新定义型—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七下·越城期末） 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 ( )
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
2．（2024七下·平湖期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．若，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据新定义将进行分解，再根据同底数幂的运算求解即可．
二、填空题
3．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
4．（2024七下·路桥期末） 在《九章算术》的 "方程" 一章里， 一次方程组是用算筹表示的. 如图 1， 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 的系数与相应的常数， 图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示就是 则图2 的算筹图所表示的方程组的解为 。
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；列二元一次方程组
【解析】【解答】根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为，
解得：，
故答案为：.
【分析】先根据题干中的算筹的表示方法推出图2所示的算筹的表示的方程组为，再求解即可.
5．（2024七下·诸暨期末）定义运算“”：，当时，满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分两种情况：
（1）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
（2）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
综上所述，x的值为2或8．
故答案为：2或8
【分析】分两种情况：当时，；当时，；解出即可．
6．（2024七下·长兴期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ．
【答案】或
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当，，即，时，原方程可化为：
，
整理得：
解得：
②当，，即，时，
，
整理得：
解得：，
③当，，即，时，
，
整理得：
解得： （舍去）
④当，，即，时，
整理得：
解得：（舍去）
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】分类讨论，分①当，，②当，，③当，，④当，，四种情况考虑，利用题中的新定义表示出方程组并化简，求出与的值之后，判断即可得到答案．
7．（2024七下·鄞州期末） 对正整数 ，规定 ，记 ，若正整数 使得 ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 的值 .
【答案】24
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： =1×2×3×4×5×......×24×1！×2！×3!×......×23!，
∵ ! 为完全平方数，
∴K！能被24整除，
∴K的最小值为24.
故答案为：24.
【分析】根据新定义以及完全平方数的定义进行分析，即可得出答案.
8．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
【答案】12（答案不唯一）
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
三、解答题
9．（2024七下·东阳期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______．
（2）试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
【答案】（1）解：，是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：
，
是“完美数”．
（3）解：
，
为“完美数”，
，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据 “完美数” 的定义写出一个小于2的“完美数”即可；
（2）根据“完美数”的定义，利用多项式乘以多项式展开，然后写成两个数的平方和的形式解题；
（3）利用配方法把整理，再根据“完美数”的定义得到，求出k值解题即可．
10．（2024七下·上城期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作，
（1）根据以上规定求出：______________；______________；
（2）小明发现也成立，并证明如下
设：
根据以上证明，请计算，______________]
（3）猜想，______________]，并说明理由．
【答案】（1）3，0
（2）42
（3）2
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：3，0；
（2）解：设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：42．
（3）猜想，理由：
设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：2．
【分析】（1）根据新定义运算法则计算解题；
（2）根据新定义的运算法则，利用同底数幂的乘法解答即可；
（3）根据新定义的运算法则，利用同底数幂的乘法解答即可．
11．（2024七下·滨江期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
（1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
（2）若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
（3）在（2）的条件下，若，当时，求的值．
【答案】（1）②③④
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
12．（2024七下·钱塘期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
．
当时，原式
（2）解：，
，
，
．
，
，即，
原式
（3）解：，
，
，
，
，，
∴ (a+b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1，
或，
当，时，原式，
当，时，原式，
∴的值为3或-3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先根据新定义运算，再整体代入a+b的值，即可求得；
（2）先根据新定义运算，再将整体代入求值即可；
（3）先根据新定义运算，再利用完全平方公式求出的值，最后代入求值即可．
（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
13．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
【答案】（1）解：是；，
∴“信度值”；
（2）解：由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据“兄弟分式”的概念，直接计算，并对结果进行判断即可；
（2）根据新定义，则已知两个异分母分式的差等于3，可推出，再代入指定分式进行化简即可；
（3）①根据新定义，进行分式的减法运算，最后再去分母，移项并合并同类项可求出多项式P；
②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可．
（1）解：是；
，
∴“信度值”；
（2）由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
14．（2024七下·西湖期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
（3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：∴
∴；
经检验，是原方程的解，
∴
（3）存在；
当时，即：，
去分母得
移项合并同类项得
即x(x-1)=0
检验：
当是原方程的根。
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据新运算的计算法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。
（3）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。增根的舍去.
（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
15．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
1 / 1新定义型—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七下·越城期末） 对于实数 定义运算 “※” 如下： ，如 . 若 ※ ，则 的值为 ( )
A．-4 B．-11 C．11 D．无法确定
2．（2024七下·平湖期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．若，那么的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为 ．
4．（2024七下·路桥期末） 在《九章算术》的 "方程" 一章里， 一次方程组是用算筹表示的. 如图 1， 图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 的系数与相应的常数， 图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示就是 则图2 的算筹图所表示的方程组的解为 。
5．（2024七下·诸暨期末）定义运算“”：，当时，满足，则的值为 ．
6．（2024七下·长兴期末）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ．
7．（2024七下·鄞州期末） 对正整数 ，规定 ，记 ，若正整数 使得 ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 的值 .
8．（2024七下·鄞州期末）记对正整数n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值：
三、解答题
9．（2024七下·东阳期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______．
（2）试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
10．（2024七下·上城期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作，
（1）根据以上规定求出：______________；______________；
（2）小明发现也成立，并证明如下
设：
根据以上证明，请计算，______________]
（3）猜想，______________]，并说明理由．
11．（2024七下·滨江期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等．
（1）代数式①，②，③，④中，是对称式的有____．
（2）若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值．
（3）在（2）的条件下，若，当时，求的值．
12．（2024七下·钱塘期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
13．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
14．（2024七下·西湖期末）设，是实数，定义关于的一种运算：，例如： ，．
（1）求的值．
（2）若，求的值．
（3）是否存在的值，使得成立？若存在请求出的值，若不存在请说明理由．
15．（2024七下·鄞州期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
（1）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
（2）当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ ※ ，
∴，
解得m=-11，
经检验知m=-11为方程的根.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算规则得到，进而解分式方程即可求解。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据新定义将进行分解，再根据同底数幂的运算求解即可．
3．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
4．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；列二元一次方程组
【解析】【解答】根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为，
解得：，
故答案为：.
【分析】先根据题干中的算筹的表示方法推出图2所示的算筹的表示的方程组为，再求解即可.
5．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：分两种情况：
（1）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
（2）当时，，
解得：，
检验：当时，，
所以符合题意；
综上所述，x的值为2或8．
故答案为：2或8
【分析】分两种情况：当时，；当时，；解出即可．
6．【答案】或
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①当，，即，时，原方程可化为：
，
整理得：
解得：
②当，，即，时，
，
整理得：
解得：，
③当，，即，时，
，
整理得：
解得： （舍去）
④当，，即，时，
整理得：
解得：（舍去）
综上所述，或
故答案为：或．
【分析】分类讨论，分①当，，②当，，③当，，④当，，四种情况考虑，利用题中的新定义表示出方程组并化简，求出与的值之后，判断即可得到答案．
7．【答案】24
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： =1×2×3×4×5×......×24×1！×2！×3!×......×23!，
∵ ! 为完全平方数，
∴K！能被24整除，
∴K的最小值为24.
故答案为：24.
【分析】根据新定义以及完全平方数的定义进行分析，即可得出答案.
8．【答案】12（答案不唯一）
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
都为完全平方数，
为完全平方数，
的值可以是，
故答案为：12（答案不唯一）．
【分析】要使为完全平方数，需要保证所有质因数的指数均为偶数，把S分解成的形式 ，找出次数为奇数的质数，再确定需要补充的次数使其总次数变为偶数即可.
9．【答案】（1）解：，是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：
，
是“完美数”．
（3）解：
，
为“完美数”，
，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据 “完美数” 的定义写出一个小于2的“完美数”即可；
（2）根据“完美数”的定义，利用多项式乘以多项式展开，然后写成两个数的平方和的形式解题；
（3）利用配方法把整理，再根据“完美数”的定义得到，求出k值解题即可．
10．【答案】（1）3，0
（2）42
（3）2
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：3，0；
（2）解：设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：42．
（3）猜想，理由：
设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：2．
【分析】（1）根据新定义运算法则计算解题；
（2）根据新定义的运算法则，利用同底数幂的乘法解答即可；
（3）根据新定义的运算法则，利用同底数幂的乘法解答即可．
11．【答案】（1）②③④
（2）
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；分式的加减法
12．【答案】（1）解：，
，
，
．
当时，原式
（2）解：，
，
，
．
，
，即，
原式
（3）解：，
，
，
，
，，
∴ (a+b)2=(a+b)2-4ab=9-8=1，
或，
当，时，原式，
当，时，原式，
∴的值为3或-3
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先根据新定义运算，再整体代入a+b的值，即可求得；
（2）先根据新定义运算，再将整体代入求值即可；
（3）先根据新定义运算，再利用完全平方公式求出的值，最后代入求值即可．
（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
13．【答案】（1）解：是；，
∴“信度值”；
（2）解：由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据“兄弟分式”的概念，直接计算，并对结果进行判断即可；
（2）根据新定义，则已知两个异分母分式的差等于3，可推出，再代入指定分式进行化简即可；
（3）①根据新定义，进行分式的减法运算，最后再去分母，移项并合并同类项可求出多项式P；
②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可．
（1）解：是；
，
∴“信度值”；
（2）由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
14．【答案】（1）解：
（2）解：∴
∴；
经检验，是原方程的解，
∴
（3）存在；
当时，即：，
去分母得
移项合并同类项得
即x(x-1)=0
检验：
当是原方程的根。
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据新运算的计算法则，列式计算即可；
（2）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。
（3）根据新运算的计算法则，列出分式方程并解分式方程，记得检验。增根的舍去.
（1）解：；
（2），
∴，
∴；
经检验，是原方程的解，
∴．
（3）存在；
，
当时，即：，
当时，满足题意，
当时，则：，则：，
当时，，分式无意义，不满足题意，舍去；
故．
15．【答案】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1，
∴设计最终代数和等于1的可行方案；
②∵，，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；
其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；
最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5 ，8项的符号与其他项的符号相反即可；
（2）①由于给定的2045个数中有1023个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1；于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案； ②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由2045=8×255+5，对62，72，……，20452，根据②中每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，……，52进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1；④在对12，22，……，52进行设计的过程中，-12+22-32+42-52=-15，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为；进而可得可行方案为：首先对222，232，……，20452，根据②每连续8个一组适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，……，212根据④适当添加“+”号和“-”号，使每组的代数和为；最后对12，22，……，52，作-12+22-32+42-52=-15的设计，便可以使得给定的2045个数的代数和为1，即|L|最小．
（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
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