综合性探究型—浙江省七（下）数学期末复习
一、解答题
1．（2024七下·越城期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
①②
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为，，我们把“”“”“”“”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个．
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
【问题解决】若，则的值为______．
【答案】（1）解：将左右两边进行平方，
可得，
将代入上式，可得，
解得：．
（2）解：将左右两边进行平方，
可得：，
即：，
解得：．
【问题解决】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】 【问题解决】 解：设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
化简可得，
故答案为：．
【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算解题；
（2）把平方，然后整理解题即可；
（3）设，，即可得到，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
2．（2024七下·海曙期末）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式 ；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】解：（1），
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1），
故答案为：；
【分析】
（1）用两种不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
3．（2025七下·滨江期中）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为α的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.通过图2可知，代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间满足（a+b）2 =a2+b2+ 2ab.
（1）【运用】已知： a2+b2=21， a+b=7， 求ab的值；
（2）【感悟】已知（2023-x）（2025-x）=9，求（2023-x）2+（2025-x）2的值：
（3）【探索】如图3，在正方形ABCD中，BE=4，BH=11，其中四边形AFLJ，GCIL，KLMN均为正方形，四边形BGLF，DJLI是两个完全一样的长方形，若图中阴影部分的面积之和为65，请直接写出长方形BGLF的面积.
【答案】（1）解：∵ a+b=7，
∴(a+b)2=49，
∴a2+2ab+b2=49，
∵ a2+b2=21，
∴21+2ab=49，
∴ab=14；
（2）解：∵[(2025-x)-(2023-x) ]2=4，
∴(2025-x)2-2(2025-x)(2023-x)+(2023-x)2=4，
∵ (2023-x)(2025-x)=9
∴(2025-x)2-2×9+(2023-x)2=4，
∴(2025-x)2+(2023-x)2=4+18=22；
（3）解： 长方形BGLF的面积为8.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（3）设正方形KLMN的边长为x，
∵BE=4，BH=11，
∴BG=FL=11-x，BF=LG=4-x，
设11-x=a，4-x=b，
∴a-b=11-x-4+x=7，
∴(a-b)2=49，
∵阴影部分的面积之和等于65，
∴FL2+LG2=65，即a2+b2=65，
∵长方形BGLF的面积为BG×LG=ab，
∴2ab=(a2+b2)-(a-b)2=65-49=16
∴ab=8，
∴长方形BGLF的面积为8.
【分析】（1）将a+b=7 两边同时平方得(a+b)2=49，然后将该等式左边展开后，再整体代入计算可求出ab的值；
（2）易得(2025-x)-(2023-x)=2，将该式两边同时平方得[(2025-x)-(2023-x) ]2=4，然后将该等式左边展开后，再整体代入计算可求出(2025-x)2+(2023-x)2的值；
（3）设正方形KLMN的边长为x，则BG=FL=11-x，BF=LG=4-x，设11-x=a，4-x=b，则a-b=11-x-4+x=7，将该等式两边同时平方得(a-b)2=49①，根据正方形面积计算公式可得FL2+LG2=65，即a2+b2=65②，用②-①可得2ab=16，进而再根据长方形面积计算公式即可求出长方形BGLF的面积.
4．（2025七下·杭州期中）乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【问题解决】
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，并写出代数式，之间的数量关系：
（2）根据（1）题中的等量关系，解决以下问题：
①若，求的值；
②已知，求的值；
③如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：方法1，大正方形的面积为：，方法2，大正方形的面积；
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴
又∵，
∴8+2，
∴；
③设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）用正方形的面积公式及分割法两种方法分别表示出大正方形的面积，根据两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等即可得出结果；
（2）①利用完全平方公式的恒等变形可得，从而整体代入计算可得答案；
②将2027-a与a-2025作为整体，仿照①求解即可；
③设AC=a，BC=b，得到a+b=8，a2+b2=34，利用完全平方公式恒等变形可得，进行计算即可．
（1）解：由图可知，大正方形的面积，
大正方形的面积；
∴；
（2）①∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴；
③设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（2025七下·杭州期中）
（1）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.根据1
可以得到 ， ，ab之间的等量关系式： ，根据图2可以得到 ， ，ab之间的等量关系式： .
（2）【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若 ，则 ， .
（3）【知识迁移】如图2所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为 和 ，若 ，两正方形的面积和 求图中阴影部分面积.
【答案】（1）；
（2）20；4
（3）解：设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，因为，则，因为，所以，可得.
.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有.
如下图2所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有，即.
故答案为：、；
（2）∵，
∴.
∴.
故答案为：20、4.
【分析】（1）不论图1还是图2，都可以从“大正方形面积=组成的小正方形面积之和”的角度可得到相应的等式；
（2）根据（1），代入条件即可计算；
（3）设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，模仿（2）的思路先计算出xy值. 然后阴影部分的面积可通过边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积以及2个直角边分别为、的直角三角形面积得到.
6．（2025七下·嵊州期中）综合与探究
【课题学行线的“等角转化”功能。
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解：过点A作ED// BC，∴∠B= ▲ ，∠C=∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C= ▲ . 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。
（1）【问题解决】阅读并补全上述推理过程。
（2）【方法运用】如图2所示，已知AB//CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C的度数.
（3）【拓展探究】如图3所示，已知AB//CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH//AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数。
【答案】（1）解：过点A作ED// BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
（2）解：过点E作ME//AB，如图，
∵AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，
∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C
∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°：
（3）解：∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，
∴∠ABF=∠EBF， ∠ECG=∠DCG，
过E点作EM// AB，如图，
∵AB//CD，
∴AB//ME//CD//FH，
设∠ABF=∠EBF=α， ∠ECG=∠DCG=β，
∴∠BFH=∠ABF=α， ∠CFH=∠GCD=β，
∵∠BFH-∠CFH=∠BFC，
∴α-β=36°，
∴AB//ME//CD，
∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，
∴∠BEC=∠BEM+∠MEC=180°-2α+2β=180°-2（α-β)=180°-2×36°=108°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，再由平角的性质，即可得到结论；
（2）过点E作ME//AB，由平行线的性质可得∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，两式相加并移项，即可得到结论；
（3）过E点作EM// AB，可证得AB//ME//CD//FH，设∠ABF=α， ∠ECG=β，结合角平分线的定义可证得∠BFH-∠CFH=∠BFC， 即α-β=36°， 再由平行线的性质可得∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，相加即可得到结论.
7．（2024七下·禅城月考）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）；
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：；
（3）【拓展】计算：．
【答案】（1）①②③
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】解：图①：由等面积可得：，
图②：由等面积可得：，
图③：由等面积可得：，
图④：由等面积可得：，
故答案为：①②③
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用。
（1）分别表示各图形面积，再利用等面积法可得答案；
（2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可；
（3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可．
8．（2024七下·越城期末）对于一个图形， 用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式： 如图1可得等式；如图2可得等式：；现用四个长与宽分别为 的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出 这三个代数式之间的等量关系式
（2）【解决问题】
①若 ，则 ▲ .
②当时，求的值.
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， 三点在同一条直线上， 连结.若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积.
【答案】（1）解：
（2）解：令
设
由(1)可知：
（3）解：
【知识点】完全平方公式的几何背景
9．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.
深入探究：
（1）老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与的角平分线重合时，，当AC在内部的其他位置时，结论是否依然成立 请说明理由．
（2）勤学小组提出：若AC旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展提升：
智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设三角板旋转α度，即∠ACE＝α，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE－∠ACE＝30°－α，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB－∠DCA＝(45°－α)－(30°－α)＝15°.
（2）解：解：当BC在CE下方时，
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB＋∠DCA＝(45°－α)＋(α－30°)＝15°.
当BC在CE上方时，
或
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACE－∠ACB＝α－45°．
∴∠DCA－∠ECB＝(α－30°)－(α－45°)＝15°.
综上：∠ECB＋∠DCA＝15°或∠DCA－∠ECB＝15°.
（3）解：t＝24s或t＝60s
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如下图有以下两种情况
①线段AC在直线MN上方时，
AC||DE，∠DEC=60°，得∠ACE=120°，
旋转时间为t=120÷5=24s
②当线段AC在直线MN下方时，
AC||DE，∠ACE=∠CED=60°，旋转的角度为360°-60°=300°，
旋转的时间为300÷5=60s
综上所述：t为24s或60秒时，DE||AC
【分析】在变化过程中，不变的是角度的表达式，利用此点，第(1)问中直接利用角度的代数表达式进行推导；而(2)中需对旋转的情况进行分类讨论，本质仍然是利用角度的代数式进行推导；第（3）问，也是对平行时的情况进行分类讨论，需结合作图进行解答.
1 / 1综合性探究型—浙江省七（下）数学期末复习
一、解答题
1．（2024七下·越城期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
①②
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为，，我们把“”“”“”“”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个．
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
【问题解决】若，则的值为______．
2．（2024七下·海曙期末）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式 ；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
3．（2025七下·滨江期中）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为α的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.通过图2可知，代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间满足（a+b）2 =a2+b2+ 2ab.
（1）【运用】已知： a2+b2=21， a+b=7， 求ab的值；
（2）【感悟】已知（2023-x）（2025-x）=9，求（2023-x）2+（2025-x）2的值：
（3）【探索】如图3，在正方形ABCD中，BE=4，BH=11，其中四边形AFLJ，GCIL，KLMN均为正方形，四边形BGLF，DJLI是两个完全一样的长方形，若图中阴影部分的面积之和为65，请直接写出长方形BGLF的面积.
4．（2025七下·杭州期中）乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【问题解决】
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，并写出代数式，之间的数量关系：
（2）根据（1）题中的等量关系，解决以下问题：
①若，求的值；
②已知，求的值；
③如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积．
5．（2025七下·杭州期中）
（1）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.根据1
可以得到 ， ，ab之间的等量关系式： ，根据图2可以得到 ， ，ab之间的等量关系式： .
（2）【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若 ，则 ， .
（3）【知识迁移】如图2所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为 和 ，若 ，两正方形的面积和 求图中阴影部分面积.
6．（2025七下·嵊州期中）综合与探究
【课题学行线的“等角转化”功能。
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解：过点A作ED// BC，∴∠B= ▲ ，∠C=∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C= ▲ . 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。
（1）【问题解决】阅读并补全上述推理过程。
（2）【方法运用】如图2所示，已知AB//CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C的度数.
（3）【拓展探究】如图3所示，已知AB//CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH//AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数。
7．（2024七下·禅城月考）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
（1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）；
（2）【应用】利用“平方差公式”计算：；
（3）【拓展】计算：．
8．（2024七下·越城期末）对于一个图形， 用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式： 如图1可得等式；如图2可得等式：；现用四个长与宽分别为 的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）【探索发现】
观察图3，写出 这三个代数式之间的等量关系式
（2）【解决问题】
①若 ，则 ▲ .
②当时，求的值.
（3）【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， 三点在同一条直线上， 连结.若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积.
9．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.
深入探究：
（1）老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与的角平分线重合时，，当AC在内部的其他位置时，结论是否依然成立 请说明理由．
（2）勤学小组提出：若AC旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展提升：
智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：将左右两边进行平方，
可得，
将代入上式，可得，
解得：．
（2）解：将左右两边进行平方，
可得：，
即：，
解得：．
【问题解决】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】 【问题解决】 解：设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
化简可得，
故答案为：．
【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算解题；
（2）把平方，然后整理解题即可；
（3）设，，即可得到，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
2．【答案】解：（1），
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1），
故答案为：；
【分析】
（1）用两种不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
3．【答案】（1）解：∵ a+b=7，
∴(a+b)2=49，
∴a2+2ab+b2=49，
∵ a2+b2=21，
∴21+2ab=49，
∴ab=14；
（2）解：∵[(2025-x)-(2023-x) ]2=4，
∴(2025-x)2-2(2025-x)(2023-x)+(2023-x)2=4，
∵ (2023-x)(2025-x)=9
∴(2025-x)2-2×9+(2023-x)2=4，
∴(2025-x)2+(2023-x)2=4+18=22；
（3）解： 长方形BGLF的面积为8.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（3）设正方形KLMN的边长为x，
∵BE=4，BH=11，
∴BG=FL=11-x，BF=LG=4-x，
设11-x=a，4-x=b，
∴a-b=11-x-4+x=7，
∴(a-b)2=49，
∵阴影部分的面积之和等于65，
∴FL2+LG2=65，即a2+b2=65，
∵长方形BGLF的面积为BG×LG=ab，
∴2ab=(a2+b2)-(a-b)2=65-49=16
∴ab=8，
∴长方形BGLF的面积为8.
【分析】（1）将a+b=7 两边同时平方得(a+b)2=49，然后将该等式左边展开后，再整体代入计算可求出ab的值；
（2）易得(2025-x)-(2023-x)=2，将该式两边同时平方得[(2025-x)-(2023-x) ]2=4，然后将该等式左边展开后，再整体代入计算可求出(2025-x)2+(2023-x)2的值；
（3）设正方形KLMN的边长为x，则BG=FL=11-x，BF=LG=4-x，设11-x=a，4-x=b，则a-b=11-x-4+x=7，将该等式两边同时平方得(a-b)2=49①，根据正方形面积计算公式可得FL2+LG2=65，即a2+b2=65②，用②-①可得2ab=16，进而再根据长方形面积计算公式即可求出长方形BGLF的面积.
4．【答案】（1）解：方法1，大正方形的面积为：，方法2，大正方形的面积；
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴
又∵，
∴8+2，
∴；
③设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）用正方形的面积公式及分割法两种方法分别表示出大正方形的面积，根据两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等即可得出结果；
（2）①利用完全平方公式的恒等变形可得，从而整体代入计算可得答案；
②将2027-a与a-2025作为整体，仿照①求解即可；
③设AC=a，BC=b，得到a+b=8，a2+b2=34，利用完全平方公式恒等变形可得，进行计算即可．
（1）解：由图可知，大正方形的面积，
大正方形的面积；
∴；
（2）①∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴；
③设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．【答案】（1）；
（2）20；4
（3）解：设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，因为，则，因为，所以，可得.
.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有.
如下图2所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有，即.
故答案为：、；
（2）∵，
∴.
∴.
故答案为：20、4.
【分析】（1）不论图1还是图2，都可以从“大正方形面积=组成的小正方形面积之和”的角度可得到相应的等式；
（2）根据（1），代入条件即可计算；
（3）设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，模仿（2）的思路先计算出xy值. 然后阴影部分的面积可通过边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积以及2个直角边分别为、的直角三角形面积得到.
6．【答案】（1）解：过点A作ED// BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
（2）解：过点E作ME//AB，如图，
∵AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，
∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C
∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°：
（3）解：∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，
∴∠ABF=∠EBF， ∠ECG=∠DCG，
过E点作EM// AB，如图，
∵AB//CD，
∴AB//ME//CD//FH，
设∠ABF=∠EBF=α， ∠ECG=∠DCG=β，
∴∠BFH=∠ABF=α， ∠CFH=∠GCD=β，
∵∠BFH-∠CFH=∠BFC，
∴α-β=36°，
∴AB//ME//CD，
∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，
∴∠BEC=∠BEM+∠MEC=180°-2α+2β=180°-2（α-β)=180°-2×36°=108°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，再由平角的性质，即可得到结论；
（2）过点E作ME//AB，由平行线的性质可得∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，两式相加并移项，即可得到结论；
（3）过E点作EM// AB，可证得AB//ME//CD//FH，设∠ABF=α， ∠ECG=β，结合角平分线的定义可证得∠BFH-∠CFH=∠BFC， 即α-β=36°， 再由平行线的性质可得∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，相加即可得到结论.
7．【答案】（1）①②③
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】解：图①：由等面积可得：，
图②：由等面积可得：，
图③：由等面积可得：，
图④：由等面积可得：，
故答案为：①②③
【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用。
（1）分别表示各图形面积，再利用等面积法可得答案；
（2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可；
（3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可．
8．【答案】（1）解：
（2）解：令
设
由(1)可知：
（3）解：
【知识点】完全平方公式的几何背景
9．【答案】（1）解：设三角板旋转α度，即∠ACE＝α，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE－∠ACE＝30°－α，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB－∠DCA＝(45°－α)－(30°－α)＝15°.
（2）解：解：当BC在CE下方时，
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB＋∠DCA＝(45°－α)＋(α－30°)＝15°.
当BC在CE上方时，
或
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACE－∠ACB＝α－45°．
∴∠DCA－∠ECB＝(α－30°)－(α－45°)＝15°.
综上：∠ECB＋∠DCA＝15°或∠DCA－∠ECB＝15°.
（3）解：t＝24s或t＝60s
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如下图有以下两种情况
①线段AC在直线MN上方时，
AC||DE，∠DEC=60°，得∠ACE=120°，
旋转时间为t=120÷5=24s
②当线段AC在直线MN下方时，
AC||DE，∠ACE=∠CED=60°，旋转的角度为360°-60°=300°，
旋转的时间为300÷5=60s
综上所述：t为24s或60秒时，DE||AC
【分析】在变化过程中，不变的是角度的表达式，利用此点，第(1)问中直接利用角度的代数表达式进行推导；而(2)中需对旋转的情况进行分类讨论，本质仍然是利用角度的代数式进行推导；第（3）问，也是对平行时的情况进行分类讨论，需结合作图进行解答.
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