024七下·绍兴期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么实数，的值始终不变；
④若用x表示y，则；
A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①②
二、填空题
6．（2024七下·海曙期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
7．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
8．（2023七下·杭州期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有 ．（请填上你认为正确的结论序号）
9．（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
10．（2024七下·江北期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 .
11．（2024七下·吴兴期末） 对于实数 ， 我们定义如下运算： 若 为非负数， 则 ； 若 为负数，则 . 例如： . 则方程组 的解为 。
12．（2024七下·柯桥期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ．
（2）关于，的二元一次方程组的解为 ．
13．（2023七下·鹿城期中）关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是 .
14．（2022·达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
三、综合题
15．（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
16．（2024七下·临平期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中
（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？
17．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
四、实践探究题
18．（2024七下·鄞州期末）问题：探究什锦糖的混合比例
【基本信息】
糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
售价（元/千克） 30 20 12
进价（元/千克） 24 16 8
什锦糖的单价＝
【样品实验】
（1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价；
（2）甲种糖在40千克基础上减少千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加千克（， 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含，的代数式表示样品2的单价；
【解决问题】
（3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比．
（4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润．
19．（2024七下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
20．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
21．（2024七下·诸暨期末）根据以下信息，探索解决问题：
背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行加工后再投放市场每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的倍；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元；甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元．
问题解决
问题 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息可得：乙工厂每天加工数量为 件请用的代数式表示．
问题 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 公司将件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵（且），
∴，
可知该数列每相邻3个数字为一个循环，
∵2022÷3=674
∴
故答案为：A.
【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得的值．
2．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A．
【分析】根据题意，可列出关于①②③④⑤的方程，再类比二元一次方程组的解法对这五个方程消元，即可解出它们的值，从而判断作答.
3．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设小明步行的路程为S，则妈妈的车速是，小明步行的速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴k的值是9．
故选：B．
【分析】
设小明步行的路程为S，根据结果比平时早6分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少，进而可得到车速，结合妈妈的车速是小明步行速度的k倍，可得出小明步行的速度是，根据小明走这段路程比车走这段路段多用时分钟（早出发30分钟，提前到达6分钟），可列出关于k的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
4．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油，
∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为，
∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为，
∴爸爸的加油方式更合算．
故答案为：．
【分析】分别求出妈妈和爸爸的加油的平均油价，然后利用分式的减法求差与零比较解题即可．
5．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，
得：，
，
解得：，①结论正确；
当时，，
解得：
将代入中，得：，
解得：，
方程组的解不是方程的解，②结论错误；
当时，，
，
解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：B．
【分析】将两个方程相加，得到，即可得到，求出的值判断①；把代入方程组，求出x，y的值，再代入检验判断②；根据加减消得到判断③；把中用含x的式子表示y判断④解题即可．
6．【答案】或或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故答案为：或或．
【分析】先求出分式方程最简公分母为0时，x的值，即分式方程的增根，再分式方程化为整式方程，求出当含有未知数的字母系数为0时，x的值，即分式方程的增根，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
8．【答案】①③④
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，
（1）+（2）得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确；
③方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的；
④方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的，
故答案为①③④．
【分析】将两个二元一次方程相加得到x+y＝2+a=0，求出a的值判断①；由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值判断②；求出方程组的解，代入x+2y求值判断③；根据③用含有x代数式表示y，判断④解答即可.
9．【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
10．【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
11．【答案】或
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：当，，即，时，
解得：
当，，即，时，
解得：，
当，，即，时，
解得： （舍去）
当，，即，时，
解得：（舍去）
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】根据实数的新定义运算，分类讨论：当，；当，，当，，当，，由题意列出方程组，求出与的值，即可得到答案．
12．【答案】；
【知识点】二元一次方程组的概念；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知，当时，中，中，
∴关于，二元一次方程组的解为，
故答案为；
（2）∵关于，二元一次方程组的解为，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
解得，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为．
【分析】
（1）两个表格中的相同解即为方程组的解；
（2）先由（1）得出方程组的解，再解关于， 的方程组即可．
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变形为.
关于，的二元一次方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解是，
，
关于，的二元一次方程组的解是.
故答案为：.
【分析】由题意可得：方程组的解为m-1=1、n+3=-1，求解可得m、n的值.
14．【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
15．【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
16．【答案】（1）
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
【分析】
（1）根据图2进行填表即可；
（2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据4个长方形铁片和2个正方形铁片可以组成一个铁盒，得长方形与正方形铁片的个数比为4：2，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论．
（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：
，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
17．【答案】（1）解：是；，
∴“信度值”；
（2）解：由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据“兄弟分式”的概念，直接计算，并对结果进行判断即可；
（2）根据新定义，则已知两个异分母分式的差等于3，可推出，再代入指定分式进行化简即可；
（3）①根据新定义，进行分式的减法运算，最后再去分母，移项并合并同类项可求出多项式P；
②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可．
（1）解：是；
，
∴“信度值”；
（2）由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
18．【答案】解：（1）元/千克；
（2）（元/千克）；
（3）由题意得：；
∴，
∵，都是正整数，
∴，，
∴什锦糖混合甲乙丙三种糖的质量比例为；
（4）由题意得：，
∴商店销售样品2的日利润为1984元．
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据什锦糖的单价计算公式计算即可；
（2）根据什锦糖的单价计算公式计算即可；
（3）根据样品2的单价列出方程，根据m和n为正整数，即可求得；
（4）根据利润=售价-进价，即可求得.
19．【答案】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，
，
解得，，
；
（2）由题意得：，
解得：，
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．
建议是：节约用电，减小高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据点点和芳芳家的用电情况，列出二元一次方程组求解即可；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，最多需要的电费高峰电价，可知需要节约用电，尽量控制高峰用电．
20．【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
21．【答案】解：问题：1.5x；问题：设 甲工厂每天能加工x件新产品，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，其符合题意．答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品；问题：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为a元，乙工厂加工1天所需费用为b元，根据题意得：，解得：，每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为元件，乙工厂加工新产品的单价为元件．设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂(1500-y)件新产品进行加工，根据题意得：，且为整数，．为正整数，可以为，，，当时，，此时天，符合题意；当时，，此时天，不符合题意，舍去；当时，，此时天，符合题意．答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，可得乙工厂每天加工数量为1.5x件；
问题2：基本关系：工作时间=工作量÷工作效率，利用“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解；
问题3：基本关系：金额=价格×时间，设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工y件，则乙工厂加工(1500-y)件，于是有，n为平均匀单价，确定n的取值范围，逐一尝试即可求解．
1 / 1《分式与二元一次方程（组）》精选压轴题—浙江省七（下）数学期末复习
一、单选题
1．（2024七下·婺城期末）已知（且），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：∵（且），
∴，
可知该数列每相邻3个数字为一个循环，
∵2022÷3=674
∴
故答案为：A.
【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得的值．
2．（2024七下·临海期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A．
【分析】根据题意，可列出关于①②③④⑤的方程，再类比二元一次方程组的解法对这五个方程消元，即可解出它们的值，从而判断作答.
3．（2024七下·柯桥期末）小明同学每天傍晚放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（ ）
A．10 B．9 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设小明步行的路程为S，则妈妈的车速是，小明步行的速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴k的值是9．
故选：B．
【分析】
设小明步行的路程为S，根据结果比平时早6分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少，进而可得到车速，结合妈妈的车速是小明步行速度的k倍，可得出小明步行的速度是，根据小明走这段路程比车走这段路段多用时分钟（早出发30分钟，提前到达6分钟），可列出关于k的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
4．（2024七下·定海期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（ ）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油，
∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为，
∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为，
∴爸爸的加油方式更合算．
故答案为：．
【分析】分别求出妈妈和爸爸的加油的平均油价，然后利用分式的减法求差与零比较解题即可．
5．（2024七下·绍兴期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么实数，的值始终不变；
④若用x表示y，则；
A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①②
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
当这个方程组的解，的值互为相反数时，则，
得：，
，
解得：，①结论正确；
当时，，
解得：
将代入中，得：，
解得：，
方程组的解不是方程的解，②结论错误；
当时，，
，
解得：，
无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确；
，④结论正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：B．
【分析】将两个方程相加，得到，即可得到，求出的值判断①；把代入方程组，求出x，y的值，再代入检验判断②；根据加减消得到判断③；把中用含x的式子表示y判断④解题即可．
二、填空题
6．（2024七下·海曙期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】或或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故答案为：或或．
【分析】先求出分式方程最简公分母为0时，x的值，即分式方程的增根，再分式方程化为整式方程，求出当含有未知数的字母系数为0时，x的值，即分式方程的增根，即可求解.
7．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
8．（2023七下·杭州期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有 ．（请填上你认为正确的结论序号）
【答案】①③④
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，
（1）+（2）得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确；
②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确；
③方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的；
④方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的，
故答案为①③④．
【分析】将两个二元一次方程相加得到x+y＝2+a=0，求出a的值判断①；由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值判断②；求出方程组的解，代入x+2y求值判断③；根据③用含有x代数式表示y，判断④解答即可.
9．（2024七下·上城期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
10．（2024七下·江北期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 .
【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
11．（2024七下·吴兴期末） 对于实数 ， 我们定义如下运算： 若 为非负数， 则 ； 若 为负数，则 . 例如： . 则方程组 的解为 。
【答案】或
【知识点】二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：当，，即，时，
解得：
当，，即，时，
解得：，
当，，即，时，
解得： （舍去）
当，，即，时，
解得：（舍去）
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】根据实数的新定义运算，分类讨论：当，；当，，当，，当，，由题意列出方程组，求出与的值，即可得到答案．
12．（2024七下·柯桥期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为 ．
（2）关于，的二元一次方程组的解为 ．
【答案】；
【知识点】二元一次方程组的概念；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知，当时，中，中，
∴关于，二元一次方程组的解为，
故答案为；
（2）∵关于，二元一次方程组的解为，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
解得，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为．
【分析】
（1）两个表格中的相同解即为方程组的解；
（2）先由（1）得出方程组的解，再解关于， 的方程组即可．
13．（2023七下·鹿城期中）关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变形为.
关于，的二元一次方程组的解是，
关于，的二元一次方程组的解是，
，
关于，的二元一次方程组的解是.
故答案为：.
【分析】由题意可得：方程组的解为m-1=1、n+3=-1，求解可得m、n的值.
14．（2022·达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
三、综合题
15．（2024七下·钱塘期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
16．（2024七下·临平期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中
（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？
【答案】（1）
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
【分析】
（1）根据图2进行填表即可；
（2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据4个长方形铁片和2个正方形铁片可以组成一个铁盒，得长方形与正方形铁片的个数比为4：2，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论．
（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：
，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
17．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
【答案】（1）解：是；，
∴“信度值”；
（2）解：由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据“兄弟分式”的概念，直接计算，并对结果进行判断即可；
（2）根据新定义，则已知两个异分母分式的差等于3，可推出，再代入指定分式进行化简即可；
（3）①根据新定义，进行分式的减法运算，最后再去分母，移项并合并同类项可求出多项式P；
②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可．
（1）解：是；
，
∴“信度值”；
（2）由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
四、实践探究题
18．（2024七下·鄞州期末）问题：探究什锦糖的混合比例
【基本信息】
糖的种类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
售价（元/千克） 30 20 12
进价（元/千克） 24 16 8
什锦糖的单价＝
【样品实验】
（1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价；
（2）甲种糖在40千克基础上减少千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加千克（， 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含，的代数式表示样品2的单价；
【解决问题】
（3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比．
（4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润．
【答案】解：（1）元/千克；
（2）（元/千克）；
（3）由题意得：；
∴，
∵，都是正整数，
∴，，
∴什锦糖混合甲乙丙三种糖的质量比例为；
（4）由题意得：，
∴商店销售样品2的日利润为1984元．
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据什锦糖的单价计算公式计算即可；
（2）根据什锦糖的单价计算公式计算即可；
（3）根据样品2的单价列出方程，根据m和n为正整数，即可求得；
（4）根据利润=售价-进价，即可求得.
19．（2024七下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
【答案】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，
，
解得，，
；
（2）由题意得：，
解得：，
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．
建议是：节约用电，减小高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据点点和芳芳家的用电情况，列出二元一次方程组求解即可；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，最多需要的电费高峰电价，可知需要节约用电，尽量控制高峰用电．
20．（2024七下·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张． 方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张． 方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三 解决实际问题 现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【答案】解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：
解得：
∵42+61=103（张），
∴需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背张和坐垫张，用y张板材裁切靠背张和坐垫张，根据制作的 学生椅 的数量为500张，制作 座垫（500-8）张，建立二元一次方程组，解方程组可得答案．
21．（2024七下·诸暨期末）根据以下信息，探索解决问题：
背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行加工后再投放市场每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的倍；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
信息 每天满工作量情况下，甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元；甲工厂加工天，乙工厂加工天共需要元．
问题解决
问题 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为件，结合信息可得：乙工厂每天加工数量为 件请用的代数式表示．
问题 每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 公司将件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？
【答案】解：问题：1.5x；问题：设 甲工厂每天能加工x件新产品，根据题意得：，解得：x=50，经检验，x=50是所列方程的解，其符合题意．答：每天满工作量情况下，甲工厂每天能加工50件新产品；问题：设每天满工作量情况下，甲工厂加工1天所需费用为a元，乙工厂加工1天所需费用为b元，根据题意得：，解得：，每天满工作量情况下，甲工厂加工新产品的单价为元件，乙工厂加工新产品的单价为元件．设交给甲工厂y件新产品进行加工，则交给乙工厂(1500-y)件新产品进行加工，根据题意得：，且为整数，．为正整数，可以为，，，当时，，此时天，符合题意；当时，，此时天，不符合题意，舍去；当时，，此时天，符合题意．答：交给甲工厂1125或375件新产品进行加工．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】问题1：设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为x件，可得乙工厂每天加工数量为1.5x件；
问题2：基本关系：工作时间=工作量÷工作效率，利用“甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天”，列出方程，即可求解；
问题3：基本关系：金额=价格×时间，设甲工厂加工1天需要a元，乙工厂加工1天需要b元，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，再设甲工厂加工y件，则乙工厂加工(1500-y)件，于是有，n为平均匀单价，确定n的取值范围，逐一尝试即可求解．
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