第5章 分式 基础题型解题解析
题型目录
十一．通分
十二．最简公分母
十三．同分母加减
十四．相反数分母加减
十五．异分母加减
十六．分式方程辨析
十七．分式方程的解
十八．解分式方程
十一．通分
解题解析：通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
1.分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
2.若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（ ）
A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y）
3.通分：，，．
4.通分：
（1），； （2），．
十二．最简公分母
解题解析：
确定最简公分母的方法是：
（1）把能因式分解的分母先因式分解
（2）取各分母系数的最小公倍数；
（3）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（4）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
1.分式与的最简公分母是（ ）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
2.，的最简公分母是 ．
3.分式和的最简公分母为 ．
4.各分式：，，的最简公分母是 ．
十三．同分母加减
解题解析：同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，完成后检查，能约分的要约分。
1．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．计算：（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．计算的结果是（ ）
A．4 B．4m﹣12 C．m﹣3 D．
十四．相反数分母加减
解题解析：利用分式基本性质，分子分母同乘以-1，把分母变成相同，再根据同分母分式加减运算结构运算。
注意：熟悉互为相反数分母的结构
1.计算的结果正确的是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
2.计算的结果是（ ）
A．2 B．x+1 C． D．
3.计算的结果等于（ ）
A．3 B． C． D．
4.化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b
十五．异分母加减
解题解析：
1.观察分母，能因式分解的先因式分解（整式结构先化成分母为“1”的分式结构）
2.进行通分
3.转化成同分母加减
4.按同分母分式加减结构进行运算
1.计算的结果是（ ）
A．1 B．
C． D．
2.化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
3.计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．a+1
4.化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
十六．分式方程辨析
解题解析：判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数（方程中有没有分式，有就是分式方程）。
注意：我们初学阶段辨析中不会出现根式等结构，所以可以直接找分式的方法进行辨析。
1.下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
2.下列方程：①2，②3，③，④5，⑤1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）： ．
3.已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
十七．分式方程的解
解题解析：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
分为两种情况，一.给出分式方程的解，直接把解带入原方程使等号成立，求出未知数的值即可；二.分式方程无解，分为有曾根和整式方程无解两种情况。
1.方程的解是x＝2，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无解
2．x＝2是关于x的方程的解，则a的值为 ．
3.如果分式方程无解，则a的值为（ ）
A．﹣4 B． C．2 D．﹣2
4.若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或﹣2 C．﹣3 D．﹣2或﹣3
十八．解分式方程
解题解析：
解分式方程的步骤：①去分母转化成整式方程；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验。
1.解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x
2.解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
3.小明同学解方程的过程中，说法正确的是（ ）
解：方程两边同时乘（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3）…第一步 去括号，得1+x＝﹣2﹣x﹣3…第二步 移项，得即x+x＝﹣2﹣3﹣1…第三步 合并同类项，得2x＝﹣6…第四步 系数化为1，得x＝﹣3…第五步
A．从第一步开始出现错误
B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误
D．从第四步开始出现错误
4.解分式方程：
（1）； （2）．第5章 分式 基础题型解题解析
题型目录
十一．通分
十二．最简公分母
十三．同分母加减
十四．相反数分母加减
十五．异分母加减
十六．分式方程辨析
十七．分式方程的解
十八．解分式方程
十一．通分
解题解析：通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
1.分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
【分析】分式的分母a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
【解答】解：．
故选：C．
2.若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（ ）
A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y）
【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为2（x﹣y）（x+y），即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴分式的分子应变为6x2，
故选：A．
3.通分：，，．
【分析】由题意可知，最简公分母是2（a+2）（a﹣2），然后根据分式的基本性质进行通分即可．
【解答】解：最简公分母是2（a+2）（a﹣2），
则，
，
．
4.通分：
（1），；
（2），．
【分析】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案；
（2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案．
【解答】解：（1），，
∵最简公分母是a2b2，
∴，
；
（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y），
∴最简公分母是x（x+y）（x﹣y），
∴，
．
十二．最简公分母
解题解析：
确定最简公分母的方法是：
（1）把能因式分解的分母先因式分解
（2）取各分母系数的最小公倍数；
（3）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（4）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
1.分式与的最简公分母是（ ）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
【分析】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．
【解答】解：分式与的最简公分母是6x3．
故选：A．
2.，的最简公分母是 6x2（x﹣y） ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：因为2x﹣2y＝2（x﹣y），
所以3x2（x﹣y）与2（x﹣y）的最小公倍数是6，最简公因式是6x2（x﹣y），
所以，的最简公分母是6x2（x﹣y），
故答案为：6x2（x﹣y）．
3.分式和的最简公分母为 6（a﹣b）（a+b）2 ．
【分析】观察两个分式的分母，利用公因式即可求解．
【解答】解：∵的分母为：3（a+b）2，
的分母为：2a2﹣2b2＝2（a﹣b）（a+b），
∴两个分式的最简公分母为：6（a﹣b）（a+b）2．
故答案为：6（a﹣b）（a+b）2．
4.各分式：，，的最简公分母是 x（x﹣1）（x+1）2 ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式的分母分别是x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）、x2﹣x＝x（x﹣1）、x2+2x+1＝（x+1）2，故最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2；
故答案为x（x﹣1）（x+1）2．
十三．同分母加减
解题解析：同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，完成后检查，能约分的要约分。
1．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，即可计算．
【解答】解：根据同分母的分式相加的法则可得：，
故选：C．
2．计算的结果等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据同分母分式相减法则进行计算，然后约分即可．
【解答】解：原式
＝2，
故选：B．
3．计算：（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据同分母分式加减法法则计算，得到答案．
【解答】解：
＝2，
故选：B．
4．计算的结果是（ ）
A．4 B．4m﹣12 C．m﹣3 D．
【分析】根据分式的加减运算法则计算即可，在进行分式运算后，若分子分母有公因式，要进行约分，化为最简形式．
【解答】解：原式
＝4，
故选：A．
十四．相反数分母加减
解题解析：利用分式基本性质，分子分母同乘以-1，把分母变成相同，再根据同分母分式加减运算结构运算。
注意：熟悉互为相反数分母的结构
1.计算的结果正确的是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【分析】先把第二个加数写成分母是m﹣1的分式，然后按照同分母分式相加减法则进行计算，然后约分即可．
【解答】解：原式
＝﹣1，
故选：B．
2.计算的结果是（ ）
A．2 B．x+1 C． D．
【分析】先把分式的分母都化成x﹣1，然后按照同分母分式相减法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：D．
3.计算的结果等于（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】根据同分母的分式加法运算法则求解即可．
【解答】解：原式
＝3．
故选：A．
4.化简的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．﹣2a﹣b C．2a+b D．2a﹣b
【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
【解答】解：原式
＝2a+b．
故选：C．
十五．异分母加减
解题解析：
1.观察分母，能因式分解的先因式分解（整式结构先化成分母为“1”的分式结构）
2.进行通分
3.转化成同分母加减
4.按同分母分式加减结构进行运算
1.计算的结果是（ ）
A．1 B．
C． D．
【分析】将原式通分后再进行加减运算即可．
【解答】解：原式
，
故选：C．
2.化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
【分析】原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式，
故选：B．
3.计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．a+1
【分析】根据分式的减法运算法则，先通分，再加减求解即可．
【解答】解：
，
故选：B．
4.化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故选：C．
十六．分式方程辨析
解题解析：判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数（方程中有没有分式，有就是分式方程）。
注意：我们初学阶段辨析中不会出现根式等结构，所以可以直接找分式的方法进行辨析。
1.下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：①的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
②③④的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：D．
2.下列方程：①2，②3，③，④5，⑤1＝0中，关于x的分式方程有（填写序号）： ⑤ ．
【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：方程①2、②3、③、④5的分母中都不含未知数，不是分式方程，
⑤1＝0的分母中含有未知数，是分式方程，
所以分式方程有⑤．
故答案为：⑤．
3.已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【分析】根据分式方程的定义进行判断即可．
【解答】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程，
故选：C．
十七．分式方程的解
解题解析：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
分为两种情况，一.给出分式方程的解，直接把解带入原方程使等号成立，求出未知数的值即可；二.分式方程无解，分为有曾根和整式方程无解两种情况。
1.方程的解是x＝2，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无解
【分析】把代入分式方程解答即可求解．
【解答】解：由条件可知，
∴a＝0，
故选：A．
2．x＝2是关于x的方程的解，则a的值为 2 ．
【分析】根据题意，x＝2代入，得2+a＝4，解出a的值，即可作答．
【解答】解：把x＝2代入，
得，
即2+a＝4，
解得：a＝2，
故答案为：2．
3.如果分式方程无解，则a的值为（ ）
A．﹣4 B． C．2 D．﹣2
【分析】关于x的分式方程2无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x＝4，据此即可求解．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a
解得：x＝a+8
根据题意得：a+8＝4
解得：a＝﹣4．
故选：A．
4.若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或﹣2 C．﹣3 D．﹣2或﹣3
【分析】依据题意，将分式方程首先化成整式方程，然后根据分式方程无解的意义进行分类讨论，即可得解．
【解答】解：由题意，去分母得，
mx﹣3＝﹣2（x+1），
∴（m+2）x＝1．
①当m+2＝0时，即当m＝﹣2时，0 x＝1，
∴此方程无解，
∴分式方程2也无解，符合题意；
②当m+2≠0时，
x，
而此时分式方程2无解，
∴1，
∴m＝﹣3，
检验：m＝﹣3代入1符合题意．
综上，满足题意的m的值为﹣3或﹣2．
故选：D．
十八．解分式方程
解题解析：
解分式方程的步骤：①去分母转化成整式方程；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验。
1.解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x
【分析】方程两边同乘最简公分母（x﹣2）即可．
【解答】解：原方程去分母得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x，
故选：C．
2.解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
3.小明同学解方程的过程中，说法正确的是（ ）
解：方程两边同时乘（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3）…第一步 去括号，得1+x＝﹣2﹣x﹣3…第二步 移项，得即x+x＝﹣2﹣3﹣1…第三步 合并同类项，得2x＝﹣6…第四步 系数化为1，得x＝﹣3…第五步
A．从第一步开始出现错误
B．从第二步开始出现错误
C．从第三步开始出现错误
D．从第四步开始出现错误
【分析】观察解分式方程的过程，判断即可．
【解答】解：观察小明解方程的过程，可得从第二步出现错误，去括号后3没有改变符号．
故选：B．
4.解分式方程：
（1）； （2）．
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原方程去分母得：3x+8＝x﹣4，
解得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x﹣4≠0，
故原方程的解为x＝﹣6；
（2）原方程去分母得：3（x﹣1）+2（x+1）＝4，
整理得：5x﹣1＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
则x＝1是分式方程的增根，
故原方程无解．
