数学建模—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七下·滨江期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
2．（2024七下·上城期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①、图②．图①中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似的，若图②所示算筹图列出的方程组解得．则图②中的“？”所表示的算筹为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设“？”所表示的算筹为m
根据题意得，
解得
∴图②中的“？”所表示的算筹为．
故选：B．
【分析】设“？”所表示的算筹为m，列出二元一次方程组求出m的值即可解答．
3．（2024七下·温州期中） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
4．（2024七下·杭州期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
5．（2024七下·宁波期末）我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设甲有羊x只，乙有羊y只，
∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】根据“由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”，可得方程；根据“由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，可得方程，联立可得方程组．
6．（2024七下·诸暨期末）九章算术中记载：今有好田亩，价值钱；坏田亩，价值钱．今共买好、坏田顷顷亩，价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了亩，坏田买了亩，则下面所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩，根据题意列方程，得：
，
故答案为：B．
【分析】基本关系：良田数量+坏田数量=100，良田金额+坏田金额=10000，据此列出方程组即可．
7．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
8．（2024七下·东阳期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设志愿者未加入前每小时做份粽子．根据题意，得
．
故选：A.
【分析】设志愿者未加入前每小时做份粽子，根据“ 每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务 ”列分式方程解题．
9．（2024七下·临海期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A．
【分析】根据题意，可列出关于①②③④⑤的方程，再类比二元一次方程组的解法对这五个方程消元，即可解出它们的值，从而判断作答.
10．（2024七下·长兴期末）一道来自课本的习题：
从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程．
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，则下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意得：
，，
故答案为：C．
【分析】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，可得下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意列出方程，比较即可求解．
二、填空题
11．（2024七下·宁波期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ．
【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法；幻方、幻圆数学问题；整体思想
12．（2024七下·东阳期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是 ．
【答案】①②
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，
阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
∵阴影的周长为10，
，
，
即，故①正确；
∵阴影周长为8，
，
解得：，
，
，
即正方形的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为30，
，
，
，
，
假设三个正方形的周长为24，
，
，
（不成立），
∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故答案为：①②．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，即可得到，表示阴影、阴影的长和宽，根据阴影的周长求出值判定①；根据阴影周长求出值，进而得到的值判定②；根据大长方形的面积为30，得到，设三个正方形的周长为24，解得判定③解题．
13．（2024七下·越城期末） 《九章算术》中记载： “今有五雀、六燕， 集称之衡， 雀俱重， 燕俱轻. 一雀一燕交而处， 衡适平. 并燕、雀重一斤. 问燕、雀一枚各重几何 ” 其大意如下： “今有 5 只雀、6 只燕， 分别放一起用衡器称， 聚在一起的雀重， 燕轻. 将 1 只雀、 1 只燕交换位置而放， 两边重量相等. 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤. 问雀、燕各重多少斤 ” 若设雀、燕每只各重 斤、 斤. 根据题意可列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀、燕每只各重 斤、 斤，由题意得，
故答案为：
【分析】设雀、燕每只各重 斤、 斤，根据“雀、燕每只各重 斤、 斤，则 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤 得5x+6y=1，而4只雀和1只燕与5只燕和1只雀重量相等即有4x+y=5y+x”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
14．（2024七下·临海期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有 个．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得：，解得：，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：．
【分析】
根据题图中表示的数量关系，列出方程并求解即可.
15．（2024七下·临平期末）“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，将两个方程组成方程组即可．
三、解答题
16．（2024七下·海曙期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
17．（2024七下·杭州期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：
①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ．
A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算；
C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算．
（2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
【答案】（1）B
（2）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
根据题意可列二元一次方程组为：，
解这个方程组，得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
由题意可知，m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：
①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；
②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；
③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
答：共有3种购买方案：①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），
①若每次所加的油量固定为M升，则平均单价==，
②若每次加油的付款额固定为N元，则平均单价==，
∵当x≠y时，（x+y）2＞4ab，且a，b均为正数，
∴＞
∴方式②平均油价更低．
故答案为：B．
【分析】（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），分别求出①②两次的平均单价，然后作差比较即可；
（2）设A型汽车每辆的进价为a万元，b型汽车每辆的进价为y万元，根据“ 2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据“ 正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买） ”列出二元一次方程，化简方程，寻找正整数解即可．
（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），
记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，
则①中平均单价为（元），
②中平均单价为（元），
当时，
∴，即，
∴方式②平均油价更低．
故选：B．
（2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，，，
∴共有3种购买方案：
①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；
②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；
③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆．
18．（2024七下·临平期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中
（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？
【答案】（1）
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
【分析】
（1）根据图2进行填表即可；
（2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据4个长方形铁片和2个正方形铁片可以组成一个铁盒，得长方形与正方形铁片的个数比为4：2，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论．
（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：
，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
19．（2024七下·鄞州期末）根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件．
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支．
素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
【答案】解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（元）
答：每支钢笔9元，每本笔记本6元；
任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意得：
，
解得：，
答：购买钢笔30支，笔记本45本；
任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本．
由题意得：，整理得：，
∵，
∴或或，
∴有3种方案，分别为：
①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本
【知识点】二元一次方程的解；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设笔记本每本x元，根据“ 钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件 ”列分式方程解答即可；
任务二：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．根据“ 花费540元 ， 购买的钢笔数量比笔记本少15支 ”列二元一次方程组解答即可；
任务三：设其中y张用来兑换钢笔，根据题意列方程求出正整数y和m的值即可．
20．（2024七下·上城期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务．
（1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？
（2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中）
甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示）
乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务，
由题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：完成第一项任务实际用了2天；
（2），
（3）解：，理由为：
，
∵a、b都为正数，且，
∴，，，
∴，
∴，则．
【知识点】分式方程的实际应用；含乘方的分式混合运算
【解析】【解答】（2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天），
乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天），
故答案为：，；
【分析】（1）设完成第一项任务实际用了x天，根据“ 按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务 ”列分式方程解答即可；
（2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，求出两种方案的完成时间；
（3）运用作差法，根据分式的减法求出 >0解答即可．
1 / 1数学建模—浙江省七（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024七下·滨江期末）某市为美化城市环境，计划在道路两旁种植花卉20万株，由于工作人员的齐心协力，实际每天种植花卉比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天种植x万株，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·上城期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①、图②．图①中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似的，若图②所示算筹图列出的方程组解得．则图②中的“？”所表示的算筹为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·温州期中） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·杭州期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·宁波期末）我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·诸暨期末）九章算术中记载：今有好田亩，价值钱；坏田亩，价值钱．今共买好、坏田顷顷亩，价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了亩，坏田买了亩，则下面所列方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
7．（2024七下·鄞州期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．（2024七下·东阳期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·临海期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
10．（2024七下·长兴期末）一道来自课本的习题：
从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程．
小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2024七下·宁波期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ．
12．（2024七下·东阳期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是 ．
13．（2024七下·越城期末） 《九章算术》中记载： “今有五雀、六燕， 集称之衡， 雀俱重， 燕俱轻. 一雀一燕交而处， 衡适平. 并燕、雀重一斤. 问燕、雀一枚各重几何 ” 其大意如下： “今有 5 只雀、6 只燕， 分别放一起用衡器称， 聚在一起的雀重， 燕轻. 将 1 只雀、 1 只燕交换位置而放， 两边重量相等. 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤. 问雀、燕各重多少斤 ” 若设雀、燕每只各重 斤、 斤. 根据题意可列方程组为 .
14．（2024七下·临海期末）小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有 个．
15．（2024七下·临平期末）“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组为 ．
三、解答题
16．（2024七下·海曙期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
17．（2024七下·杭州期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元．
（1）若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：
①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ．
A．按方式①加油更划算； B．按方式②加油更划算；
C．两种加油方式一样划算； D．无法比较哪种加油方式更划算．
（2）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（3）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
18．（2024七下·临平期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中
（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？
19．（2024七下·鄞州期末）根据以下素材，探索完成任务．
奖品购买方案设计
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件．
素材2 某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15支．
素材3 学校花费540元后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本数量与钢笔相同．
问题解决
任务一 【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务二 【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量．
任务三 【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案．
20．（2024七下·上城期末）2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务．
（1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？
（2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中）
甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示）
乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】设“？”所表示的算筹为m
根据题意得，
解得
∴图②中的“？”所表示的算筹为．
故选：B．
【分析】设“？”所表示的算筹为m，列出二元一次方程组求出m的值即可解答．
3．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意，得：．
故答案为：A．
【分析】根据大长方形的宽为和小长方形的长与宽之间的关系列方程即可．
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设甲有羊x只，乙有羊y只，
∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：D．
【分析】根据“由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”，可得方程；根据“由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，可得方程，联立可得方程组．
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩，根据题意列方程，得：
，
故答案为：B．
【分析】基本关系：良田数量+坏田数量=100，良田金额+坏田金额=10000，据此列出方程组即可．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
【分析】设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设志愿者未加入前每小时做份粽子．根据题意，得
．
故选：A.
【分析】设志愿者未加入前每小时做份粽子，根据“ 每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务 ”列分式方程解题．
9．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
，得③①，，得⑤③．
，得⑤①．
，得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A．
【分析】根据题意，可列出关于①②③④⑤的方程，再类比二元一次方程组的解法对这五个方程消元，即可解出它们的值，从而判断作答.
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，则下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意得：
，，
故答案为：C．
【分析】设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，可得下坡的路段为（3.3－x－y）km，根据题意列出方程，比较即可求解．
11．【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法；幻方、幻圆数学问题；整体思想
12．【答案】①②
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，
阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
∵阴影的周长为10，
，
，
即，故①正确；
∵阴影周长为8，
，
解得：，
，
，
即正方形的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为30，
，
，
，
，
假设三个正方形的周长为24，
，
，
（不成立），
∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故答案为：①②．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，即可得到，表示阴影、阴影的长和宽，根据阴影的周长求出值判定①；根据阴影周长求出值，进而得到的值判定②；根据大长方形的面积为30，得到，设三个正方形的周长为24，解得判定③解题．
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀、燕每只各重 斤、 斤，由题意得，
故答案为：
【分析】设雀、燕每只各重 斤、 斤，根据“雀、燕每只各重 斤、 斤，则 5 只雀、 6 只燕重量为 1 斤 得5x+6y=1，而4只雀和1只燕与5只燕和1只雀重量相等即有4x+y=5y+x”即可列出二元一次方程组，从而即可求解。
14．【答案】
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得：，解得：，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：．
【分析】
根据题图中表示的数量关系，列出方程并求解即可.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，将两个方程组成方程组即可．
16．【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
17．【答案】（1）B
（2）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
根据题意可列二元一次方程组为：，
解这个方程组，得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
由题意可知，m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案：
①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；
②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；
③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
答：共有3种购买方案：①购进B型号汽车5辆，A型号汽车7辆；②购进B型号汽车10辆，A型号汽车4辆；③购进B型号汽车15辆，A型号汽车1辆．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），
①若每次所加的油量固定为M升，则平均单价==，
②若每次加油的付款额固定为N元，则平均单价==，
∵当x≠y时，（x+y）2＞4ab，且a，b均为正数，
∴＞
∴方式②平均油价更低．
故答案为：B．
【分析】（1）设两次汽油单价分别为x元，y元（x≠y），分别求出①②两次的平均单价，然后作差比较即可；
（2）设A型汽车每辆的进价为a万元，b型汽车每辆的进价为y万元，根据“ 2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据“ 正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买） ”列出二元一次方程，化简方程，寻找正整数解即可．
（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），
记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，
则①中平均单价为（元），
②中平均单价为（元），
当时，
∴，即，
∴方式②平均油价更低．
故选：B．
（2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元；
（3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴，，，
∴共有3种购买方案：
①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；
②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；
③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆．
18．【答案】（1）
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
【分析】
（1）根据图2进行填表即可；
（2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据4个长方形铁片和2个正方形铁片可以组成一个铁盒，得长方形与正方形铁片的个数比为4：2，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论．
（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张；
填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，
依题意，得：，
解得：．
答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个．
（3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得：
，
∴，
∵m，n，均为非负整数，
∴或，
当，时，；
当，时，；
∵，
∴最多可以加工成19个铁盒．
19．【答案】解：设笔记本每本x元，则钢笔每支1.5x元．由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
（元）
答：每支钢笔9元，每本笔记本6元；
任务二：解：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．由题意得：
，
解得：，
答：购买钢笔30支，笔记本45本；
任务三：解：设其中y张用来兑换钢笔，则张兑换笔记本．
由题意得：，整理得：，
∵，
∴或或，
∴有3种方案，分别为：
①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；
②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；
③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本
【知识点】二元一次方程的解；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务一：设笔记本每本x元，根据“ 钢笔的单价是笔记本的倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件 ”列分式方程解答即可；
任务二：设购买钢笔a支，购买笔记本b本．根据“ 花费540元 ， 购买的钢笔数量比笔记本少15支 ”列二元一次方程组解答即可；
任务三：设其中y张用来兑换钢笔，根据题意列方程求出正整数y和m的值即可．
20．【答案】（1）解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务，
由题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：完成第一项任务实际用了2天；
（2），
（3）解：，理由为：
，
∵a、b都为正数，且，
∴，，，
∴，
∴，则．
【知识点】分式方程的实际应用；含乘方的分式混合运算
【解析】【解答】（2）解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天），
乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天），
故答案为：，；
【分析】（1）设完成第一项任务实际用了x天，根据“ 按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务 ”列分式方程解答即可；
（2）利用工作时间=工作总量÷工作效率，求出两种方案的完成时间；
（3）运用作差法，根据分式的减法求出 >0解答即可．
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