第5章 分式 单元检测能力提升卷（含解析）

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第5章 分式 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各式：、、、、、9a、，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个分式中，为最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．计算a2÷ b的结果是（　　）
A．a2 B． C．a2b2 D．2a2b2
5．阅读下列各式从左到右的变形
（1） （2） （3） （4）
你认为其中变形正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
7．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　）
A． B． C． D．
8．对于非零的有理数a，b规定，若（x﹣2）*3＝2，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走x里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（　　）
A． B． C． D．
10．关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　）
A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若分式的值为零，则x的值为　 　 ．
12．①约分：＝　 　 ；
②与的最简公分母是　 　 ；
③分式通分和约分的依据是　 　 ．
13．关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　 ．
14．照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　 　 ．
15．大疆创新科技有限公司是一家全球领先的无人飞行器研发和制造企业，旗下拥有众多型号的无人机产品，广泛应用于航拍、农业、测绘、巡检等多个领域．其中T系列属于农业无人机，用于农田监测，作物喷洒等，M系列更适合航拍使用．兴趣小组发现，M系列某型号无人机的时速是T系列某型号无人机时速的2.4倍，M系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，如果设T系列某型号无人机的飞行时速为x千米/小时，则可列方程为　 　 ．
16．已知，代数式的值 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算﹣的解答过程如下：
解：﹣ ①
＝﹣ ②
＝（x﹣2）﹣（x+2）③
＝x﹣2﹣x﹣2 ④
＝﹣4 ⑤
问题：（1）上述计算过程中，从　 　 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：　 　 ；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：
18．计算：
（1）； （2）．
19．解分式方程：
（1）； （2）．
20．已知公式．
（1）当U，R，S为已知时，求V．
（2）若R，S满足，U＝﹣3，求V的值．
21．已知：M＝，N＝．
（1）当x＞0时，判断M﹣N与0的关系，并说明理由；
（2）设y＝+N．
①当y＝3时，求x的值；
②若x是整数，求y的正整数值．
22．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．
（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
23．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式　 　 分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式A的“分裂分式”．求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值．
（3）若关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，求n的值．
24．某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元/千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元/千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以a元/千克的批发价售卖b千克的葡萄，再以（a+1）元/千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若a，b均为正整数，求a，b的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式：、、、、、9a、，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可．
【解析】解：分式有，，，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【解析】解：A．无论x取何值，2x2+1＞0，分式都有意义，故本选项符合题意；
B．x＝﹣时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C．x＝时，3x﹣1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
D．x＝0时，2x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零．
3．下列四个分式中，为最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式，判断即可．
【解析】解：A、为最简分式，符合题意；
B、，原分式不是最简分式，不符合题意；
C、，原分式不是最简分式，不符合题意；
D、，原分式不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握定义是关键．
4．计算a2÷ b的结果是（　　）
A．a2 B． C．a2b2 D．2a2b2
【点拨】先将除法转化为乘法，再根据整式乘法的运算法则计算即可．
【解析】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是关键．
5．阅读下列各式从左到右的变形
（1） （2） （3） （4）
你认为其中变形正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【点拨】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变，可得答案；
（3）根据分式的加法，可得答案；
（4）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变，可得答案．
【解析】解：（1）分子分母乘以不同的数，故（1）错误；
（2）只改变分子分母中部分项的符号，故（2）错误；
（3）先通分，再加减，故（3）错误；
（4）分子分母乘以不同的数，故（4）错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数，分式的值不变；注意分式、分子、分母改变其中两项的符号，结果不变．
6．化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
【点拨】原式变形后，通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解析】解：原式＝＝＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据公式s＝vt列代数式，两地路程一样，可列出提速后的时间，即可算出提速后比原来减少多少时间．
【解析】解：A地到B地的路程＝vt（千米），
提速后的速度＝v+m（千米每小时），
提速后的时间：（小时），
∴提速后从A地到B地需要的时间比原来减少＝t﹣＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，关键是根据公式s＝vt运算．
8．对于非零的有理数a，b规定，若（x﹣2）*3＝2，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解析】解：∵（x﹣2）*3＝2，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴x的值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
9．《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走x里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程．
【解析】解：设不善行者的速度为a，善行者的速度为b，
由题意可得：，
化简，得：＝，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的管家是明确题意，列出相应的分式方程．
10．关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　）
A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4
【点拨】根据分式有意义的条件可知x≠3，x≠0，将分式方程化为整式方程后将x＝3，x＝0代入求出a的值即可．
【解析】解：根据分式有意义，x≠3，x≠0，
将分式方程化为整式方程为：x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），整理得（a﹣4）x＝﹣21，
∵分式方程无解，
∴a＝4，a＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若分式的值为零，则x的值为　3　 ．
【点拨】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值．
【解析】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．①约分：＝　　 ；
②与的最简公分母是　y（a﹣x）　 ；
③分式通分和约分的依据是　分式的基本性质　 ．
【点拨】①先将分子、分母因式分解，再约分即可得；
②最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，据此求解可得；
③根据分式的基本性质求解可得．
【解析】解：①＝＝，
故答案为：．
②与的最简公分母是y（a﹣x），
故答案为：y（a﹣x）；
③分式通分和约分的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质．
【点睛】本题主要考查最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的确定方法和分式的约分步骤及分式的基本性质．
13．关于x的分式方程有增根，则m的值是　﹣3或9　 ．
【点拨】根据分式方程增根的定义进行计算即可．
【解析】解：将分式方程两边都乘以（x+1）（x﹣2）得，
2（x+1）+mx＝3（x﹣2），
即（1﹣m）x＝8，
∵原分式方程有增根，
∴（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，（1﹣m）×2＝8，所以m＝﹣3，
当x＝﹣1时，（1﹣m）×（﹣1）＝8，所以m＝9，
∴m的值是﹣3或9．
故答案为：﹣3或9．
【点睛】本题考查分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．
14．照相机成像应用了一个重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝　　 ．
【点拨】利用分式的基本性质，把等式变形即可求解．
【解析】解：，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．
15．大疆创新科技有限公司是一家全球领先的无人飞行器研发和制造企业，旗下拥有众多型号的无人机产品，广泛应用于航拍、农业、测绘、巡检等多个领域．其中T系列属于农业无人机，用于农田监测，作物喷洒等，M系列更适合航拍使用．兴趣小组发现，M系列某型号无人机的时速是T系列某型号无人机时速的2.4倍，M系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，如果设T系列某型号无人机的飞行时速为x千米/小时，则可列方程为　　 ．
【点拨】设T系列某型号无人机的飞行时速为x千米/小时，则M系列某型号无人机的飞行时速为2.4x千米/小时，M系列某型号无人机飞向500米高空比T系列某型号无人机少用了5分钟，列出方程．
【解析】解：设T系列某型号无人机的飞行时速为x千米/小时，
故答案为：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
16．已知，代数式的值 　　 ．
【点拨】根据已知条件得出，先求出原式的倒数，再求原式的值即可．
【解析】解：∵，
∴x2+1＝3x，x≠0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值，得出是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．阅读材料，并回答问题：
小明在学习分式运算过程中，计算﹣的解答过程如下：
解：﹣ ①
＝﹣ ②
＝（x﹣2）﹣（x+2）③
＝x﹣2﹣x﹣2 ④
＝﹣4 ⑤
问题：（1）上述计算过程中，从　③　 步开始出现了错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是：　不能去分母　 ；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程：
【点拨】观察小明的运算过程，找出错误的步骤，改正即可．
【解析】解：（1）上述计算过程中，从③步开始出现了错误（填序号）；
故答案为：③；
（2）发生错误的原因是：不能去分母；
故答案为：不能去分母；
（3）正确解答过程为：
解：﹣
＝﹣
＝
＝﹣．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．计算：
（1）； （2）．
【点拨】（1）先进行分式的乘方运算，再把把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先通分，然后进行同分母的减法运算，最后约分即可．
【解析】解：（1）原式＝6a2b
＝12a3；
（2）原式＝﹣
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
19．解分式方程：
（1）； （2）．
【点拨】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：2（3x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝；
（2）去分母得：（x+2）2﹣x2+4＝16，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．已知公式．
（1）当U，R，S为已知时，求V．
（2）若R，S满足，U＝﹣3，求V的值．
【点拨】（1）根据分式的基本性质，两边同时乘RS，进一步化简即可求解；
（2）＝，据此可知R＝2，S＝1，再把U，R，S代入（1）的结论即可解答．
【解析】解：（1）∵，
∴US﹣SV＝RV
∴（R+S）V＝US，
∴V＝；
（2）∵＝，
∴R＝2，S＝1，
∴V＝．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质以及分式的加减，难度适中．
21．已知：M＝，N＝．
（1）当x＞0时，判断M﹣N与0的关系，并说明理由；
（2）设y＝+N．
①当y＝3时，求x的值；
②若x是整数，求y的正整数值．
【点拨】（1）先求出M﹣N的值，再根据当x＞0，得出（x﹣1）2≥0，2（x+1）＞0，从而得出M﹣N≥0；
（2）①先求出y的值，再把y＝3代入进行计算，即可求出x的值；
②先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x+1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值．
【解析】解：（1）当x＞0时，M﹣N≥0．
理由如下：M﹣N＝﹣＝，
∵x＞0，
∴（x﹣1）2≥0，2（x+1）＞0，
∴≥0，
∴M﹣N≥0．
（2）依题意，得y＝+＝，
①当y＝3即＝3时，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，
则当y＝3时，x的值是1．
②y＝＝＝2+．
∵x，y是整数，
∴是整数，
∴x+1可以取±1，±2．
当x+1＝1，即x＝0时，y＝2+＝4＞0；
当x+1＝﹣1时，即x＝﹣2时，y＝2+＝0（舍去）；
当x+1＝2时，即x＝1时，y＝2+＝3＞0；
当x+1＝﹣2时，即x＝﹣3时，y＝2+＝1＞0；
综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1．
【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出M﹣N的值和y的值是解题的关键．
22．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．
（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
【点拨】（1）本题的等量关系是路程＝速度×时间．根据甲到军训基地的时间＝甲在一半路程内以速度V1行驶的时间+甲在另一半路程内以速度V2行驶的时间．来列出关于t1的代数式．根据乙以速度V1行驶一半时间走的路程+乙以速度V2行驶另一半时间走的路程＝总路程S，来求出关于t2的代数式；
（2）可将表示t1和t2的式子相减，按照分式的加减法进行合并化简后，看看当V1，V2在不同的条件下，t1和t2谁大谁小即可．
【解析】解：（1）由已知，得：＝t1
＝S，
解得：
；
（2）∵t1﹣t2＝﹣
＝
＝．
而S、V1、V2都大于零，
①当V1＝V2时，t1﹣t2＝0，即t1＝t2，
②当V1≠V2时，t1﹣t2＞0，即t1＞t2．
综上：当V1＝V2时，甲、乙两班同学同时到达军训基地；当V1≠V2时，乙班同学先到达军训基地．
【点睛】本题结合实际问题考查了异分母分式的加减运算，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
23．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式　是　 分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式A的“分裂分式”．求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值．
（3）若关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，求n的值．
【点拨】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可；
（2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可；
（3）设关于x的分式的“分裂分式”为M，求出，根据关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，得出，求出即可．
【解析】解：（1）∵，
，
∴，
故答案为：是；
（2）由题意可得：，
∴，
∴
＝
＝
＝；
∵整数x使得分式A的值是正整数，，
∴x＝1时，A＝5，
x＝3时，A＝3，
x＝﹣3时，A＝1；
（3）设关于x的分式的“分裂分式”为M，则：
，
∴
＝
＝，
∵关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，
∴，
整理得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
24．某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元/千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元/千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以a元/千克的批发价售卖b千克的葡萄，再以（a+1）元/千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若a，b均为正整数，求a，b的值．
【点拨】（1）根据“用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克”列方程求解；
（2）根据“当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元”列方程求解；
（3）根据“总售价恰好与乙店相等”列方程求解．
【解析】解：（1）设乙店中果的售价是x元/千克，
则：，
解得：x＝24，
经检验：x＝24是原分式方程的解，
∴x＝30，
答：乙店大果的售价为30元/千克，中果的售价是24元/千克；
（2）设乙店的大果有y千克，
则：30y+24×240﹣25×400＝260，
解得：y＝150，
∴400﹣150﹣240＝10，
答：乙店小果的质量为10千克；
（3）由题意得：ab+（a+1）（400﹣b）＝400×25+260，
方程可化为：b＝400a﹣9860，
∵a，b均为正整数，b≤400，
∴a＝25，b＝140．
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次方程份应用，找到相等关系是解题的关键．
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