第5章 分式 单元检测基础过关卷-2024-2025学年浙教版七年级数学下册单元检测卷

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第5章 分式 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各式：．其中分式共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算中，错误的是（　　）
A． B．＝﹣ C． D．＝﹣1
4．计算的结果等于（　　）
A．3 B． C． D．
5．已知a+b＝3，ab＝2，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．扩大9倍
7．分式方程的解是（　　）
A． B． C．2 D．3
8．一项工作由甲单独做，需要a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独做每天可以完成这项工作的（　　）
A． B． C． D．
9．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1有增根，则a的值是（　　）
A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3
10．为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．分式与的最简公分母是　 　 ．
12．若分式的值为零，则x的值为 　 　 ．
13．若分式的值是正整数，则正整数m的值为 　 　 ．
14．已知分式（其中a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 0.5 ﹣2 m
分式 无意义 值为0 值为1
则m的值为 　 　 ．
15．把电阻值分别为R1，R2的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足．当R1＝2R2时，＝ 　 　 ．
16．已知，则的值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当a＝1时，原式的值．
18．计算：
（1）． （2）．
19．先化简，然后再从0，2，3，4这4个数字中选择一个使原式有意义的数作为x的值代入求值．
20．解分式方程：
（1）； （2）．
21．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
22．如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2、．
（1）若点A、B到原点的距离相等，求x的值；
（2）若点C在数轴上对应的数为，且点A、B到点C的距离相等，求x的值．
23．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“　 　 阶差分式”．
（2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值．
24．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为am（a＞6）．
（1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式：．其中分式共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【点拨】根据分式的定义即可得出答案．
【解析】解：分式有和，共两个．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意π是数字．
2．下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解析】解：A、原式＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、原式＝﹣1，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、原式＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、该式子是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．
3．下列运算中，错误的是（　　）
A． B．＝﹣ C． D．＝﹣1
【点拨】根据分式的基本性质进行解答．注意：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．
【解析】解：A、分式的分子分母同时乘以不为零的c，分式的值不变，即．故本选项正确；
B、分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变，即＝﹣．故本选项正确；
C、分式的分子、分母同时乘以10，分式的值不变，即．故本选项正确；
D、＝≠﹣1．故本选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
4．计算的结果等于（　　）
A．3 B． C． D．
【点拨】根据同分母的分式加法运算法则求解即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键．
5．已知a+b＝3，ab＝2，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据，然后整体代值计算即可．
【解析】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的求值．熟练掌握分式的运算法则是关键．
6．如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．扩大9倍
【点拨】根据x，y都扩大3倍，即可得出分子扩大9倍，分母扩大3倍，由此即可得出结论．
【解析】解：∵x，y都扩大为原来3倍，
∴分子3xy扩大9倍，分母x﹣y扩大3倍，
∴分式的值扩大3倍．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．
7．分式方程的解是（　　）
A． B． C．2 D．3
【点拨】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【解析】解：，
x+5＝5x，
x﹣5x＝﹣5，
﹣4x＝﹣5，
解得：，
检验，当时，x（x+5）≠0，
∴是原方程的解．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
8．一项工作由甲单独做，需要a天完成；如果由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，则乙单独做每天可以完成这项工作的（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由题意可得甲每天可以完成这项工作的，甲、乙两人合作每天可以完成这项工作的，则可得乙单独做每天可以完成这项工作的．
【解析】解：∵一项工作由甲单独做，需要a天完成，
∴甲每天可以完成这项工作的．
∵由甲、乙两人合作，可提前2天完成，
∴甲、乙两人合作每天可以完成这项工作的，
∴乙单独做每天可以完成这项工作的．
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
9．设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1有增根，则a的值是（　　）
A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3
【点拨】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论．
【解析】解：∵m☆n＝，
∴x☆x＝，x☆12＝，
∴原方程就是：
＝+1，
去分母得：
ax＝12+3x﹣9，
移项，合并同类项得：
（a﹣3）x＝3，
∵关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1无解，
∴原方程有增根3，
∴a＝4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．
10．为迎接区级运动会，我校决定对操场进行翻新，工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，据调查甲、乙两队完成翻新效果一样，但工作时间不同，方案如下：甲队单独完成这项工程，比规定时间多2天；乙队单独完成这项工程，比规定时间多6天；若甲、乙两队先合作5天，余下的工程由乙队单独做完，正好按规定时间完成，若设规定时间为x天，则下列所列方程不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要（x+2）天，乙队单独完成这项工程需要（x+6）天，根据题意列出分式方程即可得出答案．
【解析】解：设规定时间为x天，则甲队单独完成这项工程需要（x+2）天，乙队单独完成这项工程需要（x+6）天，
由题意得：即或
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，关键是根据题意找到等量关系式．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．分式与的最简公分母是　2b（a+b）（a﹣b）　 ．
【点拨】观察两个分式的分母，利用公因式即可求解．
【解析】解：两个分式的最简公分母为2b（a+b）（a﹣b），
故答案为：2b（a+b）（a﹣b）．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．
12．若分式的值为零，则x的值为 　2　 ．
【点拨】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解析】解：由题意得：|x|﹣2＝0且x+2≠0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13．若分式的值是正整数，则正整数m的值为 　2或3或5　 ．
【点拨】利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可．
【解析】解：∵分式的值是正整数，
∴m﹣1＞0的整数，且m﹣1的可能值为：1，2，4，
∴m＝2或3或5．
故答案为：2或3或5．
【点睛】本题主要考查了分式的值，利用有理数的整除的性质解答是解题的关键．
14．已知分式（其中a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 0.5 ﹣2 m
分式 无意义 值为0 值为1
则m的值为 　3　 ．
【点拨】根据分式无意义、分式的值为0，可确定a、b的值，进而确定分式，再令分式的值1解得m的值即可．
【解析】解：由题可知，
当x＝0.5时，分式无意义，
即2x﹣b＝0，
解得b＝1；
当x＝﹣2时，分式的值为零，
即x+a＝0，
解得a＝2；
则分式为，
当x＝m时，分式的值为1，
即＝1，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，分式的定义，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
15．把电阻值分别为R1，R2的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足．当R1＝2R2时，＝ 　　 ．
【点拨】先把已知条件中的等式通分，然后把R1＝2R2代入等式，把等式中的R2用R表示出来，最后代入所求分式进行化简即可．
【解析】解：∵，
∴，
，
当R1＝2R2时，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
16．已知，则的值为 　　 ．
【点拨】根据得到x+y＝3xy，再把化简为，再把x+y用3xy替换，约分即可得到答案．
【解析】解：根据通分合并得到：
，
即：x+y＝3xy，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整体转换思想，把复杂的问题转换为简单的思想，通过对条件和结论的转换，最终求得问题的答案，求得x+y＝3xy是解本题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当a＝1时，原式的值．
【点拨】（1）观察小明和小红的计算过程，然后进行解答即可；
（2）先把分式的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分，最后把a＝1代入化简后的式子进行计算即可．
【解析】解：（1）小明的第①步错了，他去分母了；
小红的第②步错误，分子相减时，去括号时2没有变号；
（2）
＝
＝
＝
＝，
当a＝1时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
18．计算：
（1）． （2）．
【点拨】（1）根据分式加法进行计算即可．
（2）先计算括号内的分式减法，然后将除法转化为乘法计算即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝
＝1．
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题关键是熟知分式加减法和乘除法运算法则．
19．先化简，然后再从0，2，3，4这4个数字中选择一个使原式有意义的数作为x的值代入求值．
【点拨】根据分式的混合运算法则把原式化简，然后根据分式有意义的条件确定x，再代入化简后后的式子计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝
＝，
∵当x＝0，2，4时，原分式无意义，
∴x＝3，
当x＝3时，原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．解分式方程：
（1）； （2）．
【点拨】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解析】解：（1）原方程去分母得：3x+8＝x﹣4，
解得：x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，x﹣4≠0，
故原方程的解为x＝﹣6；
（2）原方程去分母得：3（x﹣1）+2（x+1）＝4，
整理得：5x﹣1＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
则x＝1是分式方程的增根，
故原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
（1）求的值．
（2）求的值．
【点拨】（1）利用分式约分化简解题；
（2）先求出倒数的值，然后代入求值即可．
【解析】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2）＝＝＝25，
∴．
【点睛】本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．
22．如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2、．
（1）若点A、B到原点的距离相等，求x的值；
（2）若点C在数轴上对应的数为，且点A、B到点C的距离相等，求x的值．
【点拨】（1）根据数轴上两点的距离公式结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验即可；
（2）根据点A、B到点C的距离相等，即可判断点C必在点A、B之间，从而可求出，．结合题意可列出关于x的分式方程，解出x的值，再检验即可．
【解析】解：（1）∵点A、B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2、，
∴点A到原点的距离为2，点B到原点的距离为．
∵点A、B到原点的距离相等，
∴点B到原点的距离为，
∴，
解得：x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4时，x+2≠0，
∴x＝﹣4是原方程的解，
∴x＝﹣4；
（2）点A、B到点C的距离相等，
∴点C必在点A、B之间，
∴，，
∴，
解得：x＝﹣5，
检验：当x＝﹣5时，2（x+2）≠0，
∴x＝﹣5是原方程的解，
∴x＝﹣5．
【点睛】本题考查数轴上两点的距离公式，分式方程的实际应用．根据题意结合数轴上两点的距离公式列出关于x的等式是解题关键．
23．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
（1）分式是分式的“　1　 阶差分式”．
（2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值．
【点拨】（1）根据已知条件中的新定义求出分式与分式的差，从而进行判断即可；
（2）根据条件中的新定义列出算式求出A，再根据x取正整数，且A的值为正整数，求出A值即可．
【解析】解：（1）∵，
∴分式是分式的“1阶差分式“，
故答案为：1；
（2）∵A是分式的“2阶差分式”，
∴，
∵A的值为正整数，
∴3﹣x＝1或2或3或6，
解得：x＝2或1或0或﹣3，
∵x取正整数，
∴x＝2或1，
∴当x＝2时，；
当x＝1时，，
∴A的值为6或3．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义．
24．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为am（a＞6）．
（1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值．
【点拨】（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入2x中，即可求出甲组的工作效率；
（2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“a＞6，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案．
【解析】解：（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×25＝50，
答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜；
（2）设扩建后的基地面积是原来的n倍（n为正整数），根据题意可得：
（2a﹣2+14）（a+a）＝n（2a﹣2）a，
解得n＝2+，
∵a＞6，a为整数，且n为正整数，
∴或，
∴a的值为8或15．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的应用．熟练掌握该知识点是关键．
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